Algebra Esempi

$f (x) = x^{3} - 111 x + 110$

Passaggio 1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10, \pm 11, \pm 22, \pm 55, \pm 110$

$q = \pm 1$

Passaggio 2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10, \pm 11, \pm 22, \pm 55, \pm 110$

Passaggio 3

Nel polinomio, sostituisci le possibili radici una alla volta per trovare le radici effettive. Semplifica per verificare se il valore è $0$ ; ciò significa che è una radice.

${(1)}^{3} - 111 \cdot 1 + 110$

Passaggio 4

Semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ , quindi $x = 1$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 - 111 \cdot 1 + 110$

Passaggio 4.1.2

Moltiplica $- 111$ per $1$ .

$1 - 111 + 110$

Passaggio 4.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

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Passaggio 4.2.1

Sottrai $111$ da $1$ .

$- 110 + 110$

Passaggio 4.2.2

Somma $- 110$ e $110$ .

$0$

Passaggio 5

Poiché $1$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può essere utilizzato per trovare le restanti radici.

$\frac{x^{3} - 111 x + 110}{x - 1}$

Passaggio 6

Ora, trova le radici del polinomio rimanente. L'ordine del polinomio è stato ridotto di $1$ .

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Passaggio 6.1

Inserisci i numeri che rappresentano il divisore e il dividendo in una configurazione da divisione.

$1$	$1$	$0$	$- 111$	$110$

Passaggio 6.2

Il primo numero nel dividendo $(1)$ è messo nella prima posizione dell'area risultante (al di sotto della retta orizzontale).

$1$	$1$	$0$	$- 111$	$110$

	$1$

Passaggio 6.3

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(1)$ per il divisore $(1)$ e posiziona il risultato di $(1)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(0)$ .

$1$	$1$	$0$	$- 111$	$110$
		$1$
	$1$

Passaggio 6.4

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$1$	$1$	$0$	$- 111$	$110$
		$1$
	$1$	$1$

Passaggio 6.5

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(1)$ per il divisore $(1)$ e posiziona il risultato di $(1)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 111)$ .

$1$	$1$	$0$	$- 111$	$110$
		$1$	$1$
	$1$	$1$

Passaggio 6.6

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$1$	$1$	$0$	$- 111$	$110$
		$1$	$1$
	$1$	$1$	$- 110$

Passaggio 6.7

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(- 110)$ per il divisore $(1)$ e posiziona il risultato di $(- 110)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(110)$ .

$1$	$1$	$0$	$- 111$	$110$
		$1$	$1$	$- 110$
	$1$	$1$	$- 110$

Passaggio 6.8

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$1$	$1$	$0$	$- 111$	$110$
		$1$	$1$	$- 110$
	$1$	$1$	$- 110$	$0$

Passaggio 6.9

Tutti i numeri eccetto l'ultimo diventano i coefficienti del polinomio quoziente. L'ultimo valore nella riga del risultato è il resto.

$1 x^{2} + 1 x - 110$

Passaggio 6.10

Semplifica il polinomio quoziente.

$x^{2} + x - 110$

Passaggio 7

Scomponi $x^{2} + x - 110$ usando il metodo AC.

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Passaggio 7.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 110$ e la cui somma è $1$ .

$- 10, 11$

Passaggio 7.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(x - 1) + (x - 10) (x + 11)$

$(x - 1) (x - 10) (x + 11)$

Passaggio 8

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 8.1

Scomponi $x^{3} - 111 x + 110$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 8.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 110, \pm 2, \pm 55, \pm 5, \pm 22, \pm 10, \pm 11$

$q = \pm 1$

Passaggio 8.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 110, \pm 2, \pm 55, \pm 5, \pm 22, \pm 10, \pm 11$

Passaggio 8.1.3

Sostituisci $1$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $1$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 8.1.3.1

Sostituisci $1$ nel polinomio.

$1^{3} - 111 \cdot 1 + 110$

Passaggio 8.1.3.2

Eleva $1$ alla potenza di $3$ .

$1 - 111 \cdot 1 + 110$

Passaggio 8.1.3.3

Moltiplica $- 111$ per $1$ .

$1 - 111 + 110$

Passaggio 8.1.3.4

Sottrai $111$ da $1$ .

$- 110 + 110$

Passaggio 8.1.3.5

Somma $- 110$ e $110$ .

$0$

Passaggio 8.1.4

Poiché $1$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{x^{3} - 111 x + 110}{x - 1}$

Passaggio 8.1.5

Dividi $x^{3} - 111 x + 110$ per $x - 1$ .

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Passaggio 8.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$111 x$

$110$

Passaggio 8.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$111 x$	+	$110$

Passaggio 8.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$111 x$	+	$110$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Passaggio 8.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$111 x$	+	$110$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Passaggio 8.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$111 x$	+	$110$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$

Passaggio 8.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$111 x$	+	$110$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$111 x$

Passaggio 8.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$111 x$	+	$110$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$111 x$

Passaggio 8.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$111 x$	+	$110$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$111 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$

Passaggio 8.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{2} - x$

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$111 x$	+	$110$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$111 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$

Passaggio 8.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$111 x$	+	$110$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$111 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$110 x$

Passaggio 8.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$111 x$	+	$110$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$111 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$110 x$	+	$110$

Passaggio 8.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 110 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	+	$x$	-	$110$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$111 x$	+	$110$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$111 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$110 x$	+	$110$

Passaggio 8.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	+	$x$	-	$110$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$111 x$	+	$110$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$111 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$110 x$	+	$110$
							-	$110 x$	+	$110$

Passaggio 8.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 110 x + 110$

				$x^{2}$	+	$x$	-	$110$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$111 x$	+	$110$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$111 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$110 x$	+	$110$
							+	$110 x$	-	$110$

Passaggio 8.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	+	$x$	-	$110$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$111 x$	+	$110$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$111 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$110 x$	+	$110$
							+	$110 x$	-	$110$
										$0$

Passaggio 8.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{2} + x - 110$

Passaggio 8.1.6

Scrivi $x^{3} - 111 x + 110$ come insieme di fattori.

$(x - 1) (x^{2} + x - 110) = 0$

Passaggio 8.2

Scomponi $x^{2} + x - 110$ usando il metodo AC.

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Passaggio 8.2.1

Scomponi $x^{2} + x - 110$ usando il metodo AC.

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Passaggio 8.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 110$ e la cui somma è $1$ .

$- 10, 11$

Passaggio 8.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(x - 1) ((x - 10) (x + 11)) = 0$

Passaggio 8.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x - 1) (x - 10) (x + 11) = 0$

Passaggio 9

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

$x - 10 = 0$

$x + 11 = 0$

Passaggio 10

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 10.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 10.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 11

Imposta $x - 10$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 11.1

Imposta $x - 10$ uguale a $0$ .

$x - 10 = 0$

Passaggio 11.2

Somma $10$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 10$

Passaggio 12

Imposta $x + 11$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 12.1

Imposta $x + 11$ uguale a $0$ .

$x + 11 = 0$

Passaggio 12.2

Sottrai $11$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 11$

Passaggio 13

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 1) (x - 10) (x + 11) = 0$ vera.

$x = 1, 10, - 11$

Passaggio 14