Algebra Esempi

$y = x^{3} + 3 x^{2} - 6 x - 8$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} + 3 x^{2} - 6 x - 8$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$3 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 x$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + 6 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 x^{2} + 6 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $- 6$ per $1$ .

$3 x^{2} + 6 x - 6 + \frac{d}{d x} [- 8]$

Passaggio 1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 x^{2} + 6 x - 6 + 0$

Passaggio 1.4.2

Somma $3 x^{2} + 6 x - 6$ e $0$ .

$3 x^{2} + 6 x - 6$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{2} + 6 x - 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x + 6 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 6)$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $6$ per $1$ .

$f'' (x) = 6 x + 6 + \frac{d}{d x} (- 6)$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 6 x + 6 + 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $6 x + 6$ e $0$ .

$f'' (x) = 6 x + 6$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$3 x^{2} + 6 x - 6 = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} + 3 x^{2} - 6 x - 8$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Passaggio 4.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$3 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 x$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + 6 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 x^{2} + 6 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8]$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $- 6$ per $1$ .

$3 x^{2} + 6 x - 6 + \frac{d}{d x} [- 8]$

Passaggio 4.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 x^{2} + 6 x - 6 + 0$

Passaggio 4.1.4.2

Somma $3 x^{2} + 6 x - 6$ e $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 6 x - 6$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $3 x^{2} + 6 x - 6$ .

$3 x^{2} + 6 x - 6$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $3 x^{2} + 6 x - 6 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$3 x^{2} + 6 x - 6 = 0$

Passaggio 5.2

Scomponi $3$ da $3 x^{2} + 6 x - 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $3$ da $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) + 6 x - 6 = 0$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $3$ da $6 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (2 x) - 6 = 0$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $3$ da $- 6$ .

$3 x^{2} + 3 (2 x) + 3 \cdot - 2 = 0$

Passaggio 5.2.4

Scomponi $3$ da $3 x^{2} + 3 (2 x)$ .

$3 (x^{2} + 2 x) + 3 \cdot - 2 = 0$

Passaggio 5.2.5

Scomponi $3$ da $3 (x^{2} + 2 x) + 3 \cdot - 2$ .

$3 (x^{2} + 2 x - 2) = 0$

Passaggio 5.3

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 (x^{2} + 2 x - 2) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 (x^{2} + 2 x - 2) = 0$ .

$\frac{3 (x^{2} + 2 x - 2)}{3} = \frac{0}{3}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 (x^{2} + 2 x - 2)}{3} = \frac{0}{3}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Dividi $x^{2} + 2 x - 2$ per $1$ .

$x^{2} + 2 x - 2 = \frac{0}{3}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Dividi $0$ per $3$ .

$x^{2} + 2 x - 2 = 0$

Passaggio 5.4

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 5.5

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = 2$ e $c = - 2$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.6.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.6.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.6.1.3

Somma $4$ e $8$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.6.1.4

Riscrivi $12$ come $2^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1.4.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.6.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.6.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.6.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 5.6.3

Semplifica $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{3}$

Passaggio 5.7

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.7.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.7.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.7.1.3

Somma $4$ e $8$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.7.1.4

Riscrivi $12$ come $2^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.1.4.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.7.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.7.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.7.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 5.7.3

Semplifica $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{3}$

Passaggio 5.7.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = - 1 + \sqrt{3}$

Passaggio 5.8

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.8.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.8.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.8.1.3

Somma $4$ e $8$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.8.1.4

Riscrivi $12$ come $2^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.1.4.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.8.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.8.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.8.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 5.8.3

Semplifica $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{3}$

Passaggio 5.8.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = - 1 - \sqrt{3}$

Passaggio 5.9

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - 1 + \sqrt{3}, - 1 - \sqrt{3}$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = - 1 + \sqrt{3}, - 1 - \sqrt{3}$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = - 1 + \sqrt{3}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$6 (- 1 + \sqrt{3}) + 6$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$6 \cdot - 1 + 6 \sqrt{3} + 6$

Passaggio 9.1.2

Moltiplica $6$ per $- 1$ .

$- 6 + 6 \sqrt{3} + 6$

Passaggio 9.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Somma $- 6$ e $6$ .

$0 + 6 \sqrt{3}$

Passaggio 9.2.2

Somma $0$ e $6 \sqrt{3}$ .

$6 \sqrt{3}$

Passaggio 10

$x = - 1 + \sqrt{3}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - 1 + \sqrt{3}$ è un minimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = - 1 + \sqrt{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1 + \sqrt{3}$ nell'espressione.

$f (- 1 + \sqrt{3}) = {(- 1 + \sqrt{3})}^{3} + 3 {(- 1 + \sqrt{3})}^{2} - 6 (- 1 + \sqrt{3}) - 8$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Usa il teorema binomiale.

$f (- 1 + \sqrt{3}) = {(- 1)}^{3} + 3 {(- 1)}^{2} \sqrt{3} + 3 \cdot (- 1 {\sqrt{3}}^{2}) + {\sqrt{3}}^{3} + 3 {(- 1 + \sqrt{3})}^{2} - 6 (- 1 + \sqrt{3}) - 8$

Passaggio 11.2.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.2.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f (- 1 + \sqrt{3}) = - 1 + 3 {(- 1)}^{2} \sqrt{3} + 3 \cdot (- 1 {\sqrt{3}}^{2}) + {\sqrt{3}}^{3} + 3 {(- 1 + \sqrt{3})}^{2} - 6 (- 1 + \sqrt{3}) - 8$

Passaggio 11.2.1.2.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- 1 + \sqrt{3}) = - 1 + 3 \cdot (1 \sqrt{3}) + 3 \cdot (- 1 {\sqrt{3}}^{2}) + {\sqrt{3}}^{3} + 3 {(- 1 + \sqrt{3})}^{2} - 6 (- 1 + \sqrt{3}) - 8$

Passaggio 11.2.1.2.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f (- 1 + \sqrt{3}) = - 1 + 3 \sqrt{3} + 3 \cdot (- 1 {\sqrt{3}}^{2}) + {\sqrt{3}}^{3} + 3 {(- 1 + \sqrt{3})}^{2} - 6 (- 1 + \sqrt{3}) - 8$

Passaggio 11.2.1.2.4

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$f (- 1 + \sqrt{3}) = - 1 + 3 \sqrt{3} - 3 {\sqrt{3}}^{2} + {\sqrt{3}}^{3} + 3 {(- 1 + \sqrt{3})}^{2} - 6 (- 1 + \sqrt{3}) - 8$

Passaggio 11.2.1.2.5

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.2.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- 1 + \sqrt{3}) = - 1 + 3 \sqrt{3} - 3 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{3}}^{3} + 3 {(- 1 + \sqrt{3})}^{2} - 6 (- 1 + \sqrt{3}) - 8$

Passaggio 11.2.1.2.5.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 1 + \sqrt{3}) = - 1 + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{3}}^{3} + 3 {(- 1 + \sqrt{3})}^{2} - 6 (- 1 + \sqrt{3}) - 8$

Passaggio 11.2.1.2.5.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- 1 + \sqrt{3}) = - 1 + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{3}}^{3} + 3 {(- 1 + \sqrt{3})}^{2} - 6 (- 1 + \sqrt{3}) - 8$

Passaggio 11.2.1.2.5.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.2.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (- 1 + \sqrt{3}) = - 1 + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{3}}^{3} + 3 {(- 1 + \sqrt{3})}^{2} - 6 (- 1 + \sqrt{3}) - 8$

Passaggio 11.2.1.2.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (- 1 + \sqrt{3}) = - 1 + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 3 + {\sqrt{3}}^{3} + 3 {(- 1 + \sqrt{3})}^{2} - 6 (- 1 + \sqrt{3}) - 8$

Passaggio 11.2.1.2.5.5

Calcola l'esponente.

$f (- 1 + \sqrt{3}) = - 1 + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 3 + {\sqrt{3}}^{3} + 3 {(- 1 + \sqrt{3})}^{2} - 6 (- 1 + \sqrt{3}) - 8$

Passaggio 11.2.1.2.6

Moltiplica $- 3$ per $3$ .

$f (- 1 + \sqrt{3}) = - 1 + 3 \sqrt{3} - 9 + {\sqrt{3}}^{3} + 3 {(- 1 + \sqrt{3})}^{2} - 6 (- 1 + \sqrt{3}) - 8$

Passaggio 11.2.1.2.7

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{3}$ come $\sqrt{3^{3}}$ .

$f (- 1 + \sqrt{3}) = - 1 + 3 \sqrt{3} - 9 + \sqrt{3^{3}} + 3 {(- 1 + \sqrt{3})}^{2} - 6 (- 1 + \sqrt{3}) - 8$

Passaggio 11.2.1.2.8

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$f (- 1 + \sqrt{3}) = - 1 + 3 \sqrt{3} - 9 + \sqrt{27} + 3 {(- 1 + \sqrt{3})}^{2} - 6 (- 1 + \sqrt{3}) - 8$

Passaggio 11.2.1.2.9

Riscrivi $27$ come $3^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.2.9.1

Scomponi $9$ da $27$ .

$f (- 1 + \sqrt{3}) = - 1 + 3 \sqrt{3} - 9 + \sqrt{9 (3)} + 3 {(- 1 + \sqrt{3})}^{2} - 6 (- 1 + \sqrt{3}) - 8$

Passaggio 11.2.1.2.9.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$f (- 1 + \sqrt{3}) = - 1 + 3 \sqrt{3} - 9 + \sqrt{3^{2} \cdot 3} + 3 {(- 1 + \sqrt{3})}^{2} - 6 (- 1 + \sqrt{3}) - 8$

Passaggio 11.2.1.2.10

Estrai i termini dal radicale.

$f (- 1 + \sqrt{3}) = - 1 + 3 \sqrt{3} - 9 + 3 \sqrt{3} + 3 {(- 1 + \sqrt{3})}^{2} - 6 (- 1 + \sqrt{3}) - 8$

Passaggio 11.2.1.3

Sottrai $9$ da $- 1$ .

$f (- 1 + \sqrt{3}) = - 10 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 3 {(- 1 + \sqrt{3})}^{2} - 6 (- 1 + \sqrt{3}) - 8$

Passaggio 11.2.1.4

Somma $3 \sqrt{3}$ e $3 \sqrt{3}$ .

$f (- 1 + \sqrt{3}) = - 10 + 6 \sqrt{3} + 3 {(- 1 + \sqrt{3})}^{2} - 6 (- 1 + \sqrt{3}) - 8$

Passaggio 11.2.1.5

Riscrivi ${(- 1 + \sqrt{3})}^{2}$ come $(- 1 + \sqrt{3}) (- 1 + \sqrt{3})$ .

$f (- 1 + \sqrt{3}) = - 10 + 6 \sqrt{3} + 3 ((- 1 + \sqrt{3}) (- 1 + \sqrt{3})) - 6 (- 1 + \sqrt{3}) - 8$

Passaggio 11.2.1.6

Espandi $(- 1 + \sqrt{3}) (- 1 + \sqrt{3})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (- 1 + \sqrt{3}) = - 10 + 6 \sqrt{3} + 3 (- 1 (- 1 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (- 1 + \sqrt{3})) - 6 (- 1 + \sqrt{3}) - 8$

Passaggio 11.2.1.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (- 1 + \sqrt{3}) = - 10 + 6 \sqrt{3} + 3 (- 1 \cdot - 1 - 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} (- 1 + \sqrt{3})) - 6 (- 1 + \sqrt{3}) - 8$

Passaggio 11.2.1.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$f (- 1 + \sqrt{3}) = - 10 + 6 \sqrt{3} + 3 (- 1 \cdot - 1 - 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot - 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}) - 6 (- 1 + \sqrt{3}) - 8$

Passaggio 11.2.1.7

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.7.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.7.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f (- 1 + \sqrt{3}) = - 10 + 6 \sqrt{3} + 3 (1 - 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot - 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}) - 6 (- 1 + \sqrt{3}) - 8$

Passaggio 11.2.1.7.1.2

Riscrivi $- 1 \sqrt{3}$ come $- \sqrt{3}$ .

$f (- 1 + \sqrt{3}) = - 10 + 6 \sqrt{3} + 3 (1 - \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot - 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}) - 6 (- 1 + \sqrt{3}) - 8$

Passaggio 11.2.1.7.1.3

Sposta $- 1$ alla sinistra di $\sqrt{3}$ .

$f (- 1 + \sqrt{3}) = - 10 + 6 \sqrt{3} + 3 (1 - \sqrt{3} - 1 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}) - 6 (- 1 + \sqrt{3}) - 8$

Passaggio 11.2.1.7.1.4

Riscrivi $- 1 \sqrt{3}$ come $- \sqrt{3}$ .

$f (- 1 + \sqrt{3}) = - 10 + 6 \sqrt{3} + 3 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}) - 6 (- 1 + \sqrt{3}) - 8$

Passaggio 11.2.1.7.1.5

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$f (- 1 + \sqrt{3}) = - 10 + 6 \sqrt{3} + 3 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}) - 6 (- 1 + \sqrt{3}) - 8$

Passaggio 11.2.1.7.1.6

Moltiplica $3$ per $3$ .

$f (- 1 + \sqrt{3}) = - 10 + 6 \sqrt{3} + 3 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + \sqrt{9}) - 6 (- 1 + \sqrt{3}) - 8$

Passaggio 11.2.1.7.1.7

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$f (- 1 + \sqrt{3}) = - 10 + 6 \sqrt{3} + 3 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}) - 6 (- 1 + \sqrt{3}) - 8$

Passaggio 11.2.1.7.1.8

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (- 1 + \sqrt{3}) = - 10 + 6 \sqrt{3} + 3 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3) - 6 (- 1 + \sqrt{3}) - 8$

Passaggio 11.2.1.7.2

Somma $1$ e $3$ .

$f (- 1 + \sqrt{3}) = - 10 + 6 \sqrt{3} + 3 (4 - \sqrt{3} - \sqrt{3}) - 6 (- 1 + \sqrt{3}) - 8$

Passaggio 11.2.1.7.3

Sottrai $\sqrt{3}$ da $- \sqrt{3}$ .

$f (- 1 + \sqrt{3}) = - 10 + 6 \sqrt{3} + 3 (4 - 2 \sqrt{3}) - 6 (- 1 + \sqrt{3}) - 8$

Passaggio 11.2.1.8

Applica la proprietà distributiva.

$f (- 1 + \sqrt{3}) = - 10 + 6 \sqrt{3} + 3 \cdot 4 + 3 (- 2 \sqrt{3}) - 6 (- 1 + \sqrt{3}) - 8$

Passaggio 11.2.1.9

Moltiplica $3$ per $4$ .

$f (- 1 + \sqrt{3}) = - 10 + 6 \sqrt{3} + 12 + 3 (- 2 \sqrt{3}) - 6 (- 1 + \sqrt{3}) - 8$

Passaggio 11.2.1.10

Moltiplica $- 2$ per $3$ .

$f (- 1 + \sqrt{3}) = - 10 + 6 \sqrt{3} + 12 - 6 \sqrt{3} - 6 (- 1 + \sqrt{3}) - 8$

Passaggio 11.2.1.11

Applica la proprietà distributiva.

$f (- 1 + \sqrt{3}) = - 10 + 6 \sqrt{3} + 12 - 6 \sqrt{3} - 6 \cdot - 1 - 6 \sqrt{3} - 8$

Passaggio 11.2.1.12

Moltiplica $- 6$ per $- 1$ .

$f (- 1 + \sqrt{3}) = - 10 + 6 \sqrt{3} + 12 - 6 \sqrt{3} + 6 - 6 \sqrt{3} - 8$

Passaggio 11.2.2

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Somma $- 10$ e $12$ .

$f (- 1 + \sqrt{3}) = 2 + 6 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} + 6 - 6 \sqrt{3} - 8$

Passaggio 11.2.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.2.1

Somma $2$ e $6$ .

$f (- 1 + \sqrt{3}) = 8 + 6 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} - 8$

Passaggio 11.2.2.2.2

Sottrai $8$ da $8$ .

$f (- 1 + \sqrt{3}) = 0 + 6 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3}$

Passaggio 11.2.2.2.3

Somma $0$ e $6 \sqrt{3}$ .

$f (- 1 + \sqrt{3}) = 6 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3}$

Passaggio 11.2.2.3

Sottrai $6 \sqrt{3}$ da $6 \sqrt{3}$ .

$f (- 1 + \sqrt{3}) = 0 - 6 \sqrt{3}$

Passaggio 11.2.2.4

Sottrai $6 \sqrt{3}$ da $0$ .

$f (- 1 + \sqrt{3}) = - 6 \sqrt{3}$

Passaggio 11.2.3

La risposta finale è $- 6 \sqrt{3}$ .

$y = - 6 \sqrt{3}$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = - 1 - \sqrt{3}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$6 (- 1 - \sqrt{3}) + 6$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$6 \cdot - 1 + 6 (- \sqrt{3}) + 6$

Passaggio 13.1.2

Moltiplica $6$ per $- 1$ .

$- 6 + 6 (- \sqrt{3}) + 6$

Passaggio 13.1.3

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$- 6 - 6 \sqrt{3} + 6$

Passaggio 13.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Somma $- 6$ e $6$ .

$0 - 6 \sqrt{3}$

Passaggio 13.2.2

Sottrai $6 \sqrt{3}$ da $0$ .

$- 6 \sqrt{3}$

Passaggio 14

$x = - 1 - \sqrt{3}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - 1 - \sqrt{3}$ è un massimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $x = - 1 - \sqrt{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1 - \sqrt{3}$ nell'espressione.

$f (- 1 - \sqrt{3}) = {(- 1 - \sqrt{3})}^{3} + 3 {(- 1 - \sqrt{3})}^{2} - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1

Usa il teorema binomiale.

$f (- 1 - \sqrt{3}) = {(- 1)}^{3} + 3 {(- 1)}^{2} (- \sqrt{3}) + 3 \cdot (- 1 {(- \sqrt{3})}^{2}) + {(- \sqrt{3})}^{3} + 3 {(- 1 - \sqrt{3})}^{2} - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Passaggio 15.2.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.2.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 1 + 3 {(- 1)}^{2} (- \sqrt{3}) + 3 \cdot (- 1 {(- \sqrt{3})}^{2}) + {(- \sqrt{3})}^{3} + 3 {(- 1 - \sqrt{3})}^{2} - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Passaggio 15.2.1.2.2

Moltiplica ${(- 1)}^{2}$ per $- 1$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.2.2.1

Sposta $- 1$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 1 + 3 (- {(- 1)}^{2}) \sqrt{3} + 3 \cdot (- 1 {(- \sqrt{3})}^{2}) + {(- \sqrt{3})}^{3} + 3 {(- 1 - \sqrt{3})}^{2} - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Passaggio 15.2.1.2.2.2

Moltiplica $- 1$ per ${(- 1)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.2.2.2.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $1$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 1 + 3 ((- 1) {(- 1)}^{2}) \sqrt{3} + 3 \cdot (- 1 {(- \sqrt{3})}^{2}) + {(- \sqrt{3})}^{3} + 3 {(- 1 - \sqrt{3})}^{2} - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Passaggio 15.2.1.2.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 1 + 3 {(- 1)}^{1 + 2} \sqrt{3} + 3 \cdot (- 1 {(- \sqrt{3})}^{2}) + {(- \sqrt{3})}^{3} + 3 {(- 1 - \sqrt{3})}^{2} - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Passaggio 15.2.1.2.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 1 + 3 {(- 1)}^{3} \sqrt{3} + 3 \cdot (- 1 {(- \sqrt{3})}^{2}) + {(- \sqrt{3})}^{3} + 3 {(- 1 - \sqrt{3})}^{2} - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Passaggio 15.2.1.2.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 1 + 3 \cdot (- 1 \sqrt{3}) + 3 \cdot (- 1 {(- \sqrt{3})}^{2}) + {(- \sqrt{3})}^{3} + 3 {(- 1 - \sqrt{3})}^{2} - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Passaggio 15.2.1.2.4

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 1 - 3 \sqrt{3} + 3 \cdot (- 1 {(- \sqrt{3})}^{2}) + {(- \sqrt{3})}^{3} + 3 {(- 1 - \sqrt{3})}^{2} - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Passaggio 15.2.1.2.5

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 1 - 3 \sqrt{3} - 3 {(- \sqrt{3})}^{2} + {(- \sqrt{3})}^{3} + 3 {(- 1 - \sqrt{3})}^{2} - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Passaggio 15.2.1.2.6

Applica la regola del prodotto a $- \sqrt{3}$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 1 - 3 \sqrt{3} - 3 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + {(- \sqrt{3})}^{3} + 3 {(- 1 - \sqrt{3})}^{2} - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Passaggio 15.2.1.2.7

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 1 - 3 \sqrt{3} - 3 (1 {\sqrt{3}}^{2}) + {(- \sqrt{3})}^{3} + 3 {(- 1 - \sqrt{3})}^{2} - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Passaggio 15.2.1.2.8

Moltiplica ${\sqrt{3}}^{2}$ per $1$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 1 - 3 \sqrt{3} - 3 {\sqrt{3}}^{2} + {(- \sqrt{3})}^{3} + 3 {(- 1 - \sqrt{3})}^{2} - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Passaggio 15.2.1.2.9

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.2.9.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 1 - 3 \sqrt{3} - 3 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- \sqrt{3})}^{3} + 3 {(- 1 - \sqrt{3})}^{2} - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Passaggio 15.2.1.2.9.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 1 - 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- \sqrt{3})}^{3} + 3 {(- 1 - \sqrt{3})}^{2} - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Passaggio 15.2.1.2.9.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 1 - 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{3})}^{3} + 3 {(- 1 - \sqrt{3})}^{2} - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Passaggio 15.2.1.2.9.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.2.9.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 1 - 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{3})}^{3} + 3 {(- 1 - \sqrt{3})}^{2} - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Passaggio 15.2.1.2.9.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 1 - 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 3 + {(- \sqrt{3})}^{3} + 3 {(- 1 - \sqrt{3})}^{2} - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Passaggio 15.2.1.2.9.5

Calcola l'esponente.

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 1 - 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 3 + {(- \sqrt{3})}^{3} + 3 {(- 1 - \sqrt{3})}^{2} - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Passaggio 15.2.1.2.10

Moltiplica $- 3$ per $3$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 1 - 3 \sqrt{3} - 9 + {(- \sqrt{3})}^{3} + 3 {(- 1 - \sqrt{3})}^{2} - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Passaggio 15.2.1.2.11

Applica la regola del prodotto a $- \sqrt{3}$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 1 - 3 \sqrt{3} - 9 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{3}}^{3} + 3 {(- 1 - \sqrt{3})}^{2} - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Passaggio 15.2.1.2.12

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 1 - 3 \sqrt{3} - 9 - {\sqrt{3}}^{3} + 3 {(- 1 - \sqrt{3})}^{2} - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Passaggio 15.2.1.2.13

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{3}$ come $\sqrt{3^{3}}$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 1 - 3 \sqrt{3} - 9 - \sqrt{3^{3}} + 3 {(- 1 - \sqrt{3})}^{2} - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Passaggio 15.2.1.2.14

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 1 - 3 \sqrt{3} - 9 - \sqrt{27} + 3 {(- 1 - \sqrt{3})}^{2} - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Passaggio 15.2.1.2.15

Riscrivi $27$ come $3^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.2.15.1

Scomponi $9$ da $27$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 1 - 3 \sqrt{3} - 9 - \sqrt{9 (3)} + 3 {(- 1 - \sqrt{3})}^{2} - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Passaggio 15.2.1.2.15.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 1 - 3 \sqrt{3} - 9 - \sqrt{3^{2} \cdot 3} + 3 {(- 1 - \sqrt{3})}^{2} - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Passaggio 15.2.1.2.16

Estrai i termini dal radicale.

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 1 - 3 \sqrt{3} - 9 - (3 \sqrt{3}) + 3 {(- 1 - \sqrt{3})}^{2} - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Passaggio 15.2.1.2.17

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 1 - 3 \sqrt{3} - 9 - 3 \sqrt{3} + 3 {(- 1 - \sqrt{3})}^{2} - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Passaggio 15.2.1.3

Sottrai $9$ da $- 1$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 10 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3 {(- 1 - \sqrt{3})}^{2} - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Passaggio 15.2.1.4

Sottrai $3 \sqrt{3}$ da $- 3 \sqrt{3}$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 10 - 6 \sqrt{3} + 3 {(- 1 - \sqrt{3})}^{2} - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Passaggio 15.2.1.5

Riscrivi ${(- 1 - \sqrt{3})}^{2}$ come $(- 1 - \sqrt{3}) (- 1 - \sqrt{3})$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 10 - 6 \sqrt{3} + 3 ((- 1 - \sqrt{3}) (- 1 - \sqrt{3})) - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Passaggio 15.2.1.6

Espandi $(- 1 - \sqrt{3}) (- 1 - \sqrt{3})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 10 - 6 \sqrt{3} + 3 (- 1 (- 1 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (- 1 - \sqrt{3})) - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Passaggio 15.2.1.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 10 - 6 \sqrt{3} + 3 (- 1 \cdot - 1 - 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (- 1 - \sqrt{3})) - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Passaggio 15.2.1.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 10 - 6 \sqrt{3} + 3 (- 1 \cdot - 1 - 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot - 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})) - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Passaggio 15.2.1.7

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.7.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.7.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 10 - 6 \sqrt{3} + 3 (1 - 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot - 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})) - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Passaggio 15.2.1.7.1.2

Moltiplica $- 1 (- \sqrt{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.7.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 10 - 6 \sqrt{3} + 3 (1 + 1 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot - 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})) - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Passaggio 15.2.1.7.1.2.2

Moltiplica $\sqrt{3}$ per $1$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 10 - 6 \sqrt{3} + 3 (1 + \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot - 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})) - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Passaggio 15.2.1.7.1.3

Moltiplica $- \sqrt{3} \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.7.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 10 - 6 \sqrt{3} + 3 (1 + \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})) - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Passaggio 15.2.1.7.1.3.2

Moltiplica $\sqrt{3}$ per $1$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 10 - 6 \sqrt{3} + 3 (1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})) - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Passaggio 15.2.1.7.1.4

Moltiplica $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.7.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 10 - 6 \sqrt{3} + 3 (1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}) - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Passaggio 15.2.1.7.1.4.2

Moltiplica $\sqrt{3}$ per $1$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 10 - 6 \sqrt{3} + 3 (1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}) - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Passaggio 15.2.1.7.1.4.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 10 - 6 \sqrt{3} + 3 (1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}) - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Passaggio 15.2.1.7.1.4.4

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 10 - 6 \sqrt{3} + 3 (1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}) - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Passaggio 15.2.1.7.1.4.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 10 - 6 \sqrt{3} + 3 (1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}) - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Passaggio 15.2.1.7.1.4.6

Somma $1$ e $1$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 10 - 6 \sqrt{3} + 3 (1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}) - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Passaggio 15.2.1.7.1.5

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.7.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 10 - 6 \sqrt{3} + 3 (1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}) - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Passaggio 15.2.1.7.1.5.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 10 - 6 \sqrt{3} + 3 (1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}) - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Passaggio 15.2.1.7.1.5.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 10 - 6 \sqrt{3} + 3 (1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}) - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Passaggio 15.2.1.7.1.5.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.7.1.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 10 - 6 \sqrt{3} + 3 (1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}) - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Passaggio 15.2.1.7.1.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 10 - 6 \sqrt{3} + 3 (1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + 3) - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Passaggio 15.2.1.7.1.5.5

Calcola l'esponente.

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 10 - 6 \sqrt{3} + 3 (1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + 3) - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Passaggio 15.2.1.7.2

Somma $1$ e $3$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 10 - 6 \sqrt{3} + 3 (4 + \sqrt{3} + \sqrt{3}) - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Passaggio 15.2.1.7.3

Somma $\sqrt{3}$ e $\sqrt{3}$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 10 - 6 \sqrt{3} + 3 (4 + 2 \sqrt{3}) - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Passaggio 15.2.1.8

Applica la proprietà distributiva.

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 10 - 6 \sqrt{3} + 3 \cdot 4 + 3 (2 \sqrt{3}) - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Passaggio 15.2.1.9

Moltiplica $3$ per $4$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 10 - 6 \sqrt{3} + 12 + 3 (2 \sqrt{3}) - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Passaggio 15.2.1.10

Moltiplica $2$ per $3$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 10 - 6 \sqrt{3} + 12 + 6 \sqrt{3} - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Passaggio 15.2.1.11

Applica la proprietà distributiva.

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 10 - 6 \sqrt{3} + 12 + 6 \sqrt{3} - 6 \cdot - 1 - 6 (- \sqrt{3}) - 8$

Passaggio 15.2.1.12

Moltiplica $- 6$ per $- 1$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 10 - 6 \sqrt{3} + 12 + 6 \sqrt{3} + 6 - 6 (- \sqrt{3}) - 8$

Passaggio 15.2.1.13

Moltiplica $- 1$ per $- 6$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 10 - 6 \sqrt{3} + 12 + 6 \sqrt{3} + 6 + 6 \sqrt{3} - 8$

Passaggio 15.2.2

Semplifica aggiungendo i termini.

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Passaggio 15.2.2.1

Somma $- 10$ e $12$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = 2 - 6 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} + 6 + 6 \sqrt{3} - 8$

Passaggio 15.2.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.2.1

Somma $2$ e $6$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = 8 - 6 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} - 8$

Passaggio 15.2.2.2.2

Sottrai $8$ da $8$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = 0 - 6 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3}$

Passaggio 15.2.2.2.3

Sottrai $6 \sqrt{3}$ da $0$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 6 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3}$

Passaggio 15.2.2.3

Somma $- 6 \sqrt{3}$ e $6 \sqrt{3}$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = 0 + 6 \sqrt{3}$

Passaggio 15.2.2.4

Somma $0$ e $6 \sqrt{3}$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = 6 \sqrt{3}$

Passaggio 15.2.3

La risposta finale è $6 \sqrt{3}$ .

$y = 6 \sqrt{3}$

Passaggio 16

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 6 x - 8$ .

$(- 1 + \sqrt{3}, - 6 \sqrt{3})$ è un minimo locale

$(- 1 - \sqrt{3}, 6 \sqrt{3})$ è un massimo locale

Passaggio 17