Algebra Esempi

$f (x) = x^{6} - 2 x^{4} - 5 x^{2} + 6$

Passaggio 1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$

$q = \pm 1$

Passaggio 2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$

Passaggio 3

Nel polinomio, sostituisci le possibili radici una alla volta per trovare le radici effettive. Semplifica per verificare se il valore è $0$ ; ciò significa che è una radice.

${(1)}^{6} - 2 {(1)}^{4} - 5 {(1)}^{2} + 6$

Passaggio 4

Semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ , quindi $x = 1$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 - 2 {(1)}^{4} - 5 {(1)}^{2} + 6$

Passaggio 4.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 - 2 \cdot 1 - 5 {(1)}^{2} + 6$

Passaggio 4.1.3

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$1 - 2 - 5 {(1)}^{2} + 6$

Passaggio 4.1.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 - 2 - 5 \cdot 1 + 6$

Passaggio 4.1.5

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$1 - 2 - 5 + 6$

$1 - 2 - 5 + 6$

Passaggio 4.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

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Passaggio 4.2.1

Sottrai $2$ da $1$ .

$- 1 - 5 + 6$

Passaggio 4.2.2

Sottrai $5$ da $- 1$ .

$- 6 + 6$

Passaggio 4.2.3

Somma $- 6$ e $6$ .

$0$

$0$

$0$

Passaggio 5

Poiché $1$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può essere utilizzato per trovare le restanti radici.

$\frac{x^{6} - 2 x^{4} - 5 x^{2} + 6}{x - 1}$

Passaggio 6

Ora, trova le radici del polinomio rimanente. L'ordine del polinomio è stato ridotto di $1$ .

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Passaggio 6.1

Inserisci i numeri che rappresentano il divisore e il dividendo in una configurazione da divisione.

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$

Passaggio 6.2

Il primo numero nel dividendo $(1)$ è messo nella prima posizione dell'area risultante (al di sotto della retta orizzontale).

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$

	$1$

Passaggio 6.3

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(1)$ per il divisore $(1)$ e posiziona il risultato di $(1)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(0)$ .

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$
	$1$

Passaggio 6.4

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$
	$1$	$1$

Passaggio 6.5

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(1)$ per il divisore $(1)$ e posiziona il risultato di $(1)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 2)$ .

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$	$1$
	$1$	$1$

Passaggio 6.6

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$	$1$
	$1$	$1$	$- 1$

Passaggio 6.7

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(- 1)$ per il divisore $(1)$ e posiziona il risultato di $(- 1)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(0)$ .

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$	$1$	$- 1$
	$1$	$1$	$- 1$

Passaggio 6.8

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$	$1$	$- 1$
	$1$	$1$	$- 1$	$- 1$

Passaggio 6.9

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(- 1)$ per il divisore $(1)$ e posiziona il risultato di $(- 1)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 5)$ .

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$	$1$	$- 1$	$- 1$
	$1$	$1$	$- 1$	$- 1$

Passaggio 6.10

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$	$1$	$- 1$	$- 1$
	$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$- 6$

Passaggio 6.11

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(- 6)$ per il divisore $(1)$ e posiziona il risultato di $(- 6)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(0)$ .

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$- 6$
	$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$- 6$

Passaggio 6.12

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$- 6$
	$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$- 6$	$- 6$

Passaggio 6.13

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(- 6)$ per il divisore $(1)$ e posiziona il risultato di $(- 6)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(6)$ .

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$- 6$	$- 6$
	$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$- 6$	$- 6$

Passaggio 6.14

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$- 6$	$- 6$
	$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$- 6$	$- 6$	$0$

Passaggio 6.15

Tutti i numeri eccetto l'ultimo diventano i coefficienti del polinomio quoziente. L'ultimo valore nella riga del risultato è il resto.

$1 x^{5} + 1 x^{4} - 1 x^{3} + - 1 x^{2} + (- 6) x - 6$

Passaggio 6.16

Semplifica il polinomio quoziente.

$x^{5} + x^{4} - x^{3} - x^{2} - 6 x - 6$

$x^{5} + x^{4} - x^{3} - x^{2} - 6 x - 6$

Passaggio 7

Risolvi l'equazione per trovare tutte le radici rimanenti.

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Passaggio 7.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 7.1.1

Raggruppa i termini.

$x^{5} - x^{3} - 6 x + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

Passaggio 7.1.2

Scomponi $x$ da $x^{5} - x^{3} - 6 x$ .

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Passaggio 7.1.2.1

Scomponi $x$ da $x^{5}$ .

$x \cdot x^{4} - x^{3} - 6 x + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

Passaggio 7.1.2.2

Scomponi $x$ da $- x^{3}$ .

$x \cdot x^{4} + x (- x^{2}) - 6 x + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

Passaggio 7.1.2.3

Scomponi $x$ da $- 6 x$ .

$x \cdot x^{4} + x (- x^{2}) + x \cdot - 6 + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

Passaggio 7.1.2.4

Scomponi $x$ da $x \cdot x^{4} + x (- x^{2})$ .

$x (x^{4} - x^{2}) + x \cdot - 6 + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

Passaggio 7.1.2.5

Scomponi $x$ da $x (x^{4} - x^{2}) + x \cdot - 6$ .

$x (x^{4} - x^{2} - 6) + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

$x (x^{4} - x^{2} - 6) + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

Passaggio 7.1.3

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$x ({(x^{2})}^{2} - x^{2} - 6) + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

Passaggio 7.1.4

Sia $u = x^{2}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{2}$ con $u$ .

$x (u^{2} - u - 6) + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

Passaggio 7.1.5

Scomponi $u^{2} - u - 6$ usando il metodo AC.

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Passaggio 7.1.5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 6$ e la cui somma è $- 1$ .

$- 3, 2$

Passaggio 7.1.5.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$x ((u - 3) (u + 2)) + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

$x ((u - 3) (u + 2)) + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

Passaggio 7.1.6

Scomponi.

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Passaggio 7.1.6.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$x ((x^{2} - 3) (x^{2} + 2)) + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

Passaggio 7.1.6.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$x (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

$x (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

Passaggio 7.1.7

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$x (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) + {(x^{2})}^{2} - x^{2} - 6 = 0$

Passaggio 7.1.8

Sia $u = x^{2}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{2}$ con $u$ .

$x (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) + u^{2} - u - 6 = 0$

Passaggio 7.1.9

Scomponi $u^{2} - u - 6$ usando il metodo AC.

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Passaggio 7.1.9.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 6$ e la cui somma è $- 1$ .

$- 3, 2$

Passaggio 7.1.9.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$x (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) + (u - 3) (u + 2) = 0$

$x (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) + (u - 3) (u + 2) = 0$

Passaggio 7.1.10

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$x (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) = 0$

Passaggio 7.1.11

Scomponi $(x^{2} - 3) (x^{2} + 2)$ da $x (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 2)$ .

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Passaggio 7.1.11.1

Scomponi $(x^{2} - 3) (x^{2} + 2)$ da $x (x^{2} - 3) (x^{2} + 2)$ .

$(x^{2} - 3) (x^{2} + 2) (x) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) = 0$

Passaggio 7.1.11.2

Scomponi $(x^{2} - 3) (x^{2} + 2)$ da $(x^{2} - 3) (x^{2} + 2)$ .

$(x^{2} - 3) (x^{2} + 2) (x) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) (1) = 0$

Passaggio 7.1.11.3

Scomponi $(x^{2} - 3) (x^{2} + 2)$ da $(x^{2} - 3) (x^{2} + 2) (x) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) (1)$ .

$(x^{2} - 3) (x^{2} + 2) (x + 1) = 0$

$(x^{2} - 3) (x^{2} + 2) (x + 1) = 0$

$(x^{2} - 3) (x^{2} + 2) (x + 1) = 0$

Passaggio 7.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

$x^{2} + 2 = 0$

$x + 1 = 0$

Passaggio 7.3

Imposta $x^{2} - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 7.3.1

Imposta $x^{2} - 3$ uguale a $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

Passaggio 7.3.2

Risolvi $x^{2} - 3 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 7.3.2.1

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = 3$

Passaggio 7.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

Passaggio 7.3.2.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 7.3.2.3.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \sqrt{3}$

Passaggio 7.3.2.3.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \sqrt{3}$

Passaggio 7.3.2.3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Passaggio 7.4

Imposta $x^{2} + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 7.4.1

Imposta $x^{2} + 2$ uguale a $0$ .

$x^{2} + 2 = 0$

Passaggio 7.4.2

Risolvi $x^{2} + 2 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 7.4.2.1

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = - 2$

Passaggio 7.4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 2}$

Passaggio 7.4.2.3

Semplifica $\pm \sqrt{- 2}$ .

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Passaggio 7.4.2.3.1

Riscrivi $- 2$ come $- 1 (2)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

Passaggio 7.4.2.3.2

Riscrivi $\sqrt{- 1 (2)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

Passaggio 7.4.2.3.3

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \pm i \sqrt{2}$

$x = \pm i \sqrt{2}$

Passaggio 7.4.2.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 7.4.2.4.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = i \sqrt{2}$

Passaggio 7.4.2.4.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - i \sqrt{2}$

Passaggio 7.4.2.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Passaggio 7.5

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 7.5.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 7.5.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

$x = - 1$

Passaggio 7.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x^{2} - 3) (x^{2} + 2) (x + 1) = 0$ vera.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}, - 1$

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}, - 1$

Passaggio 8

Il polinomio può essere scritto come un insieme di fattori lineari.

$(x - 1) (x - \sqrt{3}) (x + \sqrt{3}) (x - i \sqrt{2}) (x + \sqrt{2} i) (x + 1)$

Passaggio 9

Queste sono le radici (zero) del polinomio $x^{6} - 2 x^{4} - 5 x^{2} + 6$ .

$x = 1, \sqrt{3}, - \sqrt{3}, i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}, - 1$

Passaggio 10

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$