Algebra Esempi

${(\sqrt{2} + i \sqrt{2})}^{3}$

Passaggio 1

Usa il teorema binomiale.

${\sqrt{2}}^{3} + 3 {\sqrt{2}}^{2} (i \sqrt{2}) + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Passaggio 2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{3}$ come $\sqrt{2^{3}}$ .

$\sqrt{2^{3}} + 3 {\sqrt{2}}^{2} (i \sqrt{2}) + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Passaggio 2.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$\sqrt{8} + 3 {\sqrt{2}}^{2} (i \sqrt{2}) + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Passaggio 2.1.3

Riscrivi $8$ come $2^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$\sqrt{4 (2)} + 3 {\sqrt{2}}^{2} (i \sqrt{2}) + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Passaggio 2.1.3.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2} \cdot 2} + 3 {\sqrt{2}}^{2} (i \sqrt{2}) + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Passaggio 2.1.4

Estrai i termini dal radicale.

$2 \sqrt{2} + 3 {\sqrt{2}}^{2} (i \sqrt{2}) + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Passaggio 2.1.5

Moltiplica ${\sqrt{2}}^{2}$ per $\sqrt{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.1

Sposta $\sqrt{2}$ .

$2 \sqrt{2} + 3 (\sqrt{2} {\sqrt{2}}^{2}) i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Passaggio 2.1.5.2

Moltiplica $\sqrt{2}$ per ${\sqrt{2}}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.2.1

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$2 \sqrt{2} + 3 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{2}) i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Passaggio 2.1.5.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 \sqrt{2} + 3 {\sqrt{2}}^{1 + 2} i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Passaggio 2.1.5.3

Somma $1$ e $2$ .

$2 \sqrt{2} + 3 {\sqrt{2}}^{3} i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Passaggio 2.1.6

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{3}$ come $\sqrt{2^{3}}$ .

$2 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2^{3}} i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Passaggio 2.1.7

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$2 \sqrt{2} + 3 \sqrt{8} i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Passaggio 2.1.8

Riscrivi $8$ come $2^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.8.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$2 \sqrt{2} + 3 \sqrt{4 (2)} i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Passaggio 2.1.8.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$2 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2^{2} \cdot 2} i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Passaggio 2.1.9

Estrai i termini dal radicale.

$2 \sqrt{2} + 3 (2 \sqrt{2}) i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Passaggio 2.1.10

Moltiplica $2$ per $3$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Passaggio 2.1.11

Applica la regola del prodotto a $i \sqrt{2}$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 \sqrt{2} (i^{2} {\sqrt{2}}^{2}) + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Passaggio 2.1.12

Moltiplica $\sqrt{2}$ per ${\sqrt{2}}^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.12.1

Sposta ${\sqrt{2}}^{2}$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 ({\sqrt{2}}^{2} \sqrt{2}) i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Passaggio 2.1.12.2

Moltiplica ${\sqrt{2}}^{2}$ per $\sqrt{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.12.2.1

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 ({\sqrt{2}}^{2} {\sqrt{2}}^{1}) i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Passaggio 2.1.12.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 {\sqrt{2}}^{2 + 1} i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Passaggio 2.1.12.3

Somma $2$ e $1$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 {\sqrt{2}}^{3} i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Passaggio 2.1.13

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{3}$ come $\sqrt{2^{3}}$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 \sqrt{2^{3}} i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Passaggio 2.1.14

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 \sqrt{8} i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Passaggio 2.1.15

Riscrivi $8$ come $2^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.15.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 \sqrt{4 (2)} i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Passaggio 2.1.15.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 \sqrt{2^{2} \cdot 2} i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Passaggio 2.1.16

Estrai i termini dal radicale.

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 (2 \sqrt{2}) i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Passaggio 2.1.17

Moltiplica $2$ per $3$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 6 \sqrt{2} i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Passaggio 2.1.18

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 6 \sqrt{2} \cdot - 1 + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Passaggio 2.1.19

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Passaggio 2.1.20

Applica la regola del prodotto a $i \sqrt{2}$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} + i^{3} {\sqrt{2}}^{3}$

Passaggio 2.1.21

Metti in evidenza $i^{2}$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} + i^{2} \cdot i {\sqrt{2}}^{3}$

Passaggio 2.1.22

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} - 1 \cdot i {\sqrt{2}}^{3}$

Passaggio 2.1.23

Riscrivi $- 1 i$ come $- i$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} - i {\sqrt{2}}^{3}$

Passaggio 2.1.24

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{3}$ come $\sqrt{2^{3}}$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} - i \sqrt{2^{3}}$

Passaggio 2.1.25

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} - i \sqrt{8}$

Passaggio 2.1.26

Riscrivi $8$ come $2^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.26.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} - i \sqrt{4 (2)}$

Passaggio 2.1.26.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} - i \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Passaggio 2.1.27

Estrai i termini dal radicale.

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} - i (2 \sqrt{2})$

Passaggio 2.1.28

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}$

Passaggio 2.2

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sottrai $6 \sqrt{2}$ da $2 \sqrt{2}$ .

$6 \sqrt{2} i - 4 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}$

Passaggio 2.2.2

Riordina i fattori di $6 \sqrt{2} i$ .

$6 i \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}$

Passaggio 2.2.3

Sottrai $2 i \sqrt{2}$ da $6 i \sqrt{2}$ .

$4 i \sqrt{2} - 4 \sqrt{2}$

Passaggio 2.2.4

Riordina $4 i \sqrt{2}$ e $- 4 \sqrt{2}$ .

$- 4 \sqrt{2} + 4 i \sqrt{2}$

Passaggio 3

Questa è la forma trigonometrica di un numero complesso dove $| z |$ è il modulo e $θ$ è l'angolo creato sul piano complesso.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Passaggio 4

Il modulo di un numero complesso è la distanza dall'origine sul piano complesso.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dove $z = a + b i$

Passaggio 5

Sostituisci i valori effettivi di $a = - 4 \sqrt{2}$ e $b = 4 \sqrt{2}$ .

$| z | = \sqrt{{(4 \sqrt{2})}^{2} + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

Passaggio 6

Trova $| z |$ .

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Passaggio 6.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Applica la regola del prodotto a $4 \sqrt{2}$ .

$| z | = \sqrt{4^{2} {\sqrt{2}}^{2} + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

Passaggio 6.1.2

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$| z | = \sqrt{16 {\sqrt{2}}^{2} + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

Passaggio 6.2

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{16 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

Passaggio 6.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{16 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

Passaggio 6.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$| z | = \sqrt{16 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

Passaggio 6.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$| z | = \sqrt{16 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

Passaggio 6.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$| z | = \sqrt{16 \cdot 2 + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

Passaggio 6.2.5

Calcola l'esponente.

$| z | = \sqrt{16 \cdot 2 + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

Passaggio 6.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 6.3.1

Moltiplica $16$ per $2$ .

$| z | = \sqrt{32 + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

Passaggio 6.3.2

Applica la regola del prodotto a $- 4 \sqrt{2}$ .

$| z | = \sqrt{32 + {(- 4)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}}$

Passaggio 6.3.3

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$| z | = \sqrt{32 + 16 {\sqrt{2}}^{2}}$

Passaggio 6.4

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{32 + 16 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 6.4.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{32 + 16 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 6.4.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$| z | = \sqrt{32 + 16 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 6.4.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$| z | = \sqrt{32 + 16 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 6.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$| z | = \sqrt{32 + 16 \cdot 2}$

Passaggio 6.4.5

Calcola l'esponente.

$| z | = \sqrt{32 + 16 \cdot 2}$

Passaggio 6.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Moltiplica $16$ per $2$ .

$| z | = \sqrt{32 + 32}$

Passaggio 6.5.2

Somma $32$ e $32$ .

$| z | = \sqrt{64}$

Passaggio 6.5.3

Riscrivi $64$ come $8^{2}$ .

$| z | = \sqrt{8^{2}}$

Passaggio 6.5.4

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$| z | = 8$

Passaggio 7

L'angolo definito dal punto sul piano complesso è l'inverso della tangente della parte complessa sulla parte reale.

$θ = \arctan (\frac{4 \sqrt{2}}{- 4 \sqrt{2}})$

Passaggio 8

Poiché l'inverso della tangente di $\frac{4 \sqrt{2}}{- 4 \sqrt{2}}$ produce un angolo nel secondo quadrante, il valore dell'angolo è $\frac{3 π}{4}$ .

$θ = \frac{3 π}{4}$

Passaggio 9

Sostituisci i valori di $θ = \frac{3 π}{4}$ e $| z | = 8$ .

$8 (\cos (\frac{3 π}{4}) + i \sin (\frac{3 π}{4}))$