Algebra Esempi

$f (x) = 3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} - 12 x - 12$

Passaggio 1

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

$q = \pm 1, \pm 3$

Passaggio 1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm \frac{1}{3}, \pm 2, \pm \frac{2}{3}, \pm 3, \pm 4, \pm \frac{4}{3}, \pm 6, \pm 12$

Passaggio 2

Applica la divisione sintetica su $\frac{3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} - 12 x - 12}{x - 2}$ quando $x = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Inserisci i numeri che rappresentano il divisore e il dividendo in una configurazione da divisione.

$2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

Passaggio 2.2

Il primo numero nel dividendo $(3)$ è messo nella prima posizione dell'area risultante (al di sotto della retta orizzontale).

$2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

	$3$

Passaggio 2.3

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(3)$ per il divisore $(2)$ e posiziona il risultato di $(6)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(3)$ .

$2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$6$
	$3$

Passaggio 2.4

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$6$
	$3$	$9$

Passaggio 2.5

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(9)$ per il divisore $(2)$ e posiziona il risultato di $(18)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 1)$ .

$2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$6$	$18$
	$3$	$9$

Passaggio 2.6

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$6$	$18$
	$3$	$9$	$17$

Passaggio 2.7

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(17)$ per il divisore $(2)$ e posiziona il risultato di $(34)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 12)$ .

$2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$6$	$18$	$34$
	$3$	$9$	$17$

Passaggio 2.8

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$6$	$18$	$34$
	$3$	$9$	$17$	$22$

Passaggio 2.9

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(22)$ per il divisore $(2)$ e posiziona il risultato di $(44)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 12)$ .

$2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$6$	$18$	$34$	$44$
	$3$	$9$	$17$	$22$

Passaggio 2.10

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$6$	$18$	$34$	$44$
	$3$	$9$	$17$	$22$	$32$

Passaggio 2.11

Tutti i numeri eccetto l'ultimo diventano i coefficienti del polinomio quoziente. L'ultimo valore nella riga del risultato è il resto.

$3 x^{3} + 9 x^{2} + (17) x + 22 + \frac{32}{x - 2}$

Passaggio 2.12

Semplifica il polinomio quoziente.

$3 x^{3} + 9 x^{2} + 17 x + 22 + \frac{32}{x - 2}$

Passaggio 3

Poiché $2 > 0$ e tutti i segni nella riga inferiore della divisione sintetica sono positivi, $2$ è un maggiorante per le radici reali della funzione.

Maggiorante: $2$

Passaggio 4

Applica la divisione sintetica su $\frac{3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} - 12 x - 12}{x + 2}$ quando $x = - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Inserisci i numeri che rappresentano il divisore e il dividendo in una configurazione da divisione.

$- 2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

Passaggio 4.2

Il primo numero nel dividendo $(3)$ è messo nella prima posizione dell'area risultante (al di sotto della retta orizzontale).

$- 2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

	$3$

Passaggio 4.3

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(3)$ per il divisore $(- 2)$ e posiziona il risultato di $(- 6)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(3)$ .

$- 2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 6$
	$3$

Passaggio 4.4

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- 2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 6$
	$3$	$- 3$

Passaggio 4.5

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(- 3)$ per il divisore $(- 2)$ e posiziona il risultato di $(6)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 1)$ .

$- 2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 6$	$6$
	$3$	$- 3$

Passaggio 4.6

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- 2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 6$	$6$
	$3$	$- 3$	$5$

Passaggio 4.7

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(5)$ per il divisore $(- 2)$ e posiziona il risultato di $(- 10)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 12)$ .

$- 2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 6$	$6$	$- 10$
	$3$	$- 3$	$5$

Passaggio 4.8

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- 2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 6$	$6$	$- 10$
	$3$	$- 3$	$5$	$- 22$

Passaggio 4.9

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(- 22)$ per il divisore $(- 2)$ e posiziona il risultato di $(44)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 12)$ .

$- 2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 6$	$6$	$- 10$	$44$
	$3$	$- 3$	$5$	$- 22$

Passaggio 4.10

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- 2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 6$	$6$	$- 10$	$44$
	$3$	$- 3$	$5$	$- 22$	$32$

Passaggio 4.11

Tutti i numeri eccetto l'ultimo diventano i coefficienti del polinomio quoziente. L'ultimo valore nella riga del risultato è il resto.

$3 x^{3} + - 3 x^{2} + (5) x - 22 + \frac{32}{x + 2}$

Passaggio 4.12

Semplifica il polinomio quoziente.

$3 x^{3} - 3 x^{2} + 5 x - 22 + \frac{32}{x + 2}$

Passaggio 5

Poiché $- 2 < 0$ e tutti i segni nella riga inferiore della divisione sintetica alternano il segno, $- 2$ è un minorante per le radici reali della funzione.

Minorante: $- 2$

Passaggio 6

Applica la divisione sintetica su $\frac{3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} - 12 x - 12}{x - 3}$ quando $x = 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Inserisci i numeri che rappresentano il divisore e il dividendo in una configurazione da divisione.

$3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

Passaggio 6.2

Il primo numero nel dividendo $(3)$ è messo nella prima posizione dell'area risultante (al di sotto della retta orizzontale).

$3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

	$3$

Passaggio 6.3

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(3)$ per il divisore $(3)$ e posiziona il risultato di $(9)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(3)$ .

$3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$9$
	$3$

Passaggio 6.4

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$9$
	$3$	$12$

Passaggio 6.5

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(12)$ per il divisore $(3)$ e posiziona il risultato di $(36)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 1)$ .

$3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$9$	$36$
	$3$	$12$

Passaggio 6.6

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$9$	$36$
	$3$	$12$	$35$

Passaggio 6.7

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(35)$ per il divisore $(3)$ e posiziona il risultato di $(105)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 12)$ .

$3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$9$	$36$	$105$
	$3$	$12$	$35$

Passaggio 6.8

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$9$	$36$	$105$
	$3$	$12$	$35$	$93$

Passaggio 6.9

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(93)$ per il divisore $(3)$ e posiziona il risultato di $(279)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 12)$ .

$3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$9$	$36$	$105$	$279$
	$3$	$12$	$35$	$93$

Passaggio 6.10

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$9$	$36$	$105$	$279$
	$3$	$12$	$35$	$93$	$267$

Passaggio 6.11

Tutti i numeri eccetto l'ultimo diventano i coefficienti del polinomio quoziente. L'ultimo valore nella riga del risultato è il resto.

$3 x^{3} + 12 x^{2} + (35) x + 93 + \frac{267}{x - 3}$

Passaggio 6.12

Semplifica il polinomio quoziente.

$3 x^{3} + 12 x^{2} + 35 x + 93 + \frac{267}{x - 3}$

Passaggio 7

Poiché $3 > 0$ e tutti i segni nella riga inferiore della divisione sintetica sono positivi, $3$ è un maggiorante per le radici reali della funzione.

Maggiorante: $3$

Passaggio 8

Applica la divisione sintetica su $\frac{3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} - 12 x - 12}{x + 3}$ quando $x = - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Inserisci i numeri che rappresentano il divisore e il dividendo in una configurazione da divisione.

$- 3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

Passaggio 8.2

Il primo numero nel dividendo $(3)$ è messo nella prima posizione dell'area risultante (al di sotto della retta orizzontale).

$- 3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

	$3$

Passaggio 8.3

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(3)$ per il divisore $(- 3)$ e posiziona il risultato di $(- 9)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(3)$ .

$- 3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 9$
	$3$

Passaggio 8.4

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- 3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 9$
	$3$	$- 6$

Passaggio 8.5

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(- 6)$ per il divisore $(- 3)$ e posiziona il risultato di $(18)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 1)$ .

$- 3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 9$	$18$
	$3$	$- 6$

Passaggio 8.6

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- 3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 9$	$18$
	$3$	$- 6$	$17$

Passaggio 8.7

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(17)$ per il divisore $(- 3)$ e posiziona il risultato di $(- 51)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 12)$ .

$- 3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 9$	$18$	$- 51$
	$3$	$- 6$	$17$

Passaggio 8.8

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- 3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 9$	$18$	$- 51$
	$3$	$- 6$	$17$	$- 63$

Passaggio 8.9

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(- 63)$ per il divisore $(- 3)$ e posiziona il risultato di $(189)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 12)$ .

$- 3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 9$	$18$	$- 51$	$189$
	$3$	$- 6$	$17$	$- 63$

Passaggio 8.10

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- 3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 9$	$18$	$- 51$	$189$
	$3$	$- 6$	$17$	$- 63$	$177$

Passaggio 8.11

Tutti i numeri eccetto l'ultimo diventano i coefficienti del polinomio quoziente. L'ultimo valore nella riga del risultato è il resto.

$3 x^{3} + - 6 x^{2} + (17) x - 63 + \frac{177}{x + 3}$

Passaggio 8.12

Semplifica il polinomio quoziente.

$3 x^{3} - 6 x^{2} + 17 x - 63 + \frac{177}{x + 3}$

Passaggio 9

Poiché $- 3 < 0$ e tutti i segni nella riga inferiore della divisione sintetica alternano il segno, $- 3$ è un minorante per le radici reali della funzione.

Minorante: $- 3$

Passaggio 10

Applica la divisione sintetica su $\frac{3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} - 12 x - 12}{x - 4}$ quando $x = 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Inserisci i numeri che rappresentano il divisore e il dividendo in una configurazione da divisione.

$4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

Passaggio 10.2

Il primo numero nel dividendo $(3)$ è messo nella prima posizione dell'area risultante (al di sotto della retta orizzontale).

$4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

	$3$

Passaggio 10.3

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(3)$ per il divisore $(4)$ e posiziona il risultato di $(12)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(3)$ .

$4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$12$
	$3$

Passaggio 10.4

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$12$
	$3$	$15$

Passaggio 10.5

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(15)$ per il divisore $(4)$ e posiziona il risultato di $(60)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 1)$ .

$4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$12$	$60$
	$3$	$15$

Passaggio 10.6

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$12$	$60$
	$3$	$15$	$59$

Passaggio 10.7

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(59)$ per il divisore $(4)$ e posiziona il risultato di $(236)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 12)$ .

$4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$12$	$60$	$236$
	$3$	$15$	$59$

Passaggio 10.8

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$12$	$60$	$236$
	$3$	$15$	$59$	$224$

Passaggio 10.9

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(224)$ per il divisore $(4)$ e posiziona il risultato di $(896)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 12)$ .

$4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$12$	$60$	$236$	$896$
	$3$	$15$	$59$	$224$

Passaggio 10.10

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$12$	$60$	$236$	$896$
	$3$	$15$	$59$	$224$	$884$

Passaggio 10.11

Tutti i numeri eccetto l'ultimo diventano i coefficienti del polinomio quoziente. L'ultimo valore nella riga del risultato è il resto.

$3 x^{3} + 15 x^{2} + (59) x + 224 + \frac{884}{x - 4}$

Passaggio 10.12

Semplifica il polinomio quoziente.

$3 x^{3} + 15 x^{2} + 59 x + 224 + \frac{884}{x - 4}$

Passaggio 11

Poiché $4 > 0$ e tutti i segni nella riga inferiore della divisione sintetica sono positivi, $4$ è un maggiorante per le radici reali della funzione.

Maggiorante: $4$

Passaggio 12

Applica la divisione sintetica su $\frac{3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} - 12 x - 12}{x + 4}$ quando $x = - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Inserisci i numeri che rappresentano il divisore e il dividendo in una configurazione da divisione.

$- 4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

Passaggio 12.2

Il primo numero nel dividendo $(3)$ è messo nella prima posizione dell'area risultante (al di sotto della retta orizzontale).

$- 4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

	$3$

Passaggio 12.3

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(3)$ per il divisore $(- 4)$ e posiziona il risultato di $(- 12)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(3)$ .

$- 4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 12$
	$3$

Passaggio 12.4

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- 4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 12$
	$3$	$- 9$

Passaggio 12.5

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(- 9)$ per il divisore $(- 4)$ e posiziona il risultato di $(36)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 1)$ .

$- 4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 12$	$36$
	$3$	$- 9$

Passaggio 12.6

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- 4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 12$	$36$
	$3$	$- 9$	$35$

Passaggio 12.7

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(35)$ per il divisore $(- 4)$ e posiziona il risultato di $(- 140)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 12)$ .

$- 4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 12$	$36$	$- 140$
	$3$	$- 9$	$35$

Passaggio 12.8

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- 4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 12$	$36$	$- 140$
	$3$	$- 9$	$35$	$- 152$

Passaggio 12.9

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(- 152)$ per il divisore $(- 4)$ e posiziona il risultato di $(608)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 12)$ .

$- 4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 12$	$36$	$- 140$	$608$
	$3$	$- 9$	$35$	$- 152$

Passaggio 12.10

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- 4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 12$	$36$	$- 140$	$608$
	$3$	$- 9$	$35$	$- 152$	$596$

Passaggio 12.11

Tutti i numeri eccetto l'ultimo diventano i coefficienti del polinomio quoziente. L'ultimo valore nella riga del risultato è il resto.

$3 x^{3} + - 9 x^{2} + (35) x - 152 + \frac{596}{x + 4}$

Passaggio 12.12

Semplifica il polinomio quoziente.

$3 x^{3} - 9 x^{2} + 35 x - 152 + \frac{596}{x + 4}$

Passaggio 13

Poiché $- 4 < 0$ e tutti i segni nella riga inferiore della divisione sintetica alternano il segno, $- 4$ è un minorante per le radici reali della funzione.

Minorante: $- 4$

Passaggio 14

Applica la divisione sintetica su $\frac{3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} - 12 x - 12}{x + \frac{4}{3}}$ quando $x = - \frac{4}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Inserisci i numeri che rappresentano il divisore e il dividendo in una configurazione da divisione.

$- \frac{4}{3}$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

Passaggio 14.2

Il primo numero nel dividendo $(3)$ è messo nella prima posizione dell'area risultante (al di sotto della retta orizzontale).

$- \frac{4}{3}$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

	$3$

Passaggio 14.3

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(3)$ per il divisore $(- \frac{4}{3})$ e posiziona il risultato di $(- 4)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(3)$ .

$- \frac{4}{3}$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 4$
	$3$

Passaggio 14.4

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- \frac{4}{3}$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 4$
	$3$	$- 1$

Passaggio 14.5

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(- 1)$ per il divisore $(- \frac{4}{3})$ e posiziona il risultato di $(\frac{4}{3})$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 1)$ .

$- \frac{4}{3}$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 4$	$\frac{4}{3}$
	$3$	$- 1$

Passaggio 14.6

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- \frac{4}{3}$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 4$	$\frac{4}{3}$
	$3$	$- 1$	$\frac{1}{3}$

Passaggio 14.7

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(\frac{1}{3})$ per il divisore $(- \frac{4}{3})$ e posiziona il risultato di $(- \frac{4}{9})$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 12)$ .

$- \frac{4}{3}$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 4$	$\frac{4}{3}$	$- \frac{4}{9}$
	$3$	$- 1$	$\frac{1}{3}$

Passaggio 14.8

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- \frac{4}{3}$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 4$	$\frac{4}{3}$	$- \frac{4}{9}$
	$3$	$- 1$	$\frac{1}{3}$	$- \frac{112}{9}$

Passaggio 14.9

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(- \frac{112}{9})$ per il divisore $(- \frac{4}{3})$ e posiziona il risultato di $(\frac{448}{27})$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 12)$ .

$- \frac{4}{3}$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 4$	$\frac{4}{3}$	$- \frac{4}{9}$	$\frac{448}{27}$
	$3$	$- 1$	$\frac{1}{3}$	$- \frac{112}{9}$

Passaggio 14.10

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- \frac{4}{3}$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 4$	$\frac{4}{3}$	$- \frac{4}{9}$	$\frac{448}{27}$
	$3$	$- 1$	$\frac{1}{3}$	$- \frac{112}{9}$	$\frac{124}{27}$

Passaggio 14.11

Tutti i numeri eccetto l'ultimo diventano i coefficienti del polinomio quoziente. L'ultimo valore nella riga del risultato è il resto.

$3 x^{3} + - 1 x^{2} + (\frac{1}{3}) x - \frac{112}{9} + \frac{\frac{124}{27}}{x + \frac{4}{3}}$

Passaggio 14.12

Semplifica il polinomio quoziente.

$3 x^{3} - x^{2} + \frac{x}{3} - \frac{112}{9} + \frac{124}{9 (3 x + 4)}$

Passaggio 15

Poiché $- \frac{4}{3} < 0$ e tutti i segni nella riga inferiore della divisione sintetica alternano il segno, $- \frac{4}{3}$ è un minorante per le radici reali della funzione.

Minorante: $- \frac{4}{3}$

Passaggio 16

Applica la divisione sintetica su $\frac{3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} - 12 x - 12}{x - 6}$ quando $x = 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Inserisci i numeri che rappresentano il divisore e il dividendo in una configurazione da divisione.

$6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

Passaggio 16.2

Il primo numero nel dividendo $(3)$ è messo nella prima posizione dell'area risultante (al di sotto della retta orizzontale).

$6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

	$3$

Passaggio 16.3

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(3)$ per il divisore $(6)$ e posiziona il risultato di $(18)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(3)$ .

$6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$18$
	$3$

Passaggio 16.4

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$18$
	$3$	$21$

Passaggio 16.5

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(21)$ per il divisore $(6)$ e posiziona il risultato di $(126)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 1)$ .

$6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$18$	$126$
	$3$	$21$

Passaggio 16.6

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$18$	$126$
	$3$	$21$	$125$

Passaggio 16.7

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(125)$ per il divisore $(6)$ e posiziona il risultato di $(750)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 12)$ .

$6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$18$	$126$	$750$
	$3$	$21$	$125$

Passaggio 16.8

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$18$	$126$	$750$
	$3$	$21$	$125$	$738$

Passaggio 16.9

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(738)$ per il divisore $(6)$ e posiziona il risultato di $(4428)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 12)$ .

$6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$18$	$126$	$750$	$4428$
	$3$	$21$	$125$	$738$

Passaggio 16.10

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$18$	$126$	$750$	$4428$
	$3$	$21$	$125$	$738$	$4416$

Passaggio 16.11

Tutti i numeri eccetto l'ultimo diventano i coefficienti del polinomio quoziente. L'ultimo valore nella riga del risultato è il resto.

$3 x^{3} + 21 x^{2} + (125) x + 738 + \frac{4416}{x - 6}$

Passaggio 16.12

Semplifica il polinomio quoziente.

$3 x^{3} + 21 x^{2} + 125 x + 738 + \frac{4416}{x - 6}$

Passaggio 17

Poiché $6 > 0$ e tutti i segni nella riga inferiore della divisione sintetica sono positivi, $6$ è un maggiorante per le radici reali della funzione.

Maggiorante: $6$

Passaggio 18

Applica la divisione sintetica su $\frac{3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} - 12 x - 12}{x + 6}$ quando $x = - 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1

Inserisci i numeri che rappresentano il divisore e il dividendo in una configurazione da divisione.

$- 6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

Passaggio 18.2

Il primo numero nel dividendo $(3)$ è messo nella prima posizione dell'area risultante (al di sotto della retta orizzontale).

$- 6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

	$3$

Passaggio 18.3

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(3)$ per il divisore $(- 6)$ e posiziona il risultato di $(- 18)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(3)$ .

$- 6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 18$
	$3$

Passaggio 18.4

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- 6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 18$
	$3$	$- 15$

Passaggio 18.5

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(- 15)$ per il divisore $(- 6)$ e posiziona il risultato di $(90)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 1)$ .

$- 6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 18$	$90$
	$3$	$- 15$

Passaggio 18.6

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- 6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 18$	$90$
	$3$	$- 15$	$89$

Passaggio 18.7

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(89)$ per il divisore $(- 6)$ e posiziona il risultato di $(- 534)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 12)$ .

$- 6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 18$	$90$	$- 534$
	$3$	$- 15$	$89$

Passaggio 18.8

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- 6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 18$	$90$	$- 534$
	$3$	$- 15$	$89$	$- 546$

Passaggio 18.9

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(- 546)$ per il divisore $(- 6)$ e posiziona il risultato di $(3276)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 12)$ .

$- 6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 18$	$90$	$- 534$	$3276$
	$3$	$- 15$	$89$	$- 546$

Passaggio 18.10

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- 6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 18$	$90$	$- 534$	$3276$
	$3$	$- 15$	$89$	$- 546$	$3264$

Passaggio 18.11

Tutti i numeri eccetto l'ultimo diventano i coefficienti del polinomio quoziente. L'ultimo valore nella riga del risultato è il resto.

$3 x^{3} + - 15 x^{2} + (89) x - 546 + \frac{3264}{x + 6}$

Passaggio 18.12

Semplifica il polinomio quoziente.

$3 x^{3} - 15 x^{2} + 89 x - 546 + \frac{3264}{x + 6}$

Passaggio 19

Poiché $- 6 < 0$ e tutti i segni nella riga inferiore della divisione sintetica alternano il segno, $- 6$ è un minorante per le radici reali della funzione.

Minorante: $- 6$

Passaggio 20

Applica la divisione sintetica su $\frac{3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} - 12 x - 12}{x - 12}$ quando $x = 12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.1

Inserisci i numeri che rappresentano il divisore e il dividendo in una configurazione da divisione.

$12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

Passaggio 20.2

Il primo numero nel dividendo $(3)$ è messo nella prima posizione dell'area risultante (al di sotto della retta orizzontale).

$12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

	$3$

Passaggio 20.3

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(3)$ per il divisore $(12)$ e posiziona il risultato di $(36)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(3)$ .

$12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$36$
	$3$

Passaggio 20.4

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$36$
	$3$	$39$

Passaggio 20.5

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(39)$ per il divisore $(12)$ e posiziona il risultato di $(468)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 1)$ .

$12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$36$	$468$
	$3$	$39$

Passaggio 20.6

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$36$	$468$
	$3$	$39$	$467$

Passaggio 20.7

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(467)$ per il divisore $(12)$ e posiziona il risultato di $(5604)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 12)$ .

$12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$36$	$468$	$5604$
	$3$	$39$	$467$

Passaggio 20.8

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$36$	$468$	$5604$
	$3$	$39$	$467$	$5592$

Passaggio 20.9

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(5592)$ per il divisore $(12)$ e posiziona il risultato di $(67104)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 12)$ .

$12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$36$	$468$	$5604$	$67104$
	$3$	$39$	$467$	$5592$

Passaggio 20.10

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$36$	$468$	$5604$	$67104$
	$3$	$39$	$467$	$5592$	$67092$

Passaggio 20.11

Tutti i numeri eccetto l'ultimo diventano i coefficienti del polinomio quoziente. L'ultimo valore nella riga del risultato è il resto.

$3 x^{3} + 39 x^{2} + (467) x + 5592 + \frac{67092}{x - 12}$

Passaggio 20.12

Semplifica il polinomio quoziente.

$3 x^{3} + 39 x^{2} + 467 x + 5592 + \frac{67092}{x - 12}$

Passaggio 21

Poiché $12 > 0$ e tutti i segni nella riga inferiore della divisione sintetica sono positivi, $12$ è un maggiorante per le radici reali della funzione.

Maggiorante: $12$

Passaggio 22

Applica la divisione sintetica su $\frac{3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} - 12 x - 12}{x + 12}$ quando $x = - 12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.1

Inserisci i numeri che rappresentano il divisore e il dividendo in una configurazione da divisione.

$- 12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

Passaggio 22.2

Il primo numero nel dividendo $(3)$ è messo nella prima posizione dell'area risultante (al di sotto della retta orizzontale).

$- 12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

	$3$

Passaggio 22.3

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(3)$ per il divisore $(- 12)$ e posiziona il risultato di $(- 36)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(3)$ .

$- 12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 36$
	$3$

Passaggio 22.4

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- 12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 36$
	$3$	$- 33$

Passaggio 22.5

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(- 33)$ per il divisore $(- 12)$ e posiziona il risultato di $(396)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 1)$ .

$- 12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 36$	$396$
	$3$	$- 33$

Passaggio 22.6

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- 12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 36$	$396$
	$3$	$- 33$	$395$

Passaggio 22.7

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(395)$ per il divisore $(- 12)$ e posiziona il risultato di $(- 4740)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 12)$ .

$- 12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 36$	$396$	$- 4740$
	$3$	$- 33$	$395$

Passaggio 22.8

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- 12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 36$	$396$	$- 4740$
	$3$	$- 33$	$395$	$- 4752$

Passaggio 22.9

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(- 4752)$ per il divisore $(- 12)$ e posiziona il risultato di $(57024)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 12)$ .

$- 12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 36$	$396$	$- 4740$	$57024$
	$3$	$- 33$	$395$	$- 4752$

Passaggio 22.10

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- 12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 36$	$396$	$- 4740$	$57024$
	$3$	$- 33$	$395$	$- 4752$	$57012$

Passaggio 22.11

Tutti i numeri eccetto l'ultimo diventano i coefficienti del polinomio quoziente. L'ultimo valore nella riga del risultato è il resto.

$3 x^{3} + - 33 x^{2} + (395) x - 4752 + \frac{57012}{x + 12}$

Passaggio 22.12

Semplifica il polinomio quoziente.

$3 x^{3} - 33 x^{2} + 395 x - 4752 + \frac{57012}{x + 12}$

Passaggio 23

Poiché $- 12 < 0$ e tutti i segni nella riga inferiore della divisione sintetica alternano il segno, $- 12$ è un minorante per le radici reali della funzione.

Minorante: $- 12$

Passaggio 24

Determina i limiti superiore e inferiore.

Maggioranti: $2, 3, 4, 6, 12$

Minoranti: $- 2, - 3, - 4, - \frac{4}{3}, - 6, - 12$

Passaggio 25