Algebra Esempi

Trovare le Radici/Zeri usando il Teorema delle Radici Razionali 3x^5+14x^4+22x^3+12x^2-x-2
Passaggio 1
Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma , dove è un fattore della costante e è un fattore del coefficiente direttivo.
Passaggio 2
Trova ciascuna combinazione di . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.
Passaggio 3
Nel polinomio, sostituisci le possibili radici una alla volta per trovare le radici effettive. Semplifica per verificare se il valore è ; ciò significa che è una radice.
Passaggio 4
Semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a , quindi è una radice del polinomio.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.1
Semplifica ciascun termine.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.1.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 4.1.2
Moltiplica per .
Passaggio 4.1.3
Eleva alla potenza di .
Passaggio 4.1.4
Moltiplica per .
Passaggio 4.1.5
Eleva alla potenza di .
Passaggio 4.1.6
Moltiplica per .
Passaggio 4.1.7
Eleva alla potenza di .
Passaggio 4.1.8
Moltiplica per .
Passaggio 4.1.9
Moltiplica per .
Passaggio 4.2
Semplifica aggiungendo e sottraendo.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.2.1
Somma e .
Passaggio 4.2.2
Sottrai da .
Passaggio 4.2.3
Somma e .
Passaggio 4.2.4
Somma e .
Passaggio 4.2.5
Sottrai da .
Passaggio 5
Poiché è una radice nota, dividi il polinomio per per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può essere utilizzato per trovare le restanti radici.
Passaggio 6
Ora, trova le radici del polinomio rimanente. L'ordine del polinomio è stato ridotto di .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 6.1
Inserisci i numeri che rappresentano il divisore e il dividendo in una configurazione da divisione.
  
Passaggio 6.2
Il primo numero nel dividendo è messo nella prima posizione dell'area risultante (al di sotto della retta orizzontale).
  
Passaggio 6.3
Moltiplica l'ultima voce nel risultato per il divisore e posiziona il risultato di sotto il termine successivo nel dividendo .
  
Passaggio 6.4
Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.
  
Passaggio 6.5
Moltiplica l'ultima voce nel risultato per il divisore e posiziona il risultato di sotto il termine successivo nel dividendo .
  
Passaggio 6.6
Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.
  
Passaggio 6.7
Moltiplica l'ultima voce nel risultato per il divisore e posiziona il risultato di sotto il termine successivo nel dividendo .
  
Passaggio 6.8
Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.
  
Passaggio 6.9
Moltiplica l'ultima voce nel risultato per il divisore e posiziona il risultato di sotto il termine successivo nel dividendo .
  
Passaggio 6.10
Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.
  
Passaggio 6.11
Moltiplica l'ultima voce nel risultato per il divisore e posiziona il risultato di sotto il termine successivo nel dividendo .
 
Passaggio 6.12
Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.
 
Passaggio 6.13
Tutti i numeri eccetto l'ultimo diventano i coefficienti del polinomio quoziente. L'ultimo valore nella riga del risultato è il resto.
Passaggio 6.14
Semplifica il polinomio quoziente.
Passaggio 7
Risolvi l'equazione per trovare tutte le radici rimanenti.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 7.1
Scomponi il primo membro dell'equazione.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 7.1.1
Raggruppa i termini.
Passaggio 7.1.2
Scomponi da .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 7.1.2.1
Scomponi da .
Passaggio 7.1.2.2
Scomponi da .
Passaggio 7.1.2.3
Scomponi da .
Passaggio 7.1.3
Scomponi usando il teorema delle radici razionali.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 7.1.3.1
Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma , dove è un fattore della costante e è un fattore del coefficiente direttivo.
Passaggio 7.1.3.2
Trova ciascuna combinazione di . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.
Passaggio 7.1.3.3
Sostituisci e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a quindi è una radice del polinomio.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 7.1.3.3.1
Sostituisci nel polinomio.
Passaggio 7.1.3.3.2
Eleva alla potenza di .
Passaggio 7.1.3.3.3
Moltiplica per .
Passaggio 7.1.3.3.4
Sottrai da .
Passaggio 7.1.3.3.5
Sottrai da .
Passaggio 7.1.3.4
Poiché è una radice nota, dividi il polinomio per per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.
Passaggio 7.1.3.5
Dividi per .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 7.1.3.5.1
Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di .
++++-
Passaggio 7.1.3.5.2
Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo per il termine di ordine più alto nel divisore .
++++-
Passaggio 7.1.3.5.3
Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.
++++-
++
Passaggio 7.1.3.5.4
L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in
++++-
--
Passaggio 7.1.3.5.5
Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.
++++-
--
-
Passaggio 7.1.3.5.6
Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.
++++-
--
-+
Passaggio 7.1.3.5.7
Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo per il termine di ordine più alto nel divisore .
-
++++-
--
-+
Passaggio 7.1.3.5.8
Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.
-
++++-
--
-+
--
Passaggio 7.1.3.5.9
L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in
-
++++-
--
-+
++
Passaggio 7.1.3.5.10
Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.
-
++++-
--
-+
++
+
Passaggio 7.1.3.5.11
Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.
-
++++-
--
-+
++
++
Passaggio 7.1.3.5.12
Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo per il termine di ordine più alto nel divisore .
-+
++++-
--
-+
++
++
Passaggio 7.1.3.5.13
Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.
-+
++++-
--
-+
++
++
++
Passaggio 7.1.3.5.14
L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in
-+
++++-
--
-+
++
++
--
Passaggio 7.1.3.5.15
Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.
-+
++++-
--
-+
++
++
--
-
Passaggio 7.1.3.5.16
Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.
-+
++++-
--
-+
++
++
--
--
Passaggio 7.1.3.5.17
Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo per il termine di ordine più alto nel divisore .
-+-
++++-
--
-+
++
++
--
--
Passaggio 7.1.3.5.18
Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.
-+-
++++-
--
-+
++
++
--
--
--
Passaggio 7.1.3.5.19
L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in
-+-
++++-
--
-+
++
++
--
--
++
Passaggio 7.1.3.5.20
Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.
-+-
++++-
--
-+
++
++
--
--
++
Passaggio 7.1.3.5.21
Poiché il resto è , la risposta finale è il quoziente.
Passaggio 7.1.3.6
Scrivi come insieme di fattori.
Passaggio 7.1.4
Scomponi da .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 7.1.4.1
Scomponi da .
Passaggio 7.1.4.2
Scomponi da .
Passaggio 7.1.5
Sottrai da .
Passaggio 7.1.6
Scomponi.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 7.1.6.1
Riscrivi in una forma fattorizzata.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 7.1.6.1.1
Scomponi usando il teorema delle radici razionali.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 7.1.6.1.1.1
Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma , dove è un fattore della costante e è un fattore del coefficiente direttivo.
Passaggio 7.1.6.1.1.2
Trova ciascuna combinazione di . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.
Passaggio 7.1.6.1.1.3
Sostituisci e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a quindi è una radice del polinomio.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 7.1.6.1.1.3.1
Sostituisci nel polinomio.
Passaggio 7.1.6.1.1.3.2
Eleva alla potenza di .
Passaggio 7.1.6.1.1.3.3
Moltiplica per .
Passaggio 7.1.6.1.1.3.4
Eleva alla potenza di .
Passaggio 7.1.6.1.1.3.5
Moltiplica per .
Passaggio 7.1.6.1.1.3.6
Somma e .
Passaggio 7.1.6.1.1.3.7
Moltiplica per .
Passaggio 7.1.6.1.1.3.8
Sottrai da .
Passaggio 7.1.6.1.1.3.9
Sottrai da .
Passaggio 7.1.6.1.1.4
Poiché è una radice nota, dividi il polinomio per per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.
Passaggio 7.1.6.1.1.5
Dividi per .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 7.1.6.1.1.5.1
Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di .
+++-
Passaggio 7.1.6.1.1.5.2
Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo per il termine di ordine più alto nel divisore .
+++-
Passaggio 7.1.6.1.1.5.3
Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.
+++-
++
Passaggio 7.1.6.1.1.5.4
L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in
+++-
--
Passaggio 7.1.6.1.1.5.5
Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.
+++-
--
+
Passaggio 7.1.6.1.1.5.6
Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.
+++-
--
++
Passaggio 7.1.6.1.1.5.7
Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo per il termine di ordine più alto nel divisore .
+
+++-
--
++
Passaggio 7.1.6.1.1.5.8
Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.
+
+++-
--
++
++
Passaggio 7.1.6.1.1.5.9
L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in
+
+++-
--
++
--
Passaggio 7.1.6.1.1.5.10
Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.
+
+++-
--
++
--
-
Passaggio 7.1.6.1.1.5.11
Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.
+
+++-
--
++
--
--
Passaggio 7.1.6.1.1.5.12
Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo per il termine di ordine più alto nel divisore .
+-
+++-
--
++
--
--
Passaggio 7.1.6.1.1.5.13
Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.
+-
+++-
--
++
--
--
--
Passaggio 7.1.6.1.1.5.14
L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in
+-
+++-
--
++
--
--
++
Passaggio 7.1.6.1.1.5.15
Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.
+-
+++-
--
++
--
--
++
Passaggio 7.1.6.1.1.5.16
Poiché il resto è , la risposta finale è il quoziente.
Passaggio 7.1.6.1.1.6
Scrivi come insieme di fattori.
Passaggio 7.1.6.1.2
Scomponi mediante raccoglimento.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 7.1.6.1.2.1
Scomponi mediante raccoglimento.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 7.1.6.1.2.1.1
Per un polinomio della forma , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è e la cui somma è .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 7.1.6.1.2.1.1.1
Scomponi da .
Passaggio 7.1.6.1.2.1.1.2
Riscrivi come più .
Passaggio 7.1.6.1.2.1.1.3
Applica la proprietà distributiva.
Passaggio 7.1.6.1.2.1.2
Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 7.1.6.1.2.1.2.1
Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.
Passaggio 7.1.6.1.2.1.2.2
Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.
Passaggio 7.1.6.1.2.1.3
Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, .
Passaggio 7.1.6.1.2.2
Rimuovi le parentesi non necessarie.
Passaggio 7.1.6.2
Rimuovi le parentesi non necessarie.
Passaggio 7.1.7
Raccogli gli esponenti.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 7.1.7.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 7.1.7.2
Eleva alla potenza di .
Passaggio 7.1.7.3
Utilizza la regola per la potenza di una potenza per combinare gli esponenti.
Passaggio 7.1.7.4
Somma e .
Passaggio 7.2
Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a , l'intera espressione sarà uguale a .
Passaggio 7.3
Imposta uguale a e risolvi per .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 7.3.1
Imposta uguale a .
Passaggio 7.3.2
Risolvi per .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 7.3.2.1
Poni uguale a .
Passaggio 7.3.2.2
Sottrai da entrambi i lati dell'equazione.
Passaggio 7.4
Imposta uguale a e risolvi per .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 7.4.1
Imposta uguale a .
Passaggio 7.4.2
Risolvi per .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 7.4.2.1
Somma a entrambi i lati dell'equazione.
Passaggio 7.4.2.2
Dividi per ciascun termine in e semplifica.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 7.4.2.2.1
Dividi per ciascun termine in .
Passaggio 7.4.2.2.2
Semplifica il lato sinistro.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 7.4.2.2.2.1
Elimina il fattore comune di .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 7.4.2.2.2.1.1
Elimina il fattore comune.
Passaggio 7.4.2.2.2.1.2
Dividi per .
Passaggio 7.5
Imposta uguale a e risolvi per .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 7.5.1
Imposta uguale a .
Passaggio 7.5.2
Sottrai da entrambi i lati dell'equazione.
Passaggio 7.6
La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono vera.
Passaggio 8
Il polinomio può essere scritto come un insieme di fattori lineari.
Passaggio 9
Queste sono le radici (zero) del polinomio .
Passaggio 10