Algebra Esempi

$f (x) = - x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} + 5 x - 1$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} + 5 x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{4}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$- (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$- 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 4 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- 4 x^{3} - 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$- 4 x^{3} - 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.4.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.5

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.5.3

Moltiplica $5$ per $1$ .

$- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 5 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.6

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 5 + 0$

Passaggio 1.6.2

Somma $- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 5$ e $0$ .

$- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 5$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (5)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (5)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (5)$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $3$ per $- 4$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (5)$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (5)$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (5)$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $2$ per $- 6$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (5)$

Passaggio 2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} - 12 x + 6 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (5)$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} - 12 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (5)$

Passaggio 2.4.3

Moltiplica $6$ per $1$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} - 12 x + 6 + \frac{d}{d x} (5)$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} - 12 x + 6 + 0$

Passaggio 2.5.2

Somma $- 12 x^{2} - 12 x + 6$ e $0$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} - 12 x + 6$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 5 = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

$\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{4}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$- (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$- 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 4 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- 4 x^{3} - 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$- 4 x^{3} - 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 4.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 4.1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 4.1.4.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 4.1.5

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 4.1.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 4.1.5.3

Moltiplica $5$ per $1$ .

$- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 5 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 4.1.6

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 5 + 0$

Passaggio 4.1.6.2

Somma $- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 5$ e $0$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 5$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 5$ .

$- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 5$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 5 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 5 = 0$

Passaggio 5.2

Rappresenta graficamente ogni lato dell'equazione. La soluzione è il valore x del punto di intersezione.

$x \approx - 1.94101027, - 0.61173103, 1.0527413$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = - 1.94101027, - 0.61173103, 1.0527413$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = - 1.94101027$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 12 {(- 1.94101027)}^{2} - 12 \cdot - 1.94101027 + 6$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Eleva $- 1.94101027$ alla potenza di $2$ .

$- 12 \cdot 3.76752087 - 12 \cdot - 1.94101027 + 6$

Passaggio 9.1.2

Moltiplica $- 12$ per $3.76752087$ .

$- 45.21025053 - 12 \cdot - 1.94101027 + 6$

Passaggio 9.1.3

Moltiplica $- 12$ per $- 1.94101027$ .

$- 45.21025053 + 23.29212326 + 6$

Passaggio 9.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Somma $- 45.21025053$ e $23.29212326$ .

$- 21.91812726 + 6$

Passaggio 9.2.2

Somma $- 21.91812726$ e $6$ .

$- 15.91812726$

Passaggio 10

$x = - 1.94101027$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - 1.94101027$ è un massimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = - 1.94101027$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1.94101027$ nell'espressione.

$f (- 1.94101027) = - {(- 1.94101027)}^{4} - 2 {(- 1.94101027)}^{3} + 3 {(- 1.94101027)}^{2} + 5 (- 1.94101027) - 1$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Eleva $- 1.94101027$ alla potenza di $4$ .

$f (- 1.94101027) = - 1 \cdot 14.19421356 - 2 {(- 1.94101027)}^{3} + 3 {(- 1.94101027)}^{2} + 5 (- 1.94101027) - 1$

Passaggio 11.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $14.19421356$ .

$f (- 1.94101027) = - 14.19421356 - 2 {(- 1.94101027)}^{3} + 3 {(- 1.94101027)}^{2} + 5 (- 1.94101027) - 1$

Passaggio 11.2.1.3

Eleva $- 1.94101027$ alla potenza di $3$ .

$f (- 1.94101027) = - 14.19421356 - 2 \cdot - 7.31279672 + 3 {(- 1.94101027)}^{2} + 5 (- 1.94101027) - 1$

Passaggio 11.2.1.4

Moltiplica $- 2$ per $- 7.31279672$ .

$f (- 1.94101027) = - 14.19421356 + 14.62559344 + 3 {(- 1.94101027)}^{2} + 5 (- 1.94101027) - 1$

Passaggio 11.2.1.5

Eleva $- 1.94101027$ alla potenza di $2$ .

$f (- 1.94101027) = - 14.19421356 + 14.62559344 + 3 \cdot 3.76752087 + 5 (- 1.94101027) - 1$

Passaggio 11.2.1.6

Moltiplica $3$ per $3.76752087$ .

$f (- 1.94101027) = - 14.19421356 + 14.62559344 + 11.30256263 + 5 (- 1.94101027) - 1$

Passaggio 11.2.1.7

Moltiplica $5$ per $- 1.94101027$ .

$f (- 1.94101027) = - 14.19421356 + 14.62559344 + 11.30256263 - 9.70505136 - 1$

Passaggio 11.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Somma $- 14.19421356$ e $14.62559344$ .

$f (- 1.94101027) = 0.43137988 + 11.30256263 - 9.70505136 - 1$

Passaggio 11.2.2.2

Somma $0.43137988$ e $11.30256263$ .

$f (- 1.94101027) = 11.73394251 - 9.70505136 - 1$

Passaggio 11.2.2.3

Sottrai $9.70505136$ da $11.73394251$ .

$f (- 1.94101027) = 2.02889115 - 1$

Passaggio 11.2.2.4

Sottrai $1$ da $2.02889115$ .

$f (- 1.94101027) = 1.02889115$

Passaggio 11.2.3

La risposta finale è $1.02889115$ .

$y = 1.02889115$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = - 0.61173103$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 12 {(- 0.61173103)}^{2} - 12 \cdot - 0.61173103 + 6$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Eleva $- 0.61173103$ alla potenza di $2$ .

$- 12 \cdot 0.37421486 - 12 \cdot - 0.61173103 + 6$

Passaggio 13.1.2

Moltiplica $- 12$ per $0.37421486$ .

$- 4.49057832 - 12 \cdot - 0.61173103 + 6$

Passaggio 13.1.3

Moltiplica $- 12$ per $- 0.61173103$ .

$- 4.49057832 + 7.34077242 + 6$

Passaggio 13.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Somma $- 4.49057832$ e $7.34077242$ .

$2.8501941 + 6$

Passaggio 13.2.2

Somma $2.8501941$ e $6$ .

$8.8501941$

Passaggio 14

$x = - 0.61173103$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - 0.61173103$ è un minimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $x = - 0.61173103$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.61173103$ nell'espressione.

$f (- 0.61173103) = - {(- 0.61173103)}^{4} - 2 {(- 0.61173103)}^{3} + 3 {(- 0.61173103)}^{2} + 5 (- 0.61173103) - 1$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1

Eleva $- 0.61173103$ alla potenza di $4$ .

$f (- 0.61173103) = - 1 \cdot 0.14003676 - 2 {(- 0.61173103)}^{3} + 3 {(- 0.61173103)}^{2} + 5 (- 0.61173103) - 1$

Passaggio 15.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $0.14003676$ .

$f (- 0.61173103) = - 0.14003676 - 2 {(- 0.61173103)}^{3} + 3 {(- 0.61173103)}^{2} + 5 (- 0.61173103) - 1$

Passaggio 15.2.1.3

Eleva $- 0.61173103$ alla potenza di $3$ .

$f (- 0.61173103) = - 0.14003676 - 2 \cdot - 0.22891884 + 3 {(- 0.61173103)}^{2} + 5 (- 0.61173103) - 1$

Passaggio 15.2.1.4

Moltiplica $- 2$ per $- 0.22891884$ .

$f (- 0.61173103) = - 0.14003676 + 0.45783768 + 3 {(- 0.61173103)}^{2} + 5 (- 0.61173103) - 1$

Passaggio 15.2.1.5

Eleva $- 0.61173103$ alla potenza di $2$ .

$f (- 0.61173103) = - 0.14003676 + 0.45783768 + 3 \cdot 0.37421486 + 5 (- 0.61173103) - 1$

Passaggio 15.2.1.6

Moltiplica $3$ per $0.37421486$ .

$f (- 0.61173103) = - 0.14003676 + 0.45783768 + 1.12264458 + 5 (- 0.61173103) - 1$

Passaggio 15.2.1.7

Moltiplica $5$ per $- 0.61173103$ .

$f (- 0.61173103) = - 0.14003676 + 0.45783768 + 1.12264458 - 3.05865517 - 1$

Passaggio 15.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.1

Somma $- 0.14003676$ e $0.45783768$ .

$f (- 0.61173103) = 0.31780092 + 1.12264458 - 3.05865517 - 1$

Passaggio 15.2.2.2

Somma $0.31780092$ e $1.12264458$ .

$f (- 0.61173103) = 1.4404455 - 3.05865517 - 1$

Passaggio 15.2.2.3

Sottrai $3.05865517$ da $1.4404455$ .

$f (- 0.61173103) = - 1.61820967 - 1$

Passaggio 15.2.2.4

Sottrai $1$ da $- 1.61820967$ .

$f (- 0.61173103) = - 2.61820967$

Passaggio 15.2.3

La risposta finale è $- 2.61820967$ .

$y = - 2.61820967$

Passaggio 16

Calcola la derivata seconda per $x = 1.0527413$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 12 {(1.0527413)}^{2} - 12 \cdot 1.0527413 + 6$

Passaggio 17

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.1

Eleva $1.0527413$ alla potenza di $2$ .

$- 12 \cdot 1.10826426 - 12 \cdot 1.0527413 + 6$

Passaggio 17.1.2

Moltiplica $- 12$ per $1.10826426$ .

$- 13.29917114 - 12 \cdot 1.0527413 + 6$

Passaggio 17.1.3

Moltiplica $- 12$ per $1.0527413$ .

$- 13.29917114 - 12.63289569 + 6$

Passaggio 17.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.2.1

Sottrai $12.63289569$ da $- 13.29917114$ .

$- 25.93206684 + 6$

Passaggio 17.2.2

Somma $- 25.93206684$ e $6$ .

$- 19.93206684$

Passaggio 18

$x = 1.0527413$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 1.0527413$ è un massimo locale

Passaggio 19

Trova il valore di y quando $x = 1.0527413$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1.0527413$ nell'espressione.

$f (1.0527413) = - {(1.0527413)}^{4} - 2 {(1.0527413)}^{3} + 3 {(1.0527413)}^{2} + 5 (1.0527413) - 1$

Passaggio 19.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.1

Eleva $1.0527413$ alla potenza di $4$ .

$f (1.0527413) = - 1 \cdot 1.22824967 - 2 {(1.0527413)}^{3} + 3 {(1.0527413)}^{2} + 5 (1.0527413) - 1$

Passaggio 19.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1.22824967$ .

$f (1.0527413) = - 1.22824967 - 2 {(1.0527413)}^{3} + 3 {(1.0527413)}^{2} + 5 (1.0527413) - 1$

Passaggio 19.2.1.3

Eleva $1.0527413$ alla potenza di $3$ .

$f (1.0527413) = - 1.22824967 - 2 \cdot 1.16671556 + 3 {(1.0527413)}^{2} + 5 (1.0527413) - 1$

Passaggio 19.2.1.4

Moltiplica $- 2$ per $1.16671556$ .

$f (1.0527413) = - 1.22824967 - 2.33343113 + 3 {(1.0527413)}^{2} + 5 (1.0527413) - 1$

Passaggio 19.2.1.5

Eleva $1.0527413$ alla potenza di $2$ .

$f (1.0527413) = - 1.22824967 - 2.33343113 + 3 \cdot 1.10826426 + 5 (1.0527413) - 1$

Passaggio 19.2.1.6

Moltiplica $3$ per $1.10826426$ .

$f (1.0527413) = - 1.22824967 - 2.33343113 + 3.32479278 + 5 (1.0527413) - 1$

Passaggio 19.2.1.7

Moltiplica $5$ per $1.0527413$ .

$f (1.0527413) = - 1.22824967 - 2.33343113 + 3.32479278 + 5.26370654 - 1$

Passaggio 19.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.2.1

Sottrai $2.33343113$ da $- 1.22824967$ .

$f (1.0527413) = - 3.56168081 + 3.32479278 + 5.26370654 - 1$

Passaggio 19.2.2.2

Somma $- 3.56168081$ e $3.32479278$ .

$f (1.0527413) = - 0.23688802 + 5.26370654 - 1$

Passaggio 19.2.2.3

Somma $- 0.23688802$ e $5.26370654$ .

$f (1.0527413) = 5.02681851 - 1$

Passaggio 19.2.2.4

Sottrai $1$ da $5.02681851$ .

$f (1.0527413) = 4.02681851$

Passaggio 19.2.3

La risposta finale è $4.02681851$ .

$y = 4.02681851$

Passaggio 20

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = - x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} + 5 x - 1$ .

$(- 1.94101027, 1.02889115)$ è un massimo locale

$(- 0.61173103, - 2.61820967)$ è un minimo locale

$(1.0527413, 4.02681851)$ è un massimo locale

Passaggio 21