Algebra Esempi

$2 y + 2 y \geq 4 y + 7 y + 2 + 8 + y^{2}$

Passaggio 1

Riscrivi in modo che $y$ sia sul lato sinistro della diseguaglianza.

$4 y + 7 y + 2 + 8 + y^{2} \leq 2 y + 2 y$

Passaggio 2

Semplifica $4 y + 7 y + 2 + 8 + y^{2}$ .

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Passaggio 2.1

Somma $4 y$ e $7 y$ .

$11 y + 2 + 8 + y^{2} \leq 2 y + 2 y$

Passaggio 2.2

Somma $2$ e $8$ .

$11 y + 10 + y^{2} \leq 2 y + 2 y$

Passaggio 3

Somma $2 y$ e $2 y$ .

$11 y + 10 + y^{2} \leq 4 y$

Passaggio 4

Sposta tutti i termini contenenti $y$ sul lato sinistro della diseguaglianza.

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Passaggio 4.1

Sottrai $4 y$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$11 y + 10 + y^{2} - 4 y \leq 0$

Passaggio 4.2

Sottrai $4 y$ da $11 y$ .

$7 y + 10 + y^{2} \leq 0$

Passaggio 5

Converti la diseguaglianza in un'equazione.

$7 y + 10 + y^{2} = 0$

Passaggio 6

Scomponi $7 y + 10 + y^{2}$ usando il metodo AC.

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Passaggio 6.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $10$ e la cui somma è $7$ .

$2, 5$

Passaggio 6.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$(y + 2) (y + 5) = 0$

Passaggio 7

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$y + 2 = 0$

$y + 5 = 0$

Passaggio 8

Imposta $y + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $y$ .

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Passaggio 8.1

Imposta $y + 2$ uguale a $0$ .

$y + 2 = 0$

Passaggio 8.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = - 2$

Passaggio 9

Imposta $y + 5$ uguale a $0$ e risolvi per $y$ .

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Passaggio 9.1

Imposta $y + 5$ uguale a $0$ .

$y + 5 = 0$

Passaggio 9.2

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = - 5$

Passaggio 10

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(y + 2) (y + 5) = 0$ vera.

$y = - 2, - 5$

Passaggio 11

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$y < - 5$

$- 5 < y < - 2$

$y > - 2$

Passaggio 12

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 12.1

Testa un valore sull'intervallo $y < - 5$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 12.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $y < - 5$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$y = - 8$

Passaggio 12.1.2

Sostituisci $y$ con $- 8$ nella diseguaglianza originale.

$2 (- 8) + 2 (- 8) \geq 4 (- 8) + 7 (- 8) + 2 + 8 + {(- 8)}^{2}$

Passaggio 12.1.3

Il lato sinistro di $- 32$ è minore del lato destro di $- 14$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 12.2

Testa un valore sull'intervallo $- 5 < y < - 2$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 12.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 5 < y < - 2$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$y = - 4$

Passaggio 12.2.2

Sostituisci $y$ con $- 4$ nella diseguaglianza originale.

$2 (- 4) + 2 (- 4) \geq 4 (- 4) + 7 (- 4) + 2 + 8 + {(- 4)}^{2}$

Passaggio 12.2.3

Il lato sinistro di $- 16$ è maggiore del lato destro di $- 18$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 12.3

Testa un valore sull'intervallo $y > - 2$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 12.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $y > - 2$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$y = 0$

Passaggio 12.3.2

Sostituisci $y$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$2 (0) + 2 (0) \geq 4 (0) + 7 (0) + 2 + 8 + {(0)}^{2}$

Passaggio 12.3.3

Il lato sinistro di $0$ è minore del lato destro di $10$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 12.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$y < - 5$ Falso

$- 5 < y < - 2$ Vero

$y > - 2$ Falso

$y < - 5$ Falso

$- 5 < y < - 2$ Vero

$y > - 2$ Falso

Passaggio 13

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$- 5 \leq y \leq - 2$

Passaggio 14

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma della diseguaglianza:

$- 5 \leq y \leq - 2$

Notazione degli intervalli:

$[- 5, - 2]$

Passaggio 15