Algebra Esempi

\sqrt{x^{3} + 1}

$\sqrt{x^{3} + 1}$

Passaggio 1

Imposta il radicando in

\sqrt{x^{3} + 1}

$\sqrt{x^{3} + 1}$ in modo che sia maggiore o uguale a

0

$0$ per individuare dove l'espressione è definita.

x^{3} + 1 \geq 0

$x^{3} + 1 \geq 0$

Passaggio 2

Risolvi per

x

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sottrai

1

$1$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

x^{3} \geq - 1

$x^{3} \geq - 1$

Passaggio 2.2

Aggiungi

1

$1$ a entrambi i lati della diseguaglianza.

x^{3} + 1 \geq 0

$x^{3} + 1 \geq 0$

Passaggio 2.3

Converti la diseguaglianza in un'equazione.

x^{3} + 1 = 0

$x^{3} + 1 = 0$

Passaggio 2.4

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Riscrivi

1

$1$ come

1^{3}

$1^{3}$ .

x^{3} + 1^{3} = 0

$x^{3} + 1^{3} = 0$

Passaggio 2.4.2

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza utilizzando la formula della somma di cubi,

a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})

$a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ dove

a = x

$a = x$ e

b = 1

$b = 1$ .

(x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2}) = 0

$(x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Passaggio 2.4.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

1

$1$ .

(x + 1) (x^{2} - x + 1^{2}) = 0

$(x + 1) (x^{2} - x + 1^{2}) = 0$

Passaggio 2.4.3.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

(x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0

$(x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0$

(x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0

$(x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0$

(x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0

$(x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0$

Passaggio 2.5

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a

0

$0$ , l'intera espressione sarà uguale a

0

$0$ .

x + 1 = 0

$x + 1 = 0$

x^{2} - x + 1 = 0

$x^{2} - x + 1 = 0$

Passaggio 2.6

Imposta

x + 1

$x + 1$ uguale a

0

$0$ e risolvi per

x

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Imposta

x + 1

$x + 1$ uguale a

0

$0$ .

x + 1 = 0

$x + 1 = 0$

Passaggio 2.6.2

Sottrai

1

$1$ da entrambi i lati dell'equazione.

x = - 1

$x = - 1$

x = - 1

$x = - 1$

Passaggio 2.7

Imposta

x^{2} - x + 1

$x^{2} - x + 1$ uguale a

0

$0$ e risolvi per

x

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Imposta

x^{2} - x + 1

$x^{2} - x + 1$ uguale a

0

$0$ .

x^{2} - x + 1 = 0

$x^{2} - x + 1 = 0$

Passaggio 2.7.2

Risolvi

x^{2} - x + 1 = 0

$x^{2} - x + 1 = 0$ per

x

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 2.7.2.2

Sostituisci i valori

a = 1

$a = 1$ ,

b = - 1

$b = - 1$ e

c = 1

$c = 1$ nella formula quadratica e risolvi per

x

$x$ .

\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.7.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.3.1.1

Eleva

- 1

$- 1$ alla potenza di

2

$2$ .

x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.7.2.3.1.2

Moltiplica

- 4 \cdot 1 \cdot 1

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.3.1.2.1

Moltiplica

- 4

$- 4$ per

1

$1$ .

x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.7.2.3.1.2.2

Moltiplica

- 4

$- 4$ per

1

$1$ .

x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.7.2.3.1.3

Sottrai

4

$4$ da

1

$1$ .

x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.7.2.3.1.4

Riscrivi

- 3

$- 3$ come

- 1 (3)

$- 1 (3)$ .

x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.7.2.3.1.5

Riscrivi

\sqrt{- 1 (3)}

$\sqrt{- 1 (3)}$ come

\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.7.2.3.1.6

Riscrivi

\sqrt{- 1}

$\sqrt{- 1}$ come

i

$i$ .

x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.7.2.3.2

Moltiplica

2

$2$ per

1

$1$ .

x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 2.7.2.4

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione

+

$+$ di

\pm

$\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.4.1.1

Eleva

- 1

$- 1$ alla potenza di

2

$2$ .

x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.7.2.4.1.2

Moltiplica

- 4 \cdot 1 \cdot 1

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.4.1.2.1

Moltiplica

- 4

$- 4$ per

1

$1$ .

x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.7.2.4.1.2.2

Moltiplica

- 4

$- 4$ per

1

$1$ .

x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.7.2.4.1.3

Sottrai

4

$4$ da

1

$1$ .

x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.7.2.4.1.4

Riscrivi

- 3

$- 3$ come

- 1 (3)

$- 1 (3)$ .

x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.7.2.4.1.5

Riscrivi

\sqrt{- 1 (3)}

$\sqrt{- 1 (3)}$ come

\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.7.2.4.1.6

Riscrivi

\sqrt{- 1}

$\sqrt{- 1}$ come

i

$i$ .

x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.7.2.4.2

Moltiplica

2

$2$ per

1

$1$ .

x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 2.7.2.4.3

Cambia da

\pm

$\pm$ a

+

$+$ .

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 2.7.2.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione

$-$ di

$\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.5.1.1

Eleva

$- 1$ alla potenza di

$2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.7.2.5.1.2

Moltiplica

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.5.1.2.1

Moltiplica

$- 4$ per

$1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.7.2.5.1.2.2

Moltiplica

$- 4$ per

$1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.7.2.5.1.3

Sottrai

$4$ da

$1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.7.2.5.1.4

Riscrivi

$- 3$ come

$- 1 (3)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.7.2.5.1.5

Riscrivi

$\sqrt{- 1 (3)}$ come

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.7.2.5.1.6

Riscrivi

$\sqrt{- 1}$ come

$i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.7.2.5.2

Moltiplica

$2$ per

$1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 2.7.2.5.3

Cambia da

$\pm$ a

$-$ .

$x = \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 2.7.2.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 2.8

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono

$(x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0$ vera.

$x = - 1, \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 2.9

Identifica il coefficiente direttivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.1

Il termine con l'esponente maggiore in un polinomio è il termine con il grado più alto.

$x^{3}$

Passaggio 2.9.2

Il coefficiente direttivo in un polinomio è il coefficiente del termine con l'esponente maggiore.

$1$

Passaggio 2.10

Poiché non c'è nessuna reale intercetta di x e il coefficiente direttivo è positivo, la parabola si apre in alto e

$x^{3} + 1$ è sempre maggiore di

$0$ .

Tutti i numeri reali

Passaggio 3

Il dominio è l'insieme di numeri reali.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 4