Algebra Esempi

$(- 2, 6)$ , $(5, 1)$

Passaggio 1

Il diametro di un cerchio è un segmento di linea retta che attraversa il centro del cerchio e i cui estremi si trovano sulla circonferenza del cerchio. Gli estremi dati del diametro sono $(- 2, 6)$ e $(5, 1)$ . Il punto centrale del cerchio è il centro del diametro, che è il punto medio tra $(- 2, 6)$ e $(5, 1)$ . In questo caso, il punto medio è $(\frac{3}{2}, \frac{7}{2})$ .

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Passaggio 1.1

Utilizza la formula del punto medio per trovare il punto medio del segmento lineare.

$(\frac{x_{1} + x_{2}}{2}, \frac{y_{1} + y_{2}}{2})$

Passaggio 1.2

Sostituisci con i valori per $(x_{1}, y_{1})$ e $(x_{2}, y_{2})$ .

$(\frac{- 2 + 5}{2}, \frac{6 + 1}{2})$

Passaggio 1.3

Somma $- 2$ e $5$ .

$(\frac{3}{2}, \frac{6 + 1}{2})$

Passaggio 1.4

Somma $6$ e $1$ .

$(\frac{3}{2}, \frac{7}{2})$

Passaggio 2

Trova il raggio $r$ del cerchio. Il raggio è un qualsiasi segmento lineare dal centro del cerchio a qualsiasi punto della sua circonferenza. In questo caso, $r$ è la distanza tra $(\frac{3}{2}, \frac{7}{2})$ e $(- 2, 6)$ .

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Passaggio 2.1

Utilizza la formula della distanza per determinare la distanza tra i due punti.

$Distanza = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Passaggio 2.2

Sostituisci i valori effettivi dei punti nella formula della distanza.

$r = \sqrt{{((- 2) - \frac{3}{2})}^{2} + {(6 - \frac{7}{2})}^{2}}$

Passaggio 2.3

Semplifica.

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Passaggio 2.3.1

Per scrivere $- 2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$r = \sqrt{{(- 2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2})}^{2} + {(6 - \frac{7}{2})}^{2}}$

Passaggio 2.3.2

$- 2$ e $\frac{2}{2}$ .

$r = \sqrt{{(\frac{- 2 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2})}^{2} + {(6 - \frac{7}{2})}^{2}}$

Passaggio 2.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$r = \sqrt{{(\frac{- 2 \cdot 2 - 3}{2})}^{2} + {(6 - \frac{7}{2})}^{2}}$

Passaggio 2.3.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.3.4.1

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$r = \sqrt{{(\frac{- 4 - 3}{2})}^{2} + {(6 - \frac{7}{2})}^{2}}$

Passaggio 2.3.4.2

Sottrai $3$ da $- 4$ .

$r = \sqrt{{(\frac{- 7}{2})}^{2} + {(6 - \frac{7}{2})}^{2}}$

Passaggio 2.3.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$r = \sqrt{{(- \frac{7}{2})}^{2} + {(6 - \frac{7}{2})}^{2}}$

Passaggio 2.3.6

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

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Passaggio 2.3.6.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{7}{2}$ .

$r = \sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{7}{2})}^{2} + {(6 - \frac{7}{2})}^{2}}$

Passaggio 2.3.6.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{7}{2}$ .

$r = \sqrt{{(- 1)}^{2} (\frac{7^{2}}{2^{2}}) + {(6 - \frac{7}{2})}^{2}}$

Passaggio 2.3.7

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$r = \sqrt{1 (\frac{7^{2}}{2^{2}}) + {(6 - \frac{7}{2})}^{2}}$

Passaggio 2.3.8

Moltiplica $\frac{7^{2}}{2^{2}}$ per $1$ .

$r = \sqrt{\frac{7^{2}}{2^{2}} + {(6 - \frac{7}{2})}^{2}}$

Passaggio 2.3.9

Eleva $7$ alla potenza di $2$ .

$r = \sqrt{\frac{49}{2^{2}} + {(6 - \frac{7}{2})}^{2}}$

Passaggio 2.3.10

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$r = \sqrt{\frac{49}{4} + {(6 - \frac{7}{2})}^{2}}$

Passaggio 2.3.11

Per scrivere $6$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$r = \sqrt{\frac{49}{4} + {(6 \cdot \frac{2}{2} - \frac{7}{2})}^{2}}$

Passaggio 2.3.12

$6$ e $\frac{2}{2}$ .

$r = \sqrt{\frac{49}{4} + {(\frac{6 \cdot 2}{2} - \frac{7}{2})}^{2}}$

Passaggio 2.3.13

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$r = \sqrt{\frac{49}{4} + {(\frac{6 \cdot 2 - 7}{2})}^{2}}$

Passaggio 2.3.14

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.3.14.1

Moltiplica $6$ per $2$ .

$r = \sqrt{\frac{49}{4} + {(\frac{12 - 7}{2})}^{2}}$

Passaggio 2.3.14.2

Sottrai $7$ da $12$ .

$r = \sqrt{\frac{49}{4} + {(\frac{5}{2})}^{2}}$

Passaggio 2.3.15

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.3.15.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{5}{2}$ .

$r = \sqrt{\frac{49}{4} + \frac{5^{2}}{2^{2}}}$

Passaggio 2.3.15.2

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$r = \sqrt{\frac{49}{4} + \frac{25}{2^{2}}}$

Passaggio 2.3.15.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$r = \sqrt{\frac{49}{4} + \frac{25}{4}}$

Passaggio 2.3.15.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$r = \sqrt{\frac{49 + 25}{4}}$

Passaggio 2.3.15.5

Somma $49$ e $25$ .

$r = \sqrt{\frac{74}{4}}$

Passaggio 2.3.16

Elimina il fattore comune di $74$ e $4$ .

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Passaggio 2.3.16.1

Scomponi $2$ da $74$ .

$r = \sqrt{\frac{2 (37)}{4}}$

Passaggio 2.3.16.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 2.3.16.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$r = \sqrt{\frac{2 \cdot 37}{2 \cdot 2}}$

Passaggio 2.3.16.2.2

Elimina il fattore comune.

$r = \sqrt{\frac{2 \cdot 37}{2 \cdot 2}}$

Passaggio 2.3.16.2.3

Riscrivi l'espressione.

$r = \sqrt{\frac{37}{2}}$

Passaggio 2.3.17

Riscrivi $\sqrt{\frac{37}{2}}$ come $\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{2}}$ .

$r = \frac{\sqrt{37}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 2.3.18

Moltiplica $\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$r = \frac{\sqrt{37}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 2.3.19

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 2.3.19.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$r = \frac{\sqrt{37} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Passaggio 2.3.19.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$r = \frac{\sqrt{37} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Passaggio 2.3.19.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$r = \frac{\sqrt{37} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Passaggio 2.3.19.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$r = \frac{\sqrt{37} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Passaggio 2.3.19.5

Somma $1$ e $1$ .

$r = \frac{\sqrt{37} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Passaggio 2.3.19.6

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

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Passaggio 2.3.19.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$r = \frac{\sqrt{37} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 2.3.19.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \frac{\sqrt{37} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 2.3.19.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$r = \frac{\sqrt{37} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.3.19.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 2.3.19.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$r = \frac{\sqrt{37} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.3.19.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$r = \frac{\sqrt{37} \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 2.3.19.6.5

Calcola l'esponente.

$r = \frac{\sqrt{37} \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 2.3.20

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.3.20.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$r = \frac{\sqrt{37 \cdot 2}}{2}$

Passaggio 2.3.20.2

Moltiplica $37$ per $2$ .

$r = \frac{\sqrt{74}}{2}$

Passaggio 3

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$ è la forma di equazione di un cerchio con raggio $r$ e $(h, k)$ come punto di centro. In questo caso $r = \frac{\sqrt{74}}{2}$ e il punto di centro è $(\frac{3}{2}, \frac{7}{2})$ . L'equazione del cerchio è ${(x - (\frac{3}{2}))}^{2} + {(y - (\frac{7}{2}))}^{2} = {(\frac{\sqrt{74}}{2})}^{2}$ .

${(x - (\frac{3}{2}))}^{2} + {(y - (\frac{7}{2}))}^{2} = {(\frac{\sqrt{74}}{2})}^{2}$

Passaggio 4

L'equazione del cerchio è ${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = \frac{37}{2}$ .

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = \frac{37}{2}$

Passaggio 5