Algebra Esempi

$\frac{(6 x + 5)}{x^{2} - 5 x + 6}$

Passaggio 1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

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Passaggio 1.1

Scomponi $x^{2} - 5 x + 6$ usando il metodo AC.

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Passaggio 1.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $6$ e la cui somma è $- 5$ .

$- 3, - 2$

Passaggio 1.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$\frac{6 x + 5}{(x - 3) (x - 2)}$

Passaggio 1.2

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $A$ .

$\frac{A}{x - 3}$

Passaggio 1.3

$\frac{A}{x - 3} + \frac{B}{x - 2}$

Passaggio 1.4

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $(x - 3) (x - 2)$ .

$\frac{(6 x + 5) (x - 3) (x - 2)}{(x - 3) (x - 2)} = \frac{(A) (x - 3) (x - 2)}{x - 3} + \frac{(B) (x - 3) (x - 2)}{x - 2}$

Passaggio 1.5

Elimina il fattore comune di $x - 3$ .

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Passaggio 1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(6 x + 5) (x - 3) (x - 2)}{(x - 3) (x - 2)} = \frac{(A) (x - 3) (x - 2)}{x - 3} + \frac{(B) (x - 3) (x - 2)}{x - 2}$

Passaggio 1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(6 x + 5) (x - 2)}{x - 2} = \frac{(A) (x - 3) (x - 2)}{x - 3} + \frac{(B) (x - 3) (x - 2)}{x - 2}$

Passaggio 1.6

Elimina il fattore comune di $x - 2$ .

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Passaggio 1.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(6 x + 5) (x - 2)}{x - 2} = \frac{(A) (x - 3) (x - 2)}{x - 3} + \frac{(B) (x - 3) (x - 2)}{x - 2}$

Passaggio 1.6.2

Dividi $6 x + 5$ per $1$ .

$6 x + 5 = \frac{(A) (x - 3) (x - 2)}{x - 3} + \frac{(B) (x - 3) (x - 2)}{x - 2}$

Passaggio 1.7

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.7.1

Elimina il fattore comune di $x - 3$ .

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Passaggio 1.7.1.1

Elimina il fattore comune.

$6 x + 5 = \frac{A (x - 3) (x - 2)}{x - 3} + \frac{(B) (x - 3) (x - 2)}{x - 2}$

Passaggio 1.7.1.2

Dividi $(A) (x - 2)$ per $1$ .

$6 x + 5 = (A) (x - 2) + \frac{(B) (x - 3) (x - 2)}{x - 2}$

Passaggio 1.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$6 x + 5 = A x + A \cdot - 2 + \frac{(B) (x - 3) (x - 2)}{x - 2}$

Passaggio 1.7.3

Sposta $- 2$ alla sinistra di $A$ .

$6 x + 5 = A x - 2 \cdot A + \frac{(B) (x - 3) (x - 2)}{x - 2}$

Passaggio 1.7.4

Elimina il fattore comune di $x - 2$ .

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Passaggio 1.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$6 x + 5 = A x - 2 A + \frac{(B) (x - 3) (x - 2)}{x - 2}$

Passaggio 1.7.4.2

Dividi $(B) (x - 3)$ per $1$ .

$6 x + 5 = A x - 2 A + (B) (x - 3)$

Passaggio 1.7.5

Applica la proprietà distributiva.

$6 x + 5 = A x - 2 A + B x + B \cdot - 3$

Passaggio 1.7.6

Sposta $- 3$ alla sinistra di $B$ .

$6 x + 5 = A x - 2 A + B x - 3 B$

Passaggio 1.8

Sposta $- 2 A$ .

$6 x + 5 = A x + B x - 2 A - 3 B$

Passaggio 2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

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Passaggio 2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$6 = A + B$

Passaggio 2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$5 = - 2 A - 3 B$

Passaggio 2.3

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$6 = A + B$

$5 = - 2 A - 3 B$

$6 = A + B$

$5 = - 2 A - 3 B$

Passaggio 3

Risolvi il sistema di equazioni.

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Passaggio 3.1

Risolvi per $A$ in $6 = A + B$ .

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Passaggio 3.1.1

Riscrivi l'equazione come $A + B = 6$ .

$A + B = 6$

$5 = - 2 A - 3 B$

Passaggio 3.1.2

Sottrai $B$ da entrambi i lati dell'equazione.

$A = 6 - B$

$5 = - 2 A - 3 B$

$A = 6 - B$

$5 = - 2 A - 3 B$

Passaggio 3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $6 - B$ in ogni equazione.

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Passaggio 3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $5 = - 2 A - 3 B$ con $6 - B$ .

$5 = - 2 (6 - B) - 3 B$

$A = 6 - B$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $- 2 (6 - B) - 3 B$ .

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Passaggio 3.2.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$5 = - 2 \cdot 6 - 2 (- B) - 3 B$

$A = 6 - B$

Passaggio 3.2.2.1.1.2

Moltiplica $- 2$ per $6$ .

$5 = - 12 - 2 (- B) - 3 B$

$A = 6 - B$

Passaggio 3.2.2.1.1.3

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$5 = - 12 + 2 B - 3 B$

$A = 6 - B$

$5 = - 12 + 2 B - 3 B$

$A = 6 - B$

Passaggio 3.2.2.1.2

Sottrai $3 B$ da $2 B$ .

$5 = - 12 - B$

$A = 6 - B$

$5 = - 12 - B$

$A = 6 - B$

$5 = - 12 - B$

$A = 6 - B$

$5 = - 12 - B$

$A = 6 - B$

Passaggio 3.3

Risolvi per $B$ in $5 = - 12 - B$ .

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Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'equazione come $- 12 - B = 5$ .

$- 12 - B = 5$

$A = 6 - B$

Passaggio 3.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $B$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.3.2.1

Somma $12$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- B = 5 + 12$

$A = 6 - B$

Passaggio 3.3.2.2

Somma $5$ e $12$ .

$- B = 17$

$A = 6 - B$

$- B = 17$

$A = 6 - B$

Passaggio 3.3.3

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- B = 17$ e semplifica.

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Passaggio 3.3.3.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- B = 17$ .

$\frac{- B}{- 1} = \frac{17}{- 1}$

$A = 6 - B$

Passaggio 3.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.3.3.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{B}{1} = \frac{17}{- 1}$

$A = 6 - B$

Passaggio 3.3.3.2.2

Dividi $B$ per $1$ .

$B = \frac{17}{- 1}$

$A = 6 - B$

$B = \frac{17}{- 1}$

$A = 6 - B$

Passaggio 3.3.3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.3.3.3.1

Dividi $17$ per $- 1$ .

$B = - 17$

$A = 6 - B$

$B = - 17$

$A = 6 - B$

$B = - 17$

$A = 6 - B$

$B = - 17$

$A = 6 - B$

Passaggio 3.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $- 17$ in ogni equazione.

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Passaggio 3.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $A = 6 - B$ con $- 17$ .

$A = 6 - (- 17)$

$B = - 17$

Passaggio 3.4.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.4.2.1

Semplifica $6 - (- 17)$ .

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Passaggio 3.4.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 17$ .

$A = 6 + 17$

$B = - 17$

Passaggio 3.4.2.1.2

Somma $6$ e $17$ .

$A = 23$

$B = - 17$

$A = 23$

$B = - 17$

$A = 23$

$B = - 17$

$A = 23$

$B = - 17$

Passaggio 3.5

Elenca tutte le soluzioni.

$A = 23, B = - 17$

Passaggio 4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{x - 3} + \frac{B}{x - 2}$ con i valori trovati per $A$ e $B$ .

$\frac{23}{x - 3} + \frac{- 17}{x - 2}$