Algebra Esempi

$y = \log_{12} (\frac{1}{x})$

Passaggio 1

Scambia le variabili.

$x = \log_{12} (\frac{1}{y})$

Passaggio 2

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi l'equazione come $\log_{12} (\frac{1}{y}) = x$ .

$\log_{12} (\frac{1}{y}) = x$

Passaggio 2.2

Riscrivi $\log_{12} (\frac{1}{y}) = x$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$12^{x} = \frac{1}{y}$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{1}{y} = 12^{x}$ .

$\frac{1}{y} = 12^{x}$

Passaggio 2.3.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$y, 1$

Passaggio 2.3.2.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$y$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica per $y$ ciascun termine in $\frac{1}{y} = 12^{x}$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{1}{y} = 12^{x}$ per $y$ .

$\frac{1}{y} y = 12^{x} y$

Passaggio 2.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y} y = 12^{x} y$

Passaggio 2.3.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$1 = 12^{x} y$

Passaggio 2.3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.3.1

Riordina i fattori in $12^{x} y$ .

$1 = y \cdot 12^{x}$

Passaggio 2.3.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1

Riscrivi l'equazione come $y \cdot 12^{x} = 1$ .

$y \cdot 12^{x} = 1$

Passaggio 2.3.4.2

Dividi per $12^{x}$ ciascun termine in $y \cdot 12^{x} = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.2.1

Dividi per $12^{x}$ ciascun termine in $y \cdot 12^{x} = 1$ .

$\frac{y \cdot 12^{x}}{12^{x}} = \frac{1}{12^{x}}$

Passaggio 2.3.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $12^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y \cdot 12^{x}}{12^{x}} = \frac{1}{12^{x}}$

Passaggio 2.3.4.2.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{1}{12^{x}}$

Passaggio 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{12^{x}}$

Passaggio 4

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{1}{12^{x}}$ è l'inverso di $f (x) = \log_{12} (\frac{1}{x})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 4.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 4.2.2

Calcola $f^{- 1} (\log_{12} (\frac{1}{x}))$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\log_{12} (\frac{1}{x})) = \frac{1}{12^{\log_{12} (\frac{1}{x})}}$

Passaggio 4.2.3

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f^{- 1} (\log_{12} (\frac{1}{x})) = \frac{1}{\frac{1}{x}}$

Passaggio 4.2.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f^{- 1} (\log_{12} (\frac{1}{x})) = 1 x$

Passaggio 4.2.5

Moltiplica $x$ per $1$ .

$f^{- 1} (\log_{12} (\frac{1}{x})) = x$

Passaggio 4.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 4.3.2

Calcola $f (\frac{1}{12^{x}})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{1}{12^{x}}) = \log_{12} (\frac{1}{\frac{1}{12^{x}}})$

Passaggio 4.3.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f (\frac{1}{12^{x}}) = \log_{12} (1 \cdot 12^{x})$

Passaggio 4.3.4

Riscrivi $\log_{12} (1 \cdot 12^{x})$ come $\log_{12} (1) + \log_{12} (12^{x})$ .

$f (\frac{1}{12^{x}}) = \log_{12} (1) + \log_{12} (12^{x})$

Passaggio 4.3.5

Utilizza le regole del logaritmo per togliere $x$ dall'esponente.

$f (\frac{1}{12^{x}}) = \log_{12} (1) + x \log_{12} (12)$

Passaggio 4.3.6

Il logaritmo in base $12$ di $12$ è $1$ .

$f (\frac{1}{12^{x}}) = \log_{12} (1) + x \cdot 1$

Passaggio 4.3.7

Moltiplica $x$ per $1$ .

$f (\frac{1}{12^{x}}) = \log_{12} (1) + x$

Passaggio 4.3.8

Il logaritmo in base $12$ di $1$ è $0$ .

$f (\frac{1}{12^{x}}) = 0 + x$

Passaggio 4.3.9

Somma $0$ e $x$ .

$f (\frac{1}{12^{x}}) = x$

Passaggio 4.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{1}{12^{x}}$ è l'inverso di $f (x) = \log_{12} (\frac{1}{x})$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{12^{x}}$