Algebra Esempi

$f (x) = x^{4} - 4 x^{3} - 18 x^{2} + 108 x - 135$

Passaggio 1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 9, \pm 15, \pm 27, \pm 45, \pm 135$

$q = \pm 1$

Passaggio 2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 9, \pm 15, \pm 27, \pm 45, \pm 135$

Passaggio 3

Nel polinomio, sostituisci le possibili radici una alla volta per trovare le radici effettive. Semplifica per verificare se il valore è $0$ ; ciò significa che è una radice.

${(3)}^{4} - 4 {(3)}^{3} - 18 {(3)}^{2} + 108 (3) - 135$

Passaggio 4

Semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ , quindi $x = 3$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $4$ .

$81 - 4 {(3)}^{3} - 18 {(3)}^{2} + 108 (3) - 135$

Passaggio 4.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$81 - 4 \cdot 27 - 18 {(3)}^{2} + 108 (3) - 135$

Passaggio 4.1.3

Moltiplica $- 4$ per $27$ .

$81 - 108 - 18 {(3)}^{2} + 108 (3) - 135$

Passaggio 4.1.4

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$81 - 108 - 18 \cdot 9 + 108 (3) - 135$

Passaggio 4.1.5

Moltiplica $- 18$ per $9$ .

$81 - 108 - 162 + 108 (3) - 135$

Passaggio 4.1.6

Moltiplica $108$ per $3$ .

$81 - 108 - 162 + 324 - 135$

Passaggio 4.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

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Passaggio 4.2.1

Sottrai $108$ da $81$ .

$- 27 - 162 + 324 - 135$

Passaggio 4.2.2

Sottrai $162$ da $- 27$ .

$- 189 + 324 - 135$

Passaggio 4.2.3

Somma $- 189$ e $324$ .

$135 - 135$

Passaggio 4.2.4

Sottrai $135$ da $135$ .

$0$

Passaggio 5

Poiché $3$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 3$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può essere utilizzato per trovare le restanti radici.

$\frac{x^{4} - 4 x^{3} - 18 x^{2} + 108 x - 135}{x - 3}$

Passaggio 6

Ora, trova le radici del polinomio rimanente. L'ordine del polinomio è stato ridotto di $1$ .

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Passaggio 6.1

Inserisci i numeri che rappresentano il divisore e il dividendo in una configurazione da divisione.

$3$	$1$	$- 4$	$- 18$	$108$	$- 135$

Passaggio 6.2

Il primo numero nel dividendo $(1)$ è messo nella prima posizione dell'area risultante (al di sotto della retta orizzontale).

$3$	$1$	$- 4$	$- 18$	$108$	$- 135$

	$1$

Passaggio 6.3

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(1)$ per il divisore $(3)$ e posiziona il risultato di $(3)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 4)$ .

$3$	$1$	$- 4$	$- 18$	$108$	$- 135$
		$3$
	$1$

Passaggio 6.4

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$3$	$1$	$- 4$	$- 18$	$108$	$- 135$
		$3$
	$1$	$- 1$

Passaggio 6.5

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(- 1)$ per il divisore $(3)$ e posiziona il risultato di $(- 3)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 18)$ .

$3$	$1$	$- 4$	$- 18$	$108$	$- 135$
		$3$	$- 3$
	$1$	$- 1$

Passaggio 6.6

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$3$	$1$	$- 4$	$- 18$	$108$	$- 135$
		$3$	$- 3$
	$1$	$- 1$	$- 21$

Passaggio 6.7

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(- 21)$ per il divisore $(3)$ e posiziona il risultato di $(- 63)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(108)$ .

$3$	$1$	$- 4$	$- 18$	$108$	$- 135$
		$3$	$- 3$	$- 63$
	$1$	$- 1$	$- 21$

Passaggio 6.8

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$3$	$1$	$- 4$	$- 18$	$108$	$- 135$
		$3$	$- 3$	$- 63$
	$1$	$- 1$	$- 21$	$45$

Passaggio 6.9

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(45)$ per il divisore $(3)$ e posiziona il risultato di $(135)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 135)$ .

$3$	$1$	$- 4$	$- 18$	$108$	$- 135$
		$3$	$- 3$	$- 63$	$135$
	$1$	$- 1$	$- 21$	$45$

Passaggio 6.10

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$3$	$1$	$- 4$	$- 18$	$108$	$- 135$
		$3$	$- 3$	$- 63$	$135$
	$1$	$- 1$	$- 21$	$45$	$0$

Passaggio 6.11

Tutti i numeri eccetto l'ultimo diventano i coefficienti del polinomio quoziente. L'ultimo valore nella riga del risultato è il resto.

$1 x^{3} + - 1 x^{2} + (- 21) x + 45$

Passaggio 6.12

Semplifica il polinomio quoziente.

$x^{3} - x^{2} - 21 x + 45$

Passaggio 7

Risolvi l'equazione per trovare tutte le radici rimanenti.

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Passaggio 7.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 7.1.1

Scomponi $x^{3} - x^{2} - 21 x + 45$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 7.1.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 45, \pm 3, \pm 15, \pm 5, \pm 9$

$q = \pm 1$

Passaggio 7.1.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 45, \pm 3, \pm 15, \pm 5, \pm 9$

Passaggio 7.1.1.3

Sostituisci $3$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $3$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 7.1.1.3.1

Sostituisci $3$ nel polinomio.

$3^{3} - 3^{2} - 21 \cdot 3 + 45$

Passaggio 7.1.1.3.2

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$27 - 3^{2} - 21 \cdot 3 + 45$

Passaggio 7.1.1.3.3

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$27 - 1 \cdot 9 - 21 \cdot 3 + 45$

Passaggio 7.1.1.3.4

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$27 - 9 - 21 \cdot 3 + 45$

Passaggio 7.1.1.3.5

Sottrai $9$ da $27$ .

$18 - 21 \cdot 3 + 45$

Passaggio 7.1.1.3.6

Moltiplica $- 21$ per $3$ .

$18 - 63 + 45$

Passaggio 7.1.1.3.7

Sottrai $63$ da $18$ .

$- 45 + 45$

Passaggio 7.1.1.3.8

Somma $- 45$ e $45$ .

$0$

Passaggio 7.1.1.4

Poiché $3$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 3$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{x^{3} - x^{2} - 21 x + 45}{x - 3}$

Passaggio 7.1.1.5

Dividi $x^{3} - x^{2} - 21 x + 45$ per $x - 3$ .

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Passaggio 7.1.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$3$

$x^{3}$

$x^{2}$

$21 x$

$45$

Passaggio 7.1.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$

Passaggio 7.1.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Passaggio 7.1.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} - 3 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Passaggio 7.1.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$

Passaggio 7.1.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$21 x$

Passaggio 7.1.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $2 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$21 x$

Passaggio 7.1.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$21 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$

Passaggio 7.1.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $2 x^{2} - 6 x$

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$21 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$

Passaggio 7.1.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$21 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$15 x$

Passaggio 7.1.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$21 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$15 x$	+	$45$

Passaggio 7.1.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 15 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$15$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$21 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$15 x$	+	$45$

Passaggio 7.1.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$15$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$21 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$15 x$	+	$45$
							-	$15 x$	+	$45$

Passaggio 7.1.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 15 x + 45$

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$15$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$21 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$15 x$	+	$45$
							+	$15 x$	-	$45$

Passaggio 7.1.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$15$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$21 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$15 x$	+	$45$
							+	$15 x$	-	$45$
										$0$

Passaggio 7.1.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{2} + 2 x - 15$

Passaggio 7.1.1.6

Scrivi $x^{3} - x^{2} - 21 x + 45$ come insieme di fattori.

$(x - 3) (x^{2} + 2 x - 15) = 0$

Passaggio 7.1.2

Scomponi $x^{2} + 2 x - 15$ usando il metodo AC.

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Passaggio 7.1.2.1

Scomponi $x^{2} + 2 x - 15$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 15$ e la cui somma è $2$ .

$- 3, 5$

Passaggio 7.1.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(x - 3) ((x - 3) (x + 5)) = 0$

Passaggio 7.1.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x - 3) (x - 3) (x + 5) = 0$

Passaggio 7.1.3

Combina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.3.1

Eleva $x - 3$ alla potenza di $1$ .

$(x - 3) (x - 3) (x + 5) = 0$

Passaggio 7.1.3.2

Eleva $x - 3$ alla potenza di $1$ .

$(x - 3) (x - 3) (x + 5) = 0$

Passaggio 7.1.3.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

${(x - 3)}^{1 + 1} (x + 5) = 0$

Passaggio 7.1.3.4

Somma $1$ e $1$ .

${(x - 3)}^{2} (x + 5) = 0$

Passaggio 7.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

$x + 5 = 0$

Passaggio 7.3

Imposta ${(x - 3)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Imposta ${(x - 3)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

Passaggio 7.3.2

Risolvi ${(x - 3)}^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.1

Poni $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 7.3.2.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 7.4

Imposta $x + 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1

Imposta $x + 5$ uguale a $0$ .

$x + 5 = 0$

Passaggio 7.4.2

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 5$

Passaggio 7.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono ${(x - 3)}^{2} (x + 5) = 0$ vera.

$x = 3, - 5$

Passaggio 8

Il polinomio può essere scritto come un insieme di fattori lineari.

$(x - 3) (x + 5)$

Passaggio 9

Queste sono le radici (zero) del polinomio $x^{4} - 4 x^{3} - 18 x^{2} + 108 x - 135$ .

$x = 3, - 5$

Passaggio 10