Algebra Esempi

$x^{3} + 4 x^{2} - 3 x - 18$

Passaggio 1

Scrivi $x^{3} + 4 x^{2} - 3 x - 18$ come un'equazione.

$y = x^{3} + 4 x^{2} - 3 x - 18$

Passaggio 2

Trova le intercette di x.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Per trovare l'intercetta di x, sostituisci $y$ con $0$ e risolvi per $x$ .

$0 = x^{3} + 4 x^{2} - 3 x - 18$

Passaggio 2.2

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Riscrivi l'equazione come $x^{3} + 4 x^{2} - 3 x - 18 = 0$ .

$x^{3} + 4 x^{2} - 3 x - 18 = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Scomponi $x^{3} + 4 x^{2} - 3 x - 18$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 18, \pm 2, \pm 9, \pm 3, \pm 6$

$q = \pm 1$

Passaggio 2.2.2.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 18, \pm 2, \pm 9, \pm 3, \pm 6$

Passaggio 2.2.2.1.3

Sostituisci $2$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $2$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.3.1

Sostituisci $2$ nel polinomio.

$2^{3} + 4 \cdot 2^{2} - 3 \cdot 2 - 18$

Passaggio 2.2.2.1.3.2

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$8 + 4 \cdot 2^{2} - 3 \cdot 2 - 18$

Passaggio 2.2.2.1.3.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$8 + 4 \cdot 4 - 3 \cdot 2 - 18$

Passaggio 2.2.2.1.3.4

Moltiplica $4$ per $4$ .

$8 + 16 - 3 \cdot 2 - 18$

Passaggio 2.2.2.1.3.5

Somma $8$ e $16$ .

$24 - 3 \cdot 2 - 18$

Passaggio 2.2.2.1.3.6

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$24 - 6 - 18$

Passaggio 2.2.2.1.3.7

Sottrai $6$ da $24$ .

$18 - 18$

Passaggio 2.2.2.1.3.8

Sottrai $18$ da $18$ .

$0$

Passaggio 2.2.2.1.4

Poiché $2$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 2$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} - 3 x - 18}{x - 2}$

Passaggio 2.2.2.1.5

Dividi $x^{3} + 4 x^{2} - 3 x - 18$ per $x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$18$

Passaggio 2.2.2.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$

Passaggio 2.2.2.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Passaggio 2.2.2.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} - 2 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Passaggio 2.2.2.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$

Passaggio 2.2.2.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$

Passaggio 2.2.2.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $6 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$

Passaggio 2.2.2.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$12 x$

Passaggio 2.2.2.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $6 x^{2} - 12 x$

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$12 x$

Passaggio 2.2.2.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$9 x$

Passaggio 2.2.2.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$9 x$	-	$18$

Passaggio 2.2.2.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $9 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$9 x$	-	$18$

Passaggio 2.2.2.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$9 x$	-	$18$
							+	$9 x$	-	$18$

Passaggio 2.2.2.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $9 x - 18$

				$x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$9 x$	-	$18$
							-	$9 x$	+	$18$

Passaggio 2.2.2.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$9 x$	-	$18$
							-	$9 x$	+	$18$
										$0$

Passaggio 2.2.2.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{2} + 6 x + 9$

Passaggio 2.2.2.1.6

Scrivi $x^{3} + 4 x^{2} - 3 x - 18$ come insieme di fattori.

$(x - 2) (x^{2} + 6 x + 9) = 0$

Passaggio 2.2.2.2

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.2.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$(x - 2) (x^{2} + 6 x + 3^{2}) = 0$

Passaggio 2.2.2.2.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Passaggio 2.2.2.2.3

Riscrivi il polinomio.

$(x - 2) (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

Passaggio 2.2.2.2.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 3$ .

$(x - 2) {(x + 3)}^{2} = 0$

Passaggio 2.2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

${(x + 3)}^{2} = 0$

Passaggio 2.2.4

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 2.2.4.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 2.2.5

Imposta ${(x + 3)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1

Imposta ${(x + 3)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(x + 3)}^{2} = 0$

Passaggio 2.2.5.2

Risolvi ${(x + 3)}^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.2.1

Poni $x + 3$ uguale a $0$ .

$x + 3 = 0$

Passaggio 2.2.5.2.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 3$

Passaggio 2.2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 2) {(x + 3)}^{2} = 0$ vera.

$x = 2, - 3$

Passaggio 2.3

intercetta(e) di x in forma punto.

Intercetta(e) di x: $(2, 0), (- 3, 0)$

Passaggio 3

Trova le intercette di y.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Per trovare l'intercetta di y, sostituisci $x$ con $0$ e risolvi per $y$ .

$y = {(0)}^{3} + 4 {(0)}^{2} - 3 \cdot 0 - 18$

Passaggio 3.2

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = 0^{3} + 4 {(0)}^{2} - 3 \cdot 0 - 18$

Passaggio 3.2.2

Rimuovi le parentesi.

$y = 0^{3} + 4 \cdot 0^{2} - 3 \cdot 0 - 18$

Passaggio 3.2.3

Rimuovi le parentesi.

$y = {(0)}^{3} + 4 {(0)}^{2} - 3 \cdot 0 - 18$

Passaggio 3.2.4

Semplifica ${(0)}^{3} + 4 {(0)}^{2} - 3 \cdot 0 - 18$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$y = 0 + 4 {(0)}^{2} - 3 \cdot 0 - 18$

Passaggio 3.2.4.1.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$y = 0 + 4 \cdot 0 - 3 \cdot 0 - 18$

Passaggio 3.2.4.1.3

Moltiplica $4$ per $0$ .

$y = 0 + 0 - 3 \cdot 0 - 18$

Passaggio 3.2.4.1.4

Moltiplica $- 3$ per $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 - 18$

Passaggio 3.2.4.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$y = 0 + 0 - 18$

Passaggio 3.2.4.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$y = 0 - 18$

Passaggio 3.2.4.2.3

Sottrai $18$ da $0$ .

$y = - 18$

Passaggio 3.3

intercetta(e) di y in forma punto.

Intercetta(e) di y: $(0, - 18)$

Passaggio 4

Elenca le intersezioni.

Intercetta(e) di x: $(2, 0), (- 3, 0)$

Intercetta(e) di y: $(0, - 18)$

Passaggio 5