Algebra Esempi

$f (x) = - 4 {(x - 4)}^{2} (x^{2} - 4)$

Passaggio 1

Per trovare la simmetria, determina se la funzione è dispari, pari o né pari né dispari.

1. Se dispari, la funzione è simmetrica rispetto all'origine.

2. Se pari, la funzione è simmetrica rispetto all'asse y.

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Riscrivi ${(x - 4)}^{2}$ come $(x - 4) (x - 4)$ .

$f (x) = - 4 ((x - 4) (x - 4)) (x^{2} - 4)$

Passaggio 2.2

Espandi $(x - 4) (x - 4)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (x) = - 4 (x (x - 4) - 4 (x - 4)) (x^{2} - 4)$

Passaggio 2.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (x) = - 4 (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4)) (x^{2} - 4)$

Passaggio 2.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$f (x) = - 4 (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (x^{2} - 4)$

Passaggio 2.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 2.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f (x) = - 4 (x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (x^{2} - 4)$

Passaggio 2.3.1.2

Sposta $- 4$ alla sinistra di $x$ .

$f (x) = - 4 (x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4) (x^{2} - 4)$

Passaggio 2.3.1.3

Moltiplica $- 4$ per $- 4$ .

$f (x) = - 4 (x^{2} - 4 x - 4 x + 16) (x^{2} - 4)$

Passaggio 2.3.2

Sottrai $4 x$ da $- 4 x$ .

$f (x) = - 4 (x^{2} - 8 x + 16) (x^{2} - 4)$

Passaggio 2.4

Applica la proprietà distributiva.

$f (x) = (- 4 x^{2} - 4 (- 8 x) - 4 \cdot 16) (x^{2} - 4)$

Passaggio 2.5

Semplifica.

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Passaggio 2.5.1

Moltiplica $- 8$ per $- 4$ .

$f (x) = (- 4 x^{2} + 32 x - 4 \cdot 16) (x^{2} - 4)$

Passaggio 2.5.2

Moltiplica $- 4$ per $16$ .

$f (x) = (- 4 x^{2} + 32 x - 64) (x^{2} - 4)$

Passaggio 2.6

Espandi $(- 4 x^{2} + 32 x - 64) (x^{2} - 4)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$f (x) = - 4 x^{2} x^{2} - 4 x^{2} \cdot - 4 + 32 x \cdot x^{2} + 32 x \cdot - 4 - 64 x^{2} - 64 \cdot - 4$

Passaggio 2.7

Semplifica i termini.

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Passaggio 2.7.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.7.1.1.1

Sposta $x^{2}$ .

$f (x) = - 4 (x^{2} x^{2}) - 4 x^{2} \cdot - 4 + 32 x \cdot x^{2} + 32 x \cdot - 4 - 64 x^{2} - 64 \cdot - 4$

Passaggio 2.7.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (x) = - 4 x^{2 + 2} - 4 x^{2} \cdot - 4 + 32 x \cdot x^{2} + 32 x \cdot - 4 - 64 x^{2} - 64 \cdot - 4$

Passaggio 2.7.1.1.3

Somma $2$ e $2$ .

$f (x) = - 4 x^{4} - 4 x^{2} \cdot - 4 + 32 x \cdot x^{2} + 32 x \cdot - 4 - 64 x^{2} - 64 \cdot - 4$

Passaggio 2.7.1.2

Moltiplica $- 4$ per $- 4$ .

$f (x) = - 4 x^{4} + 16 x^{2} + 32 x \cdot x^{2} + 32 x \cdot - 4 - 64 x^{2} - 64 \cdot - 4$

Passaggio 2.7.1.3

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.7.1.3.1

Sposta $x^{2}$ .

$f (x) = - 4 x^{4} + 16 x^{2} + 32 (x^{2} x) + 32 x \cdot - 4 - 64 x^{2} - 64 \cdot - 4$

Passaggio 2.7.1.3.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

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Passaggio 2.7.1.3.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f (x) = - 4 x^{4} + 16 x^{2} + 32 (x^{2} x) + 32 x \cdot - 4 - 64 x^{2} - 64 \cdot - 4$

Passaggio 2.7.1.3.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (x) = - 4 x^{4} + 16 x^{2} + 32 x^{2 + 1} + 32 x \cdot - 4 - 64 x^{2} - 64 \cdot - 4$

Passaggio 2.7.1.3.3

Somma $2$ e $1$ .

$f (x) = - 4 x^{4} + 16 x^{2} + 32 x^{3} + 32 x \cdot - 4 - 64 x^{2} - 64 \cdot - 4$

Passaggio 2.7.1.4

Moltiplica $- 4$ per $32$ .

$f (x) = - 4 x^{4} + 16 x^{2} + 32 x^{3} - 128 x - 64 x^{2} - 64 \cdot - 4$

Passaggio 2.7.1.5

Moltiplica $- 64$ per $- 4$ .

$f (x) = - 4 x^{4} + 16 x^{2} + 32 x^{3} - 128 x - 64 x^{2} + 256$

Passaggio 2.7.2

Sottrai $64 x^{2}$ da $16 x^{2}$ .

$f (x) = - 4 x^{4} - 48 x^{2} + 32 x^{3} - 128 x + 256$

Passaggio 3

Trova $f (- x)$ .

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Passaggio 3.1

Trova $f (- x)$ sostituendo $- x$ in ogni occorrenza di $x$ in $f (x)$ .

$f (- x) = - 4 {(- x)}^{4} - 48 {(- x)}^{2} + 32 {(- x)}^{3} - 128 (- x) + 256$

Passaggio 3.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1

Applica la regola del prodotto a $- x$ .

$f (- x) = - 4 ({(- 1)}^{4} x^{4}) - 48 {(- x)}^{2} + 32 {(- x)}^{3} - 128 (- x) + 256$

Passaggio 3.2.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$f (- x) = - 4 (1 x^{4}) - 48 {(- x)}^{2} + 32 {(- x)}^{3} - 128 (- x) + 256$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $x^{4}$ per $1$ .

$f (- x) = - 4 x^{4} - 48 {(- x)}^{2} + 32 {(- x)}^{3} - 128 (- x) + 256$

Passaggio 3.2.4

Applica la regola del prodotto a $- x$ .

$f (- x) = - 4 x^{4} - 48 ({(- 1)}^{2} x^{2}) + 32 {(- x)}^{3} - 128 (- x) + 256$

Passaggio 3.2.5

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- x) = - 4 x^{4} - 48 (1 x^{2}) + 32 {(- x)}^{3} - 128 (- x) + 256$

Passaggio 3.2.6

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$f (- x) = - 4 x^{4} - 48 x^{2} + 32 {(- x)}^{3} - 128 (- x) + 256$

Passaggio 3.2.7

Applica la regola del prodotto a $- x$ .

$f (- x) = - 4 x^{4} - 48 x^{2} + 32 ({(- 1)}^{3} x^{3}) - 128 (- x) + 256$

Passaggio 3.2.8

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f (- x) = - 4 x^{4} - 48 x^{2} + 32 (- x^{3}) - 128 (- x) + 256$

Passaggio 3.2.9

Moltiplica $- 1$ per $32$ .

$f (- x) = - 4 x^{4} - 48 x^{2} - 32 x^{3} - 128 (- x) + 256$

Passaggio 3.2.10

Moltiplica $- 1$ per $- 128$ .

$f (- x) = - 4 x^{4} - 48 x^{2} - 32 x^{3} + 128 x + 256$

Passaggio 4

Una funzione è pari se $f (- x) = f (x)$ .

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Passaggio 4.1

Verifica se $f (- x) = f (x)$ .

Passaggio 4.2

Poiché $- 4 x^{4} - 48 x^{2} - 32 x^{3} + 128 x + 256$ $\neq$ $- 4 x^{4} - 48 x^{2} + 32 x^{3} - 128 x + 256$ , la funzione non è pari.

La funzione non è pari

Passaggio 5

Una funzione è dispari se $f (- x) = - f (x)$ .

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Passaggio 5.1

Trova $- f (x)$ .

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Passaggio 5.1.1

Moltiplica $- 4 x^{4} - 48 x^{2} + 32 x^{3} - 128 x + 256$ per $- 1$ .

$- f (x) = - (- 4 x^{4} - 48 x^{2} + 32 x^{3} - 128 x + 256)$

Passaggio 5.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$- f (x) = - (- 4 x^{4}) - (- 48 x^{2}) - (32 x^{3}) - (- 128 x) - 1 \cdot 256$

Passaggio 5.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$- f (x) = 4 x^{4} - (- 48 x^{2}) - (32 x^{3}) - (- 128 x) - 1 \cdot 256$

Passaggio 5.1.3.2

Moltiplica $- 48$ per $- 1$ .

$- f (x) = 4 x^{4} + 48 x^{2} - (32 x^{3}) - (- 128 x) - 1 \cdot 256$

Passaggio 5.1.3.3

Moltiplica $32$ per $- 1$ .

$- f (x) = 4 x^{4} + 48 x^{2} - 32 x^{3} - (- 128 x) - 1 \cdot 256$

Passaggio 5.1.3.4

Moltiplica $- 128$ per $- 1$ .

$- f (x) = 4 x^{4} + 48 x^{2} - 32 x^{3} + 128 x - 1 \cdot 256$

Passaggio 5.1.3.5

Moltiplica $- 1$ per $256$ .

$- f (x) = 4 x^{4} + 48 x^{2} - 32 x^{3} + 128 x - 256$

Passaggio 5.2

Poiché $- 4 x^{4} - 48 x^{2} - 32 x^{3} + 128 x + 256$ $\neq$ $4 x^{4} + 48 x^{2} - 32 x^{3} + 128 x - 256$ , la funzione non è dispari.

La funzione non è dispari

Passaggio 6

La funzione non è né dispari né pari

Passaggio 7

Poiché la funzione è non dispari, non è simmetrica rispetto all'origine.

Nessuna simmetria rispetto all'origine

Passaggio 8

Poiché la funzione è non pari, non è simmetrica rispetto all'asse y.

Nessuna simmetria rispetto all'asse y

Passaggio 9

Poiché la funzione non è né pari né dispari, non c'è simmetria né rispetto all'origine, né rispetto all'asse y.

La funzione non è simmetrica

Passaggio 10