Algebra Esempi

$y = - \frac{2}{3} x^{2} - 1$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione nella forma del vertice.

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Passaggio 1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1.1

$x^{2}$ e $\frac{2}{3}$ .

$y = - \frac{x^{2} \cdot 2}{3} - 1$

Passaggio 1.1.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$y = - \frac{2 x^{2}}{3} - 1$

Passaggio 1.2

Completa il quadrato per $- \frac{2 x^{2}}{3} - 1$ .

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Passaggio 1.2.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - \frac{2}{3}$

$b = 0$

$c = - 1$

Passaggio 1.2.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.2.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Passaggio 1.2.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 (- \frac{2}{3})}$

Passaggio 1.2.3.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $0$ e $2$ .

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Passaggio 1.2.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 (- \frac{2}{3})}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 1.2.3.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 (- \frac{2}{3})}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{0}{- \frac{2}{3}}$

Passaggio 1.2.3.2.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$d = 0 (- \frac{3}{2})$

Passaggio 1.2.3.2.3

Moltiplica $0 (- \frac{3}{2})$ .

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Passaggio 1.2.3.2.3.1

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$d = 0 (\frac{3}{2})$

Passaggio 1.2.3.2.3.2

Moltiplica $0$ per $\frac{3}{2}$ .

$d = 0$

Passaggio 1.2.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Passaggio 1.2.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 1 - \frac{0^{2}}{4 (- \frac{2}{3})}$

Passaggio 1.2.4.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.2.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.2.4.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$e = - 1 - \frac{0}{4 (- \frac{2}{3})}$

Passaggio 1.2.4.2.1.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 1.2.4.2.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$e = - 1 - \frac{0}{- 4 (\frac{2}{3})}$

Passaggio 1.2.4.2.1.2.2

$- 4$ e $\frac{2}{3}$ .

$e = - 1 - \frac{0}{\frac{- 4 \cdot 2}{3}}$

Passaggio 1.2.4.2.1.3

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$e = - 1 - \frac{0}{\frac{- 8}{3}}$

Passaggio 1.2.4.2.1.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$e = - 1 - \frac{0}{- \frac{8}{3}}$

Passaggio 1.2.4.2.1.5

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$e = - 1 - (0 (- \frac{3}{8}))$

Passaggio 1.2.4.2.1.6

Moltiplica $0 (- \frac{3}{8})$ .

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Passaggio 1.2.4.2.1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$e = - 1 - (0 (\frac{3}{8}))$

Passaggio 1.2.4.2.1.6.2

Moltiplica $0$ per $\frac{3}{8}$ .

$e = - 1 - 0$

Passaggio 1.2.4.2.1.7

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$e = - 1 + 0$

Passaggio 1.2.4.2.2

Somma $- 1$ e $0$ .

$e = - 1$

Passaggio 1.2.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $- \frac{2}{3} {(x + 0)}^{2} - 1$ .

$- \frac{2}{3} {(x + 0)}^{2} - 1$

Passaggio 1.3

Imposta $y$ uguale al nuovo lato destro.

$y = - \frac{2}{3} \cdot {(x + 0)}^{2} - 1$

Passaggio 2

Utilizza la forma di vertice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , per determinare i valori di $a$ , $h$ e $k$ .

$a = - \frac{2}{3}$

$h = 0$

$k = - 1$

Passaggio 3

Poiché il valore di $a$ è negativo, la parabola si apre in basso.

Si apre in basso

Passaggio 4

Trova il vertice $(h, k)$ .

$(0, - 1)$

Passaggio 5

Trova $p$ , la distanza dal vertice al fuoco.

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Passaggio 5.1

Trova la distanza dal vertice a un fuoco della parabola utilizzando la seguente formula.

$\frac{1}{4 a}$

Passaggio 5.2

Sostituisci il valore di $a$ nella formula.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{2}{3})}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

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Passaggio 5.3.1

Elimina il fattore comune di $1$ e $- 1$ .

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Passaggio 5.3.1.1

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{2}{3})}$

Passaggio 5.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{4 (\frac{2}{3})}$

Passaggio 5.3.2

$4$ e $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{1}{\frac{4 \cdot 2}{3}}$

Passaggio 5.3.3

Moltiplica $4$ per $2$ .

$- \frac{1}{\frac{8}{3}}$

Passaggio 5.3.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- (1 (\frac{3}{8}))$

Passaggio 5.3.5

Moltiplica $\frac{3}{8}$ per $1$ .

$- \frac{3}{8}$

Passaggio 6

Trova il fuoco.

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Passaggio 6.1

È possibile trovare il fuoco di una parabola sommando $p$ alla coordinata y $k$ se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$(h, k + p)$

Passaggio 6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(0, - \frac{11}{8})$

Passaggio 7

Individua l'asse di simmetria trovando la linea che passa per il vertice e il fuoco.

$x = 0$

Passaggio 8