Algebra Esempi

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & - 1 \\ 3 & 6 & 1 \\ 6 & 9 & 6 \end{array}]$

Passaggio 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Passaggio 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Passaggio 1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 6 & 1 \\ 9 & 6 \end{array} |$

Passaggio 1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 6 & 1 \\ 9 & 6 \end{array} |$

Passaggio 1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 6 & 6 \end{array} |$

Passaggio 1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 6 & 6 \end{array} |$

Passaggio 1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 6 \\ 6 & 9 \end{array} |$

Passaggio 1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 3 & 6 \\ 6 & 9 \end{array} |$

Passaggio 1.9

Add the terms together.

$1 | \begin{array}{c} 6 & 1 \\ 9 & 6 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 6 & 6 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 3 & 6 \\ 6 & 9 \end{array} |$

Passaggio 2

Calcola $| \begin{array}{c} 6 & 1 \\ 9 & 6 \end{array} |$ .

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Passaggio 2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 (6 \cdot 6 - 9 \cdot 1) - 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 6 & 6 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 3 & 6 \\ 6 & 9 \end{array} |$

Passaggio 2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Moltiplica $6$ per $6$ .

$1 (36 - 9 \cdot 1) - 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 6 & 6 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 3 & 6 \\ 6 & 9 \end{array} |$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica $- 9$ per $1$ .

$1 (36 - 9) - 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 6 & 6 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 3 & 6 \\ 6 & 9 \end{array} |$

Passaggio 2.2.2

Sottrai $9$ da $36$ .

$1 \cdot 27 - 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 6 & 6 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 3 & 6 \\ 6 & 9 \end{array} |$

Passaggio 3

Calcola $| \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 6 & 6 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot 27 - 3 (3 \cdot 6 - 6 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 3 & 6 \\ 6 & 9 \end{array} |$

Passaggio 3.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Moltiplica $3$ per $6$ .

$1 \cdot 27 - 3 (18 - 6 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 3 & 6 \\ 6 & 9 \end{array} |$

Passaggio 3.2.1.2

Moltiplica $- 6$ per $1$ .

$1 \cdot 27 - 3 (18 - 6) - 1 | \begin{array}{c} 3 & 6 \\ 6 & 9 \end{array} |$

Passaggio 3.2.2

Sottrai $6$ da $18$ .

$1 \cdot 27 - 3 \cdot 12 - 1 | \begin{array}{c} 3 & 6 \\ 6 & 9 \end{array} |$

Passaggio 4

Calcola $| \begin{array}{c} 3 & 6 \\ 6 & 9 \end{array} |$ .

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Passaggio 4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot 27 - 3 \cdot 12 - 1 (3 \cdot 9 - 6 \cdot 6)$

Passaggio 4.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Moltiplica $3$ per $9$ .

$1 \cdot 27 - 3 \cdot 12 - 1 (27 - 6 \cdot 6)$

Passaggio 4.2.1.2

Moltiplica $- 6$ per $6$ .

$1 \cdot 27 - 3 \cdot 12 - 1 (27 - 36)$

Passaggio 4.2.2

Sottrai $36$ da $27$ .

$1 \cdot 27 - 3 \cdot 12 - 1 \cdot - 9$

Passaggio 5

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Moltiplica $27$ per $1$ .

$27 - 3 \cdot 12 - 1 \cdot - 9$

Passaggio 5.1.2

Moltiplica $- 3$ per $12$ .

$27 - 36 - 1 \cdot - 9$

Passaggio 5.1.3

Moltiplica $- 1$ per $- 9$ .

$27 - 36 + 9$

Passaggio 5.2

Sottrai $36$ da $27$ .

$- 9 + 9$

Passaggio 5.3

Somma $- 9$ e $9$ .

$0$