Algebra Esempi

$f (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 7 x - 21$

Passaggio 1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 7, \pm 21$

$q = \pm 1$

Passaggio 2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 3, \pm 7, \pm 21$

Passaggio 3

Nel polinomio, sostituisci le possibili radici una alla volta per trovare le radici effettive. Semplifica per verificare se il valore è $0$ ; ciò significa che è una radice.

${(- 3)}^{3} + 3 {(- 3)}^{2} - 7 \cdot - 3 - 21$

Passaggio 4

Semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ , quindi $x = - 3$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $3$ .

$- 27 + 3 {(- 3)}^{2} - 7 \cdot - 3 - 21$

Passaggio 4.1.2

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$- 27 + 3 \cdot 9 - 7 \cdot - 3 - 21$

Passaggio 4.1.3

Moltiplica $3$ per $9$ .

$- 27 + 27 - 7 \cdot - 3 - 21$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica $- 7$ per $- 3$ .

$- 27 + 27 + 21 - 21$

Passaggio 4.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

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Passaggio 4.2.1

Somma $- 27$ e $27$ .

$0 + 21 - 21$

Passaggio 4.2.2

Somma $0$ e $21$ .

$21 - 21$

Passaggio 4.2.3

Sottrai $21$ da $21$ .

$0$

Passaggio 5

Poiché $- 3$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x + 3$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può essere utilizzato per trovare le restanti radici.

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} - 7 x - 21}{x + 3}$

Passaggio 6

Ora, trova le radici del polinomio rimanente. L'ordine del polinomio è stato ridotto di $1$ .

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Passaggio 6.1

Inserisci i numeri che rappresentano il divisore e il dividendo in una configurazione da divisione.

$- 3$	$1$	$3$	$- 7$	$- 21$

Passaggio 6.2

Il primo numero nel dividendo $(1)$ è messo nella prima posizione dell'area risultante (al di sotto della retta orizzontale).

$- 3$	$1$	$3$	$- 7$	$- 21$

	$1$

Passaggio 6.3

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(1)$ per il divisore $(- 3)$ e posiziona il risultato di $(- 3)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(3)$ .

$- 3$	$1$	$3$	$- 7$	$- 21$
		$- 3$
	$1$

Passaggio 6.4

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- 3$	$1$	$3$	$- 7$	$- 21$
		$- 3$
	$1$	$0$

Passaggio 6.5

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(0)$ per il divisore $(- 3)$ e posiziona il risultato di $(0)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 7)$ .

$- 3$	$1$	$3$	$- 7$	$- 21$
		$- 3$	$0$
	$1$	$0$

Passaggio 6.6

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- 3$	$1$	$3$	$- 7$	$- 21$
		$- 3$	$0$
	$1$	$0$	$- 7$

Passaggio 6.7

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(- 7)$ per il divisore $(- 3)$ e posiziona il risultato di $(21)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 21)$ .

$- 3$	$1$	$3$	$- 7$	$- 21$
		$- 3$	$0$	$21$
	$1$	$0$	$- 7$

Passaggio 6.8

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- 3$	$1$	$3$	$- 7$	$- 21$
		$- 3$	$0$	$21$
	$1$	$0$	$- 7$	$0$

Passaggio 6.9

Tutti i numeri eccetto l'ultimo diventano i coefficienti del polinomio quoziente. L'ultimo valore nella riga del risultato è il resto.

$1 x^{2} + 0 x - 7$

Passaggio 6.10

Semplifica il polinomio quoziente.

$x^{2} - 7$

Passaggio 7

Risolvi l'equazione per trovare tutte le radici rimanenti.

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Passaggio 7.1

Somma $7$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = 7$

Passaggio 7.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{7}$

Passaggio 7.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 7.3.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \sqrt{7}$

Passaggio 7.3.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \sqrt{7}$

Passaggio 7.3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

Passaggio 8

Il polinomio può essere scritto come un insieme di fattori lineari.

$(x + 3) (x - \sqrt{7}) (x + \sqrt{7})$

Passaggio 9

Queste sono le radici (zero) del polinomio $x^{3} + 3 x^{2} - 7 x - 21$ .

$x = - 3, \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

Passaggio 10

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = - 3, \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

Forma decimale:

$x = - 3, 2.64575131 \dots, - 2.64575131 \dots$

Passaggio 11