Algebra Esempi

$V = \frac{4}{3} π r^{3}$

Passaggio 1

Rimuovi le parentesi.

$V = \frac{4}{3} \cdot (π r^{3})$

Passaggio 2

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d V} (V) = \frac{d}{d V} (\frac{4}{3} \cdot (π r^{3}))$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ è $n V^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1$

Passaggio 4

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

$π$ e $\frac{4}{3}$ .

$\frac{d}{d V} [\frac{π \cdot 4}{3} \cdot r^{3}]$

Passaggio 4.1.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

$\frac{π \cdot 4}{3}$ e $r^{3}$ .

$\frac{d}{d V} [\frac{π \cdot 4 r^{3}}{3}]$

Passaggio 4.1.2.2

Sposta $4$ alla sinistra di $π$ .

$\frac{d}{d V} [\frac{4 \cdot π r^{3}}{3}]$

Passaggio 4.1.3

Poiché $\frac{4 π}{3}$ è costante rispetto a $V$ , la derivata di $\frac{4 π r^{3}}{3}$ rispetto a $V$ è $\frac{4 π}{3} \frac{d}{d V} [r^{3}]$ .

$\frac{4 π}{3} \frac{d}{d V} [r^{3}]$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d V} [f (g (V))]$ è $f' (g (V)) g' (V)$ dove $f (V) = V^{3}$ e $g (V) = r$ .

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Passaggio 4.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $r$ .

$\frac{4 π}{3} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d V} [r])$

Passaggio 4.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{4 π}{3} (3 u^{2} \frac{d}{d V} [r])$

Passaggio 4.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $r$ .

$\frac{4 π}{3} (3 r^{2} \frac{d}{d V} [r])$

Passaggio 4.3

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

$3$ e $\frac{4 π}{3}$ .

$\frac{3 (4 π)}{3} (r^{2} \frac{d}{d V} [r])$

Passaggio 4.3.2

Moltiplica $4$ per $3$ .

$\frac{12 π}{3} (r^{2} \frac{d}{d V} [r])$

Passaggio 4.3.3

$r^{2}$ e $\frac{12 π}{3}$ .

$\frac{r^{2} (12 π)}{3} \frac{d}{d V} [r]$

Passaggio 4.3.4

Sposta $12$ alla sinistra di $r^{2}$ .

$\frac{12 \cdot r^{2} π}{3} \frac{d}{d V} [r]$

Passaggio 4.3.5

Elimina il fattore comune di $12$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.1

Scomponi $3$ da $12 r^{2} π$ .

$\frac{3 (4 r^{2} π)}{3} \frac{d}{d V} [r]$

Passaggio 4.3.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{3 (4 r^{2} π)}{3 (1)} \frac{d}{d V} [r]$

Passaggio 4.3.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 (4 r^{2} π)}{3 \cdot 1} \frac{d}{d V} [r]$

Passaggio 4.3.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4 r^{2} π}{1} \frac{d}{d V} [r]$

Passaggio 4.3.5.2.4

Dividi $4 r^{2} π$ per $1$ .

$4 r^{2} π \frac{d}{d V} [r]$

Passaggio 4.4

Riscrivi $\frac{d}{d V} [r]$ come $r'$ .

$4 r^{2} π r'$

Passaggio 4.5

Riordina i fattori di $4 r^{2} π r'$ .

$4 π r^{2} r'$

Passaggio 5

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$1 = 4 π r^{2} r'$

Passaggio 6

Risolvi per $r'$ .

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Passaggio 6.1

Riscrivi l'equazione come $4 π r^{2} r' = 1$ .

$4 π r^{2} r' = 1$

Passaggio 6.2

Dividi per $4 π r^{2}$ ciascun termine in $4 π r^{2} r' = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Dividi per $4 π r^{2}$ ciascun termine in $4 π r^{2} r' = 1$ .

$\frac{4 π r^{2} r'}{4 π r^{2}} = \frac{1}{4 π r^{2}}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 π r^{2} r'}{4 π r^{2}} = \frac{1}{4 π r^{2}}$

Passaggio 6.2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{π r^{2} r'}{π r^{2}} = \frac{1}{4 π r^{2}}$

Passaggio 6.2.2.2

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{π r^{2} r'}{π r^{2}} = \frac{1}{4 π r^{2}}$

Passaggio 6.2.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{r^{2} r'}{r^{2}} = \frac{1}{4 π r^{2}}$

Passaggio 6.2.2.3

Elimina il fattore comune di $r^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{r^{2} r'}{r^{2}} = \frac{1}{4 π r^{2}}$

Passaggio 6.2.2.3.2

Dividi $r'$ per $1$ .

$r' = \frac{1}{4 π r^{2}}$

Passaggio 7

Sostituisci $r'$ con $\frac{d r}{d V}$ .

$\frac{d r}{d V} = \frac{1}{4 π r^{2}}$