Algebra Esempi

$\sqrt{x^{3} + 1}$

Passaggio 1

Imposta il radicando in $\sqrt{x^{3} + 1}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x^{3} + 1 \geq 0$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$x^{3} \geq - 1$

Passaggio 2.2

Aggiungi $1$ a entrambi i lati della diseguaglianza.

$x^{3} + 1 \geq 0$

Passaggio 2.3

Converti la diseguaglianza in un'equazione.

$x^{3} + 1 = 0$

Passaggio 2.4

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Riscrivi $1$ come $1^{3}$ .

$x^{3} + 1^{3} = 0$

Passaggio 2.4.2

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza utilizzando la formula della somma di cubi, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$(x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Passaggio 2.4.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$(x + 1) (x^{2} - x + 1^{2}) = 0$

Passaggio 2.4.3.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$(x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0$

Passaggio 2.5

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

$x^{2} - x + 1 = 0$

Passaggio 2.6

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 2.6.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 2.7

Imposta $x^{2} - x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Imposta $x^{2} - x + 1$ uguale a $0$ .

$x^{2} - x + 1 = 0$

Passaggio 2.7.2

Risolvi $x^{2} - x + 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 2.7.2.2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = - 1$ e $c = 1$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.7.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.3.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.7.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.7.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.7.2.3.1.3

Sottrai $4$ da $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.7.2.3.1.4

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.7.2.3.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (3)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.7.2.3.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.7.2.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 2.7.2.4

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.4.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.7.2.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.7.2.4.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.7.2.4.1.3

Sottrai $4$ da $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.7.2.4.1.4

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.7.2.4.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (3)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.7.2.4.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.7.2.4.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 2.7.2.4.3

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 2.7.2.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.5.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.7.2.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.7.2.5.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.7.2.5.1.3

Sottrai $4$ da $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.7.2.5.1.4

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.7.2.5.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (3)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.7.2.5.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.7.2.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 2.7.2.5.3

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 2.7.2.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 2.8

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0$ vera.

$x = - 1, \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 2.9

Identifica il coefficiente direttivo.

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Passaggio 2.9.1

Il termine con l'esponente maggiore in un polinomio è il termine con il grado più alto.

$x^{3}$

Passaggio 2.9.2

Il coefficiente direttivo in un polinomio è il coefficiente del termine con l'esponente maggiore.

$1$

Passaggio 2.10

Poiché non c'è nessuna reale intercetta di x e il coefficiente direttivo è positivo, la parabola si apre in alto e $x^{3} + 1$ è sempre maggiore di $0$ .

Tutti i numeri reali

Passaggio 3

Il dominio è l'insieme di numeri reali.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 4