Algebra Esempi

$f (x) = - 3 x^{4} + 5 x^{3} - x^{2} + 8 x + 4$

Passaggio 1

Per trovare il possibile numero di radici positive, guarda i segni dei coefficienti e conta il numero di volte in cui i coefficienti cambiano da positivo a negativo o viceversa.

$f (x) = - 3 x^{4} + 5 x^{3} - x^{2} + 8 x + 4$

Passaggio 2

Poiché ci sono $3$ cambiamenti di segno dal termine di ordine più alto a quello di ordine più basso, ci sono al massimo $3$ radici positive (Regola di Cartesio). È possibile trovare gli altri numeri possibili di radici positive sottraendo le coppie di radici (ad es. $(3 - 2)$ ).

Radici positive: $3$ o $1$

Passaggio 3

Per trovare il possibile numero di radici negative, sostituisci $x$ con $- x$ e ripeti il confronto dei segni.

$f (- x) = - 3 {(- x)}^{4} + 5 {(- x)}^{3} - {(- x)}^{2} + 8 (- x) + 4$

Passaggio 4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Applica la regola del prodotto a $- x$ .

$f (- x) = - 3 ({(- 1)}^{4} x^{4}) + 5 {(- x)}^{3} - {(- x)}^{2} + 8 (- x) + 4$

Passaggio 4.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$f (- x) = - 3 (1 x^{4}) + 5 {(- x)}^{3} - {(- x)}^{2} + 8 (- x) + 4$

Passaggio 4.3

Moltiplica $x^{4}$ per $1$ .

$f (- x) = - 3 x^{4} + 5 {(- x)}^{3} - {(- x)}^{2} + 8 (- x) + 4$

Passaggio 4.4

Applica la regola del prodotto a $- x$ .

$f (- x) = - 3 x^{4} + 5 ({(- 1)}^{3} x^{3}) - {(- x)}^{2} + 8 (- x) + 4$

Passaggio 4.5

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f (- x) = - 3 x^{4} + 5 (- x^{3}) - {(- x)}^{2} + 8 (- x) + 4$

Passaggio 4.6

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$f (- x) = - 3 x^{4} - 5 x^{3} - {(- x)}^{2} + 8 (- x) + 4$

Passaggio 4.7

Applica la regola del prodotto a $- x$ .

$f (- x) = - 3 x^{4} - 5 x^{3} - ({(- 1)}^{2} x^{2}) + 8 (- x) + 4$

Passaggio 4.8

Moltiplica $- 1$ per ${(- 1)}^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.1

Sposta ${(- 1)}^{2}$ .

$f (- x) = - 3 x^{4} - 5 x^{3} + {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 x^{2}) + 8 (- x) + 4$

Passaggio 4.8.2

Moltiplica ${(- 1)}^{2}$ per $- 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.2.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $1$ .

$f (- x) = - 3 x^{4} - 5 x^{3} + {(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) x^{2}) + 8 (- x) + 4$

Passaggio 4.8.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (- x) = - 3 x^{4} - 5 x^{3} + {(- 1)}^{2 + 1} x^{2} + 8 (- x) + 4$

Passaggio 4.8.3

Somma $2$ e $1$ .

$f (- x) = - 3 x^{4} - 5 x^{3} + {(- 1)}^{3} x^{2} + 8 (- x) + 4$

Passaggio 4.9

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f (- x) = - 3 x^{4} - 5 x^{3} - x^{2} + 8 (- x) + 4$

Passaggio 4.10

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$f (- x) = - 3 x^{4} - 5 x^{3} - x^{2} - 8 x + 4$

Passaggio 5

Poiché c'è $1$ cambiamento di segno dal termine di ordine più alto a quello di ordine più basso, c'è al massimo $1$ radice negativa (regola di Cartesio).

Radici negative: $1$

Passaggio 6

Il numero di radici positive possibili è $3$ o $1$ e il numero di radici negative possibili è $1$ .

Radici positive: $3$ o $1$

Radici negative: $1$