Algebra Esempi

$y = \frac{1}{6} x^{2} - \frac{4}{3} x + \frac{43}{9}$

Passaggio 1

Scambia le variabili.

$x = \frac{1}{6} y^{2} - \frac{4}{3} y + \frac{43}{9}$

Passaggio 2

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{1}{6} y^{2} - \frac{4}{3} y + \frac{43}{9} = x$ .

$\frac{1}{6} y^{2} - \frac{4}{3} y + \frac{43}{9} = x$

Passaggio 2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

$\frac{1}{6}$ e $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{6} - \frac{4}{3} y + \frac{43}{9} = x$

Passaggio 2.2.2

$y$ e $\frac{4}{3}$ .

$\frac{y^{2}}{6} - \frac{y \cdot 4}{3} + \frac{43}{9} = x$

Passaggio 2.2.3

Sposta $4$ alla sinistra di $y$ .

$\frac{y^{2}}{6} - \frac{4 y}{3} + \frac{43}{9} = x$

Passaggio 2.3

Sottrai $x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{y^{2}}{6} - \frac{4 y}{3} + \frac{43}{9} - x = 0$

Passaggio 2.4

Moltiplica per il minimo comune denominatore $18$ , quindi semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$18 (\frac{y^{2}}{6}) + 18 (- \frac{4 y}{3}) + 18 (\frac{43}{9}) + 18 (- x) = 0$

Passaggio 2.4.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1.1

Scomponi $6$ da $18$ .

$6 (3) (\frac{y^{2}}{6}) + 18 (- \frac{4 y}{3}) + 18 (\frac{43}{9}) + 18 (- x) = 0$

Passaggio 2.4.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$6 \cdot (3 (\frac{y^{2}}{6})) + 18 (- \frac{4 y}{3}) + 18 (\frac{43}{9}) + 18 (- x) = 0$

Passaggio 2.4.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$3 y^{2} + 18 (- \frac{4 y}{3}) + 18 (\frac{43}{9}) + 18 (- x) = 0$

Passaggio 2.4.2.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{4 y}{3}$ nel numeratore.

$3 y^{2} + 18 (\frac{- 4 y}{3}) + 18 (\frac{43}{9}) + 18 (- x) = 0$

Passaggio 2.4.2.2.2

Scomponi $3$ da $18$ .

$3 y^{2} + 3 (6) (\frac{- 4 y}{3}) + 18 (\frac{43}{9}) + 18 (- x) = 0$

Passaggio 2.4.2.2.3

Elimina il fattore comune.

$3 y^{2} + 3 \cdot (6 (\frac{- 4 y}{3})) + 18 (\frac{43}{9}) + 18 (- x) = 0$

Passaggio 2.4.2.2.4

Riscrivi l'espressione.

$3 y^{2} + 6 (- 4 y) + 18 (\frac{43}{9}) + 18 (- x) = 0$

Passaggio 2.4.2.3

Moltiplica $- 4$ per $6$ .

$3 y^{2} - 24 y + 18 (\frac{43}{9}) + 18 (- x) = 0$

Passaggio 2.4.2.4

Elimina il fattore comune di $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.4.1

Scomponi $9$ da $18$ .

$3 y^{2} - 24 y + 9 (2) (\frac{43}{9}) + 18 (- x) = 0$

Passaggio 2.4.2.4.2

Elimina il fattore comune.

$3 y^{2} - 24 y + 9 \cdot (2 (\frac{43}{9})) + 18 (- x) = 0$

Passaggio 2.4.2.4.3

Riscrivi l'espressione.

$3 y^{2} - 24 y + 2 \cdot 43 + 18 (- x) = 0$

Passaggio 2.4.2.5

Moltiplica $2$ per $43$ .

$3 y^{2} - 24 y + 86 + 18 (- x) = 0$

Passaggio 2.4.2.6

Moltiplica $- 1$ per $18$ .

$3 y^{2} - 24 y + 86 - 18 x = 0$

Passaggio 2.4.3

Sposta $86$ .

$3 y^{2} - 24 y - 18 x + 86 = 0$

Passaggio 2.4.4

Sposta $- 24 y$ .

$3 y^{2} - 18 x - 24 y + 86 = 0$

Passaggio 2.5

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 2.6

Sostituisci i valori $a = 3$ , $b = - 24$ e $c = - 18 x + 86$ nella formula quadratica e risolvi per $y$ .

$\frac{24 \pm \sqrt{{(- 24)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot (- 18 x + 86))}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1.1

Eleva $- 24$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot 3 \cdot (- 18 x + 86)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.7.1.2

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 12 \cdot (- 18 x + 86)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.7.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 12 (- 18 x) - 12 \cdot 86}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.7.1.4

Moltiplica $- 18$ per $- 12$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 + 216 x - 12 \cdot 86}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.7.1.5

Moltiplica $- 12$ per $86$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 + 216 x - 1032}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.7.1.6

Sottrai $1032$ da $576$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{216 x - 456}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.7.1.7

Scomponi $24$ da $216 x - 456$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1.7.1

Scomponi $24$ da $216 x$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{24 (9 x) - 456}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.7.1.7.2

Scomponi $24$ da $- 456$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{24 (9 x) + 24 (- 19)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.7.1.7.3

Scomponi $24$ da $24 (9 x) + 24 (- 19)$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{24 (9 x - 19)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.7.1.8

Riscrivi $24 (9 x - 19)$ come $2^{2} \cdot (6 (3^{2} x - 19))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1.8.1

Scomponi $4$ da $24$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{4 (6) (9 x - 19)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.7.1.8.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (9 x - 19))}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.7.1.8.3

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (3^{2} x - 19))}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.7.1.8.4

Aggiungi le parentesi.

$y = \frac{24 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (3^{2} x - 19))}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.7.1.9

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{24 \pm 2 \sqrt{6 (3^{2} x - 19)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.7.1.10

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{24 \pm 2 \sqrt{6 (9 x - 19)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.7.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$y = \frac{24 \pm 2 \sqrt{6 (9 x - 19)}}{6}$

Passaggio 2.7.3

Semplifica $\frac{24 \pm 2 \sqrt{6 (9 x - 19)}}{6}$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$

Passaggio 2.8

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1.1

Eleva $- 24$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot 3 \cdot (- 18 x + 86)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.8.1.2

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 12 \cdot (- 18 x + 86)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.8.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 12 (- 18 x) - 12 \cdot 86}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.8.1.4

Moltiplica $- 18$ per $- 12$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 + 216 x - 12 \cdot 86}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.8.1.5

Moltiplica $- 12$ per $86$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 + 216 x - 1032}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.8.1.6

Sottrai $1032$ da $576$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{216 x - 456}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.8.1.7

Scomponi $24$ da $216 x - 456$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1.7.1

Scomponi $24$ da $216 x$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{24 (9 x) - 456}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.8.1.7.2

Scomponi $24$ da $- 456$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{24 (9 x) + 24 (- 19)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.8.1.7.3

Scomponi $24$ da $24 (9 x) + 24 (- 19)$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{24 (9 x - 19)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.8.1.8

Riscrivi $24 (9 x - 19)$ come $2^{2} \cdot (6 (3^{2} x - 19))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1.8.1

Scomponi $4$ da $24$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{4 (6) (9 x - 19)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.8.1.8.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (9 x - 19))}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.8.1.8.3

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (3^{2} x - 19))}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.8.1.8.4

Aggiungi le parentesi.

$y = \frac{24 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (3^{2} x - 19))}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.8.1.9

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{24 \pm 2 \sqrt{6 (3^{2} x - 19)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.8.1.10

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{24 \pm 2 \sqrt{6 (9 x - 19)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.8.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$y = \frac{24 \pm 2 \sqrt{6 (9 x - 19)}}{6}$

Passaggio 2.8.3

Semplifica $\frac{24 \pm 2 \sqrt{6 (9 x - 19)}}{6}$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$

Passaggio 2.8.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$y = \frac{12 + \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$

Passaggio 2.9

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.1.1

Eleva $- 24$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot 3 \cdot (- 18 x + 86)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.9.1.2

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 12 \cdot (- 18 x + 86)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.9.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 12 (- 18 x) - 12 \cdot 86}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.9.1.4

Moltiplica $- 18$ per $- 12$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 + 216 x - 12 \cdot 86}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.9.1.5

Moltiplica $- 12$ per $86$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 + 216 x - 1032}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.9.1.6

Sottrai $1032$ da $576$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{216 x - 456}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.9.1.7

Scomponi $24$ da $216 x - 456$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.1.7.1

Scomponi $24$ da $216 x$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{24 (9 x) - 456}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.9.1.7.2

Scomponi $24$ da $- 456$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{24 (9 x) + 24 (- 19)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.9.1.7.3

Scomponi $24$ da $24 (9 x) + 24 (- 19)$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{24 (9 x - 19)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.9.1.8

Riscrivi $24 (9 x - 19)$ come $2^{2} \cdot (6 (3^{2} x - 19))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.1.8.1

Scomponi $4$ da $24$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{4 (6) (9 x - 19)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.9.1.8.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (9 x - 19))}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.9.1.8.3

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (3^{2} x - 19))}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.9.1.8.4

Aggiungi le parentesi.

$y = \frac{24 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (3^{2} x - 19))}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.9.1.9

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{24 \pm 2 \sqrt{6 (3^{2} x - 19)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.9.1.10

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{24 \pm 2 \sqrt{6 (9 x - 19)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.9.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$y = \frac{24 \pm 2 \sqrt{6 (9 x - 19)}}{6}$

Passaggio 2.9.3

Semplifica $\frac{24 \pm 2 \sqrt{6 (9 x - 19)}}{6}$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$

Passaggio 2.9.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$y = \frac{12 - \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$

Passaggio 2.10

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$y = \frac{12 + \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$

$y = \frac{12 - \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$

$y = \frac{12 + \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$

$y = \frac{12 - \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$

Passaggio 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{12 + \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}, \frac{12 - \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$

Passaggio 4

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{12 + \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}, \frac{12 - \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$ è l'inverso di $f (x) = \frac{1}{6} x^{2} - \frac{4}{3} x + \frac{43}{9}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Il dominio dell'inverso è l'intervallo della funzione originale e viceversa. Trova il dominio e l'intervallo di $f (x) = \frac{1}{6} x^{2} - \frac{4}{3} x + \frac{43}{9}$ e $f^{- 1} (x) = \frac{12 + \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}, \frac{12 - \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$ e confrontali.

Passaggio 4.2

Trova l'intervallo di $f (x) = \frac{1}{6} x^{2} - \frac{4}{3} x + \frac{43}{9}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

L'intervallo è l'insieme di tutti i valori $y$ validi. Usa il grafico per trovare l'intervallo.

Notazione degli intervalli:

$[\frac{19}{9}, \infty)$

Passaggio 4.3

Trova il dominio di $\frac{12 + \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Imposta il radicando in $\sqrt{6 (9 x - 19)}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$6 (9 x - 19) \geq 0$

Passaggio 4.3.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 (9 x - 19) \geq 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 (9 x - 19) \geq 0$ .

$\frac{6 (9 x - 19)}{6} \geq \frac{0}{6}$

Passaggio 4.3.2.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.2.1

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{6 (9 x - 19)}{6} \geq \frac{0}{6}$

Passaggio 4.3.2.1.2.1.2

Dividi $9 x - 19$ per $1$ .

$9 x - 19 \geq \frac{0}{6}$

Passaggio 4.3.2.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.3.1

Dividi $0$ per $6$ .

$9 x - 19 \geq 0$

Passaggio 4.3.2.2

Aggiungi $19$ a entrambi i lati della diseguaglianza.

$9 x \geq 19$

Passaggio 4.3.2.3

Dividi per $9$ ciascun termine in $9 x \geq 19$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.3.1

Dividi per $9$ ciascun termine in $9 x \geq 19$ .

$\frac{9 x}{9} \geq \frac{19}{9}$

Passaggio 4.3.2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{9 x}{9} \geq \frac{19}{9}$

Passaggio 4.3.2.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x \geq \frac{19}{9}$

Passaggio 4.3.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$[\frac{19}{9}, \infty)$

Passaggio 4.4

Trova il dominio di $f (x) = \frac{1}{6} x^{2} - \frac{4}{3} x + \frac{43}{9}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

$(- \infty, \infty)$

Passaggio 4.5

Poiché il dominio di $f^{- 1} (x) = \frac{12 + \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}, \frac{12 - \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$ è l'intervallo di $f (x) = \frac{1}{6} x^{2} - \frac{4}{3} x + \frac{43}{9}$ e l'intervallo di $f^{- 1} (x) = \frac{12 + \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}, \frac{12 - \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$ è il dominio di $f (x) = \frac{1}{6} x^{2} - \frac{4}{3} x + \frac{43}{9}$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{12 + \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}, \frac{12 - \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$ è l'inverso di $f (x) = \frac{1}{6} x^{2} - \frac{4}{3} x + \frac{43}{9}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{12 + \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}, \frac{12 - \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$

Passaggio 5