Algebra Esempi

$f (x) = x^{3} - 11 x^{2} + 43 x - 65$

Passaggio 1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 5, \pm 13, \pm 65$

$q = \pm 1$

Passaggio 2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 5, \pm 13, \pm 65$

Passaggio 3

Nel polinomio, sostituisci le possibili radici una alla volta per trovare le radici effettive. Semplifica per verificare se il valore è $0$ ; ciò significa che è una radice.

${(5)}^{3} - 11 {(5)}^{2} + 43 (5) - 65$

Passaggio 4

Semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ , quindi $x = 5$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.1

Eleva $5$ alla potenza di $3$ .

$125 - 11 {(5)}^{2} + 43 (5) - 65$

Passaggio 4.1.2

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$125 - 11 \cdot 25 + 43 (5) - 65$

Passaggio 4.1.3

Moltiplica $- 11$ per $25$ .

$125 - 275 + 43 (5) - 65$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica $43$ per $5$ .

$125 - 275 + 215 - 65$

Passaggio 4.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

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Passaggio 4.2.1

Sottrai $275$ da $125$ .

$- 150 + 215 - 65$

Passaggio 4.2.2

Somma $- 150$ e $215$ .

$65 - 65$

Passaggio 4.2.3

Sottrai $65$ da $65$ .

$0$

Passaggio 5

Poiché $5$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 5$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può essere utilizzato per trovare le restanti radici.

$\frac{x^{3} - 11 x^{2} + 43 x - 65}{x - 5}$

Passaggio 6

Ora, trova le radici del polinomio rimanente. L'ordine del polinomio è stato ridotto di $1$ .

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Passaggio 6.1

Inserisci i numeri che rappresentano il divisore e il dividendo in una configurazione da divisione.

$5$	$1$	$- 11$	$43$	$- 65$

Passaggio 6.2

Il primo numero nel dividendo $(1)$ è messo nella prima posizione dell'area risultante (al di sotto della retta orizzontale).

$5$	$1$	$- 11$	$43$	$- 65$

	$1$

Passaggio 6.3

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(1)$ per il divisore $(5)$ e posiziona il risultato di $(5)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 11)$ .

$5$	$1$	$- 11$	$43$	$- 65$
		$5$
	$1$

Passaggio 6.4

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$5$	$1$	$- 11$	$43$	$- 65$
		$5$
	$1$	$- 6$

Passaggio 6.5

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(- 6)$ per il divisore $(5)$ e posiziona il risultato di $(- 30)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(43)$ .

$5$	$1$	$- 11$	$43$	$- 65$
		$5$	$- 30$
	$1$	$- 6$

Passaggio 6.6

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$5$	$1$	$- 11$	$43$	$- 65$
		$5$	$- 30$
	$1$	$- 6$	$13$

Passaggio 6.7

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(13)$ per il divisore $(5)$ e posiziona il risultato di $(65)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 65)$ .

$5$	$1$	$- 11$	$43$	$- 65$
		$5$	$- 30$	$65$
	$1$	$- 6$	$13$

Passaggio 6.8

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$5$	$1$	$- 11$	$43$	$- 65$
		$5$	$- 30$	$65$
	$1$	$- 6$	$13$	$0$

Passaggio 6.9

Tutti i numeri eccetto l'ultimo diventano i coefficienti del polinomio quoziente. L'ultimo valore nella riga del risultato è il resto.

$1 x^{2} + - 6 x + 13$

Passaggio 6.10

Semplifica il polinomio quoziente.

$x^{2} - 6 x + 13$

Passaggio 7

Risolvi l'equazione per trovare tutte le radici rimanenti.

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Passaggio 7.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = - 6$ e $c = 13$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 13)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3

Semplifica.

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Passaggio 7.3.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.3.1.1

Eleva $- 6$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 13$ .

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Passaggio 7.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $13$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 52}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.1.3

Sottrai $52$ da $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.1.4

Riscrivi $- 16$ come $- 1 (16)$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (16)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.1.7

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.1.8

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \frac{6 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.1.9

Sposta $4$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{6 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{6 \pm 4 i}{2}$

Passaggio 7.3.3

Semplifica $\frac{6 \pm 4 i}{2}$ .

$x = 3 \pm 2 i$

Passaggio 7.4

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

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Passaggio 7.4.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.4.1.1

Eleva $- 6$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 13$ .

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Passaggio 7.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $13$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 52}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.1.3

Sottrai $52$ da $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.1.4

Riscrivi $- 16$ come $- 1 (16)$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (16)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.1.7

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.1.8

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \frac{6 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.1.9

Sposta $4$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{6 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{6 \pm 4 i}{2}$

Passaggio 7.4.3

Semplifica $\frac{6 \pm 4 i}{2}$ .

$x = 3 \pm 2 i$

Passaggio 7.4.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = 3 + 2 i$

Passaggio 7.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

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Passaggio 7.5.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.5.1.1

Eleva $- 6$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 13$ .

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Passaggio 7.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.5.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $13$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 52}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.5.1.3

Sottrai $52$ da $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.5.1.4

Riscrivi $- 16$ come $- 1 (16)$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.5.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (16)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.5.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.5.1.7

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.5.1.8

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \frac{6 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.5.1.9

Sposta $4$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{6 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{6 \pm 4 i}{2}$

Passaggio 7.5.3

Semplifica $\frac{6 \pm 4 i}{2}$ .

$x = 3 \pm 2 i$

Passaggio 7.5.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = 3 - 2 i$

Passaggio 7.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = 3 + 2 i, 3 - 2 i$

Passaggio 8

Il polinomio può essere scritto come un insieme di fattori lineari.

$(x - 5) (x - 3 - 2 i) (x - 3 + 2 i)$

Passaggio 9

Queste sono le radici (zero) del polinomio $x^{3} - 11 x^{2} + 43 x - 65$ .

$x = 5, 3 + 2 i, 3 - 2 i$

Passaggio 10