Algebra Esempi

$x^{5} - 3 x^{4} - 15 x^{3} + 45 x^{2} - 16 x + 48 = 0$

Passaggio 1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Raggruppa i termini.

$x^{5} - 15 x^{3} - 16 x - 3 x^{4} + 45 x^{2} + 48 = 0$

Passaggio 1.2

Scomponi $x$ da $x^{5} - 15 x^{3} - 16 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Scomponi $x$ da $x^{5}$ .

$x \cdot x^{4} - 15 x^{3} - 16 x - 3 x^{4} + 45 x^{2} + 48 = 0$

Passaggio 1.2.2

Scomponi $x$ da $- 15 x^{3}$ .

$x \cdot x^{4} + x (- 15 x^{2}) - 16 x - 3 x^{4} + 45 x^{2} + 48 = 0$

Passaggio 1.2.3

Scomponi $x$ da $- 16 x$ .

$x \cdot x^{4} + x (- 15 x^{2}) + x \cdot - 16 - 3 x^{4} + 45 x^{2} + 48 = 0$

Passaggio 1.2.4

Scomponi $x$ da $x \cdot x^{4} + x (- 15 x^{2})$ .

$x (x^{4} - 15 x^{2}) + x \cdot - 16 - 3 x^{4} + 45 x^{2} + 48 = 0$

Passaggio 1.2.5

Scomponi $x$ da $x (x^{4} - 15 x^{2}) + x \cdot - 16$ .

$x (x^{4} - 15 x^{2} - 16) - 3 x^{4} + 45 x^{2} + 48 = 0$

Passaggio 1.3

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$x ({(x^{2})}^{2} - 15 x^{2} - 16) - 3 x^{4} + 45 x^{2} + 48 = 0$

Passaggio 1.4

Sia $u = x^{2}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{2}$ con $u$ .

$x (u^{2} - 15 u - 16) - 3 x^{4} + 45 x^{2} + 48 = 0$

Passaggio 1.5

Scomponi $u^{2} - 15 u - 16$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 16$ e la cui somma è $- 15$ .

$- 16, 1$

Passaggio 1.5.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$x ((u - 16) (u + 1)) - 3 x^{4} + 45 x^{2} + 48 = 0$

Passaggio 1.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$x ((x^{2} - 16) (x^{2} + 1)) - 3 x^{4} + 45 x^{2} + 48 = 0$

Passaggio 1.7

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$x ((x^{2} - 4^{2}) (x^{2} + 1)) - 3 x^{4} + 45 x^{2} + 48 = 0$

Passaggio 1.8

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 4$ .

$x ((x + 4) (x - 4) (x^{2} + 1)) - 3 x^{4} + 45 x^{2} + 48 = 0$

Passaggio 1.8.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 1) - 3 x^{4} + 45 x^{2} + 48 = 0$

Passaggio 1.9

Scomponi $3$ da $- 3 x^{4} + 45 x^{2} + 48$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.9.1

Scomponi $3$ da $- 3 x^{4}$ .

$x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{4}) + 45 x^{2} + 48 = 0$

Passaggio 1.9.2

Scomponi $3$ da $45 x^{2}$ .

$x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{4}) + 3 (15 x^{2}) + 48 = 0$

Passaggio 1.9.3

Scomponi $3$ da $48$ .

$x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{4}) + 3 (15 x^{2}) + 3 (16) = 0$

Passaggio 1.9.4

Scomponi $3$ da $3 (- x^{4}) + 3 (15 x^{2})$ .

$x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{4} + 15 x^{2}) + 3 (16) = 0$

Passaggio 1.9.5

Scomponi $3$ da $3 (- x^{4} + 15 x^{2}) + 3 (16)$ .

$x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{4} + 15 x^{2} + 16) = 0$

Passaggio 1.10

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 1) + 3 (- {(x^{2})}^{2} + 15 x^{2} + 16) = 0$

Passaggio 1.11

Sia $u = x^{2}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{2}$ con $u$ .

$x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 1) + 3 (- u^{2} + 15 u + 16) = 0$

Passaggio 1.12

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.12.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 1 \cdot 16 = - 16$ e la cui somma è $b = 15$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.12.1.1

Scomponi $15$ da $15 u$ .

$x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 1) + 3 (- u^{2} + 15 (u) + 16) = 0$

Passaggio 1.12.1.2

Riscrivi $15$ come $- 1$ più $16$ .

$x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 1) + 3 (- u^{2} + (- 1 + 16) u + 16) = 0$

Passaggio 1.12.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 1) + 3 (- u^{2} - 1 u + 16 u + 16) = 0$

Passaggio 1.12.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.12.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 1) + 3 ((- u^{2} - 1 u) + 16 u + 16) = 0$

Passaggio 1.12.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 1) + 3 (u (- u - 1) - 16 (- u - 1)) = 0$

Passaggio 1.12.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- u - 1$ .

$x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 1) + 3 ((- u - 1) (u - 16)) = 0$

Passaggio 1.13

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 1) + 3 ((- x^{2} - 1) (x^{2} - 16)) = 0$

Passaggio 1.14

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 1) + 3 ((- x^{2} - 1) (x^{2} - 4^{2})) = 0$

Passaggio 1.15

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.15.1

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.15.1.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 4$ .

$x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 1) + 3 ((- x^{2} - 1) ((x + 4) (x - 4))) = 0$

Passaggio 1.15.1.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 1) + 3 ((- x^{2} - 1) (x + 4) (x - 4)) = 0$

Passaggio 1.15.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{2} - 1) (x + 4) (x - 4) = 0$

Passaggio 1.16

Scomponi $(x + 4) (x - 4)$ da $x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{2} - 1) (x + 4) (x - 4)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.16.1

Scomponi $(x + 4) (x - 4)$ da $x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 1)$ .

$(x + 4) (x - 4) ((x) (x^{2} + 1)) + 3 (- x^{2} - 1) (x + 4) (x - 4) = 0$

Passaggio 1.16.2

Scomponi $(x + 4) (x - 4)$ da $3 (- x^{2} - 1) (x + 4) (x - 4)$ .

$(x + 4) (x - 4) ((x) (x^{2} + 1)) + (x + 4) (x - 4) (3 (- x^{2} - 1)) = 0$

Passaggio 1.16.3

Scomponi $(x + 4) (x - 4)$ da $(x + 4) (x - 4) ((x) (x^{2} + 1)) + (x + 4) (x - 4) (3 (- x^{2} - 1))$ .

$(x + 4) (x - 4) ((x) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{2} - 1)) = 0$

Passaggio 1.17

Applica la proprietà distributiva.

$(x + 4) (x - 4) (x \cdot x^{2} + x \cdot 1 + 3 (- x^{2} - 1)) = 0$

Passaggio 1.18

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.18.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.18.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$(x + 4) (x - 4) (x \cdot x^{2} + x \cdot 1 + 3 (- x^{2} - 1)) = 0$

Passaggio 1.18.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(x + 4) (x - 4) (x^{1 + 2} + x \cdot 1 + 3 (- x^{2} - 1)) = 0$

Passaggio 1.18.2

Somma $1$ e $2$ .

$(x + 4) (x - 4) (x^{3} + x \cdot 1 + 3 (- x^{2} - 1)) = 0$

Passaggio 1.19

Moltiplica $x$ per $1$ .

$(x + 4) (x - 4) (x^{3} + x + 3 (- x^{2} - 1)) = 0$

Passaggio 1.20

Applica la proprietà distributiva.

$(x + 4) (x - 4) (x^{3} + x + 3 (- x^{2}) + 3 \cdot - 1) = 0$

Passaggio 1.21

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$(x + 4) (x - 4) (x^{3} + x - 3 x^{2} + 3 \cdot - 1) = 0$

Passaggio 1.22

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$(x + 4) (x - 4) (x^{3} + x - 3 x^{2} - 3) = 0$

Passaggio 1.23

Riordina i termini.

$(x + 4) (x - 4) (x^{3} - 3 x^{2} + x - 3) = 0$

Passaggio 1.24

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.24.1

Riscrivi $x^{3} - 3 x^{2} + x - 3$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.24.1.1

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.24.1.1.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(x + 4) (x - 4) ((x^{3} - 3 x^{2}) + x - 3) = 0$

Passaggio 1.24.1.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$(x + 4) (x - 4) (x^{2} (x - 3) + 1 (x - 3)) = 0$

Passaggio 1.24.1.2

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $x - 3$ .

$(x + 4) (x - 4) ((x - 3) (x^{2} + 1)) = 0$

Passaggio 1.24.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x + 4) (x - 4) (x - 3) (x^{2} + 1) = 0$

Passaggio 2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

$x - 3 = 0$

$x^{2} + 1 = 0$

Passaggio 3

Imposta $x + 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta $x + 4$ uguale a $0$ .

$x + 4 = 0$

Passaggio 3.2

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 4$

Passaggio 4

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

Passaggio 4.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 5

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 5.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 6

Imposta $x^{2} + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta $x^{2} + 1$ uguale a $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Passaggio 6.2

Risolvi $x^{2} + 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = - 1$

Passaggio 6.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Passaggio 6.2.3

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \pm i$

Passaggio 6.2.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = i$

Passaggio 6.2.4.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - i$

Passaggio 6.2.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = i, - i$

Passaggio 7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x + 4) (x - 4) (x - 3) (x^{2} + 1) = 0$ vera.

$x = - 4, 4, 3, i, - i$

Passaggio 8