Algebra Esempi

$c (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 1$

Passaggio 1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 2$

Passaggio 2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}$

Passaggio 3

Nel polinomio, sostituisci le possibili radici una alla volta per trovare le radici effettive. Semplifica per verificare se il valore è $0$ ; ciò significa che è una radice.

$2 {(- 1)}^{3} + 3 {(- 1)}^{2} - 1$

Passaggio 4

Semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ , quindi $x = - 1$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$2 \cdot - 1 + 3 {(- 1)}^{2} - 1$

Passaggio 4.1.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 + 3 {(- 1)}^{2} - 1$

Passaggio 4.1.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$- 2 + 3 \cdot 1 - 1$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$- 2 + 3 - 1$

Passaggio 4.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Somma $- 2$ e $3$ .

$1 - 1$

Passaggio 4.2.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$0$

Passaggio 5

Poiché $- 1$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x + 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può essere utilizzato per trovare le restanti radici.

$\frac{2 x^{3} + 3 x^{2} - 1}{x + 1}$

Passaggio 6

Ora, trova le radici del polinomio rimanente. L'ordine del polinomio è stato ridotto di $1$ .

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Passaggio 6.1

Inserisci i numeri che rappresentano il divisore e il dividendo in una configurazione da divisione.

$- 1$	$2$	$3$	$0$	$- 1$

Passaggio 6.2

Il primo numero nel dividendo $(2)$ è messo nella prima posizione dell'area risultante (al di sotto della retta orizzontale).

$- 1$	$2$	$3$	$0$	$- 1$

	$2$

Passaggio 6.3

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(2)$ per il divisore $(- 1)$ e posiziona il risultato di $(- 2)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(3)$ .

$- 1$	$2$	$3$	$0$	$- 1$
		$- 2$
	$2$

Passaggio 6.4

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- 1$	$2$	$3$	$0$	$- 1$
		$- 2$
	$2$	$1$

Passaggio 6.5

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(1)$ per il divisore $(- 1)$ e posiziona il risultato di $(- 1)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(0)$ .

$- 1$	$2$	$3$	$0$	$- 1$
		$- 2$	$- 1$
	$2$	$1$

Passaggio 6.6

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- 1$	$2$	$3$	$0$	$- 1$
		$- 2$	$- 1$
	$2$	$1$	$- 1$

Passaggio 6.7

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(- 1)$ per il divisore $(- 1)$ e posiziona il risultato di $(1)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 1)$ .

$- 1$	$2$	$3$	$0$	$- 1$
		$- 2$	$- 1$	$1$
	$2$	$1$	$- 1$

Passaggio 6.8

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- 1$	$2$	$3$	$0$	$- 1$
		$- 2$	$- 1$	$1$
	$2$	$1$	$- 1$	$0$

Passaggio 6.9

Tutti i numeri eccetto l'ultimo diventano i coefficienti del polinomio quoziente. L'ultimo valore nella riga del risultato è il resto.

$2 x^{2} + 1 x - 1$

Passaggio 6.10

Semplifica il polinomio quoziente.

$2 x^{2} + x - 1$

Passaggio 7

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 7.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ e la cui somma è $b = 1$ .

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Passaggio 7.1.1

Moltiplica per $1$ .

$(x + 1) + 2 x^{2} + 1 x - 1$

Passaggio 7.1.2

Riscrivi $1$ come $- 1$ più $2$ .

$(x + 1) + 2 x^{2} + (- 1 + 2) x - 1$

Passaggio 7.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$(x + 1) + 2 x^{2} - 1 x + 2 x - 1$

Passaggio 7.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 7.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(x + 1) (2 x^{2} - 1 x) + 2 x - 1$

Passaggio 7.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$(x + 1) + x (2 x - 1) + 1 (2 x - 1)$

Passaggio 7.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 x - 1$ .

$(x + 1) + (2 x - 1) (x + 1)$

$(x + 1) (2 x - 1) (x + 1)$

Passaggio 8

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 8.1

Scomponi $2 x^{3} + 3 x^{2} - 1$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 8.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 2$

Passaggio 8.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 0.5$

Passaggio 8.1.3

Sostituisci $- 1$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $- 1$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 8.1.3.1

Sostituisci $- 1$ nel polinomio.

$2 {(- 1)}^{3} + 3 {(- 1)}^{2} - 1$

Passaggio 8.1.3.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$2 \cdot - 1 + 3 {(- 1)}^{2} - 1$

Passaggio 8.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 + 3 {(- 1)}^{2} - 1$

Passaggio 8.1.3.4

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$- 2 + 3 \cdot 1 - 1$

Passaggio 8.1.3.5

Moltiplica $3$ per $1$ .

$- 2 + 3 - 1$

Passaggio 8.1.3.6

Somma $- 2$ e $3$ .

$1 - 1$

Passaggio 8.1.3.7

Sottrai $1$ da $1$ .

$0$

Passaggio 8.1.4

Poiché $- 1$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x + 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{2 x^{3} + 3 x^{2} - 1}{x + 1}$

Passaggio 8.1.5

Dividi $2 x^{3} + 3 x^{2} - 1$ per $x + 1$ .

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Passaggio 8.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$1$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$1$

Passaggio 8.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $2 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$2 x^{2}$
	$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$

Passaggio 8.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			+	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Passaggio 8.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $2 x^{3} + 2 x^{2}$

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Passaggio 8.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$

Passaggio 8.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$

Passaggio 8.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$

Passaggio 8.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$

Passaggio 8.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{2} + x$

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$

Passaggio 8.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$x$

Passaggio 8.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$x$	-	$1$

Passaggio 8.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$2 x^{2}$	+	$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$x$	-	$1$

Passaggio 8.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$2 x^{2}$	+	$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$x$	-	$1$
							-	$x$	-	$1$

Passaggio 8.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- x - 1$

				$2 x^{2}$	+	$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$x$	-	$1$
							+	$x$	+	$1$

Passaggio 8.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$2 x^{2}$	+	$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$x$	-	$1$
							+	$x$	+	$1$
										$0$

Passaggio 8.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$2 x^{2} + x - 1$

Passaggio 8.1.6

Scrivi $2 x^{3} + 3 x^{2} - 1$ come insieme di fattori.

$(x + 1) (2 x^{2} + x - 1) = 0$

Passaggio 8.2

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 8.2.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ e la cui somma è $b = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1.1

Moltiplica per $1$ .

$(x + 1) (2 x^{2} + 1 x - 1) = 0$

Passaggio 8.2.1.1.2

Riscrivi $1$ come $- 1$ più $2$ .

$(x + 1) (2 x^{2} + (- 1 + 2) x - 1) = 0$

Passaggio 8.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$(x + 1) (2 x^{2} - 1 x + 2 x - 1) = 0$

Passaggio 8.2.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(x + 1) ((2 x^{2} - 1 x) + 2 x - 1) = 0$

Passaggio 8.2.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$(x + 1) (x (2 x - 1) + 1 (2 x - 1)) = 0$

Passaggio 8.2.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 x - 1$ .

$(x + 1) ((2 x - 1) (x + 1)) = 0$

Passaggio 8.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x + 1) (2 x - 1) (x + 1) = 0$

Passaggio 9

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

$2 x - 1 = 0$

$x + 1 = 0$

Passaggio 10

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 10.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 11

Imposta $2 x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Imposta $2 x - 1$ uguale a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Passaggio 11.2

Risolvi $2 x - 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = 1$

Passaggio 11.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 1$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 11.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 11.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Passaggio 12

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x + 1) (2 x - 1) (x + 1) = 0$ vera.

$x = - 1, \frac{1}{2}$

Passaggio 13