Algebra Esempi

$f (x) = x^{4} + 12 x^{3} - 15 x^{2} - 24 x + 26$

Passaggio 1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 13, \pm 26$

$q = \pm 1$

Passaggio 2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 2, \pm 13, \pm 26$

Passaggio 3

Nel polinomio, sostituisci le possibili radici una alla volta per trovare le radici effettive. Semplifica per verificare se il valore è $0$ ; ciò significa che è una radice.

${(1)}^{4} + 12 {(1)}^{3} - 15 {(1)}^{2} - 24 \cdot 1 + 26$

Passaggio 4

Semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ , quindi $x = 1$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 + 12 {(1)}^{3} - 15 {(1)}^{2} - 24 \cdot 1 + 26$

Passaggio 4.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 + 12 \cdot 1 - 15 {(1)}^{2} - 24 \cdot 1 + 26$

Passaggio 4.1.3

Moltiplica $12$ per $1$ .

$1 + 12 - 15 {(1)}^{2} - 24 \cdot 1 + 26$

Passaggio 4.1.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 + 12 - 15 \cdot 1 - 24 \cdot 1 + 26$

Passaggio 4.1.5

Moltiplica $- 15$ per $1$ .

$1 + 12 - 15 - 24 \cdot 1 + 26$

Passaggio 4.1.6

Moltiplica $- 24$ per $1$ .

$1 + 12 - 15 - 24 + 26$

Passaggio 4.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

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Passaggio 4.2.1

Somma $1$ e $12$ .

$13 - 15 - 24 + 26$

Passaggio 4.2.2

Sottrai $15$ da $13$ .

$- 2 - 24 + 26$

Passaggio 4.2.3

Sottrai $24$ da $- 2$ .

$- 26 + 26$

Passaggio 4.2.4

Somma $- 26$ e $26$ .

$0$

Passaggio 5

Poiché $1$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può essere utilizzato per trovare le restanti radici.

$\frac{x^{4} + 12 x^{3} - 15 x^{2} - 24 x + 26}{x - 1}$

Passaggio 6

Ora, trova le radici del polinomio rimanente. L'ordine del polinomio è stato ridotto di $1$ .

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Passaggio 6.1

Inserisci i numeri che rappresentano il divisore e il dividendo in una configurazione da divisione.

$1$	$1$	$12$	$- 15$	$- 24$	$26$

Passaggio 6.2

Il primo numero nel dividendo $(1)$ è messo nella prima posizione dell'area risultante (al di sotto della retta orizzontale).

$1$	$1$	$12$	$- 15$	$- 24$	$26$

	$1$

Passaggio 6.3

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(1)$ per il divisore $(1)$ e posiziona il risultato di $(1)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(12)$ .

$1$	$1$	$12$	$- 15$	$- 24$	$26$
		$1$
	$1$

Passaggio 6.4

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$1$	$1$	$12$	$- 15$	$- 24$	$26$
		$1$
	$1$	$13$

Passaggio 6.5

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(13)$ per il divisore $(1)$ e posiziona il risultato di $(13)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 15)$ .

$1$	$1$	$12$	$- 15$	$- 24$	$26$
		$1$	$13$
	$1$	$13$

Passaggio 6.6

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$1$	$1$	$12$	$- 15$	$- 24$	$26$
		$1$	$13$
	$1$	$13$	$- 2$

Passaggio 6.7

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(- 2)$ per il divisore $(1)$ e posiziona il risultato di $(- 2)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 24)$ .

$1$	$1$	$12$	$- 15$	$- 24$	$26$
		$1$	$13$	$- 2$
	$1$	$13$	$- 2$

Passaggio 6.8

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$1$	$1$	$12$	$- 15$	$- 24$	$26$
		$1$	$13$	$- 2$
	$1$	$13$	$- 2$	$- 26$

Passaggio 6.9

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(- 26)$ per il divisore $(1)$ e posiziona il risultato di $(- 26)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(26)$ .

$1$	$1$	$12$	$- 15$	$- 24$	$26$
		$1$	$13$	$- 2$	$- 26$
	$1$	$13$	$- 2$	$- 26$

Passaggio 6.10

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$1$	$1$	$12$	$- 15$	$- 24$	$26$
		$1$	$13$	$- 2$	$- 26$
	$1$	$13$	$- 2$	$- 26$	$0$

Passaggio 6.11

Tutti i numeri eccetto l'ultimo diventano i coefficienti del polinomio quoziente. L'ultimo valore nella riga del risultato è il resto.

$1 x^{3} + 13 x^{2} + (- 2) x - 26$

Passaggio 6.12

Semplifica il polinomio quoziente.

$x^{3} + 13 x^{2} - 2 x - 26$

Passaggio 7

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 7.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(x - 1) (x^{3} + 13 x^{2}) - 2 x - 26$

Passaggio 7.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$(x - 1) + x^{2} (x + 13) - 2 (x + 13)$

$(x - 1) x^{2} (x + 13) - 2 (x + 13)$

Passaggio 8

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $x + 13$ .

$(x - 1) (x + 13) (x^{2} - 2)$

Passaggio 9

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 9.1

Raggruppa i termini.

$12 x^{3} - 24 x + x^{4} - 15 x^{2} + 26 = 0$

Passaggio 9.2

Scomponi $12 x$ da $12 x^{3} - 24 x$ .

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Passaggio 9.2.1

Scomponi $12 x$ da $12 x^{3}$ .

$12 x (x^{2}) - 24 x + x^{4} - 15 x^{2} + 26 = 0$

Passaggio 9.2.2

Scomponi $12 x$ da $- 24 x$ .

$12 x (x^{2}) + 12 x (- 2) + x^{4} - 15 x^{2} + 26 = 0$

Passaggio 9.2.3

Scomponi $12 x$ da $12 x (x^{2}) + 12 x (- 2)$ .

$12 x (x^{2} - 2) + x^{4} - 15 x^{2} + 26 = 0$

Passaggio 9.3

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$12 x (x^{2} - 2) + {(x^{2})}^{2} - 15 x^{2} + 26 = 0$

Passaggio 9.4

Sia $u = x^{2}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{2}$ con $u$ .

$12 x (x^{2} - 2) + u^{2} - 15 u + 26 = 0$

Passaggio 9.5

Scomponi $u^{2} - 15 u + 26$ usando il metodo AC.

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Passaggio 9.5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $26$ e la cui somma è $- 15$ .

$- 13, - 2$

Passaggio 9.5.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$12 x (x^{2} - 2) + (u - 13) (u - 2) = 0$

Passaggio 9.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$12 x (x^{2} - 2) + (x^{2} - 13) (x^{2} - 2) = 0$

Passaggio 9.7

Scomponi $x^{2} - 2$ da $12 x (x^{2} - 2) + (x^{2} - 13) (x^{2} - 2)$ .

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Passaggio 9.7.1

Scomponi $x^{2} - 2$ da $12 x (x^{2} - 2)$ .

$(x^{2} - 2) (12 x) + (x^{2} - 13) (x^{2} - 2) = 0$

Passaggio 9.7.2

Scomponi $x^{2} - 2$ da $(x^{2} - 13) (x^{2} - 2)$ .

$(x^{2} - 2) (12 x) + (x^{2} - 2) (x^{2} - 13) = 0$

Passaggio 9.7.3

Scomponi $x^{2} - 2$ da $(x^{2} - 2) (12 x) + (x^{2} - 2) (x^{2} - 13)$ .

$(x^{2} - 2) (12 x + x^{2} - 13) = 0$

Passaggio 9.8

Sia $u = x$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x$ con $u$ .

$(x^{2} - 2) (12 u + u^{2} - 13) = 0$

Passaggio 9.9

Scomponi $12 u + u^{2} - 13$ usando il metodo AC.

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Passaggio 9.9.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 13$ e la cui somma è $12$ .

$- 1, 13$

Passaggio 9.9.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(x^{2} - 2) ((u - 1) (u + 13)) = 0$

Passaggio 9.10

Scomponi.

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Passaggio 9.10.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x$ .

$(x^{2} - 2) ((x - 1) (x + 13)) = 0$

Passaggio 9.10.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x^{2} - 2) (x - 1) (x + 13) = 0$

Passaggio 10

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

$x + 13 = 0$

Passaggio 11

Imposta $x^{2} - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 11.1

Imposta $x^{2} - 2$ uguale a $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

Passaggio 11.2

Risolvi $x^{2} - 2 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 11.2.1

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = 2$

Passaggio 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

Passaggio 11.2.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 11.2.3.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \sqrt{2}$

Passaggio 11.2.3.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \sqrt{2}$

Passaggio 11.2.3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Passaggio 12

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 12.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 12.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 13

Imposta $x + 13$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 13.1

Imposta $x + 13$ uguale a $0$ .

$x + 13 = 0$

Passaggio 13.2

Sottrai $13$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 13$

Passaggio 14

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x^{2} - 2) (x - 1) (x + 13) = 0$ vera.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, 1, - 13$

Passaggio 15

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, 1, - 13$

Forma decimale:

$x = 1.41421356 \dots, - 1.41421356 \dots, 1, - 13$

Passaggio 16