Algebra Esempi

$y = \log_{4} (x) + 1$

Passaggio 1

Scambia le variabili.

$x = \log_{4} (y) + 1$

Passaggio 2

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi l'equazione come $\log_{4} (y) + 1 = x$ .

$\log_{4} (y) + 1 = x$

Passaggio 2.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\log_{4} (y) = x - 1$

Passaggio 2.3

Riscrivi $\log_{4} (y) = x - 1$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$4^{x - 1} = y$

Passaggio 2.4

Riscrivi l'equazione come $y = 4^{x - 1}$ .

$y = 4^{x - 1}$

Passaggio 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 4^{x - 1}$

Passaggio 4

Verifica se $f^{- 1} (x) = 4^{x - 1}$ è l'inverso di $f (x) = \log_{4} (x) + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 4.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 4.2.2

Calcola $f^{- 1} (\log_{4} (x) + 1)$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\log_{4} (x) + 1) = 4^{(\log_{4} (x) + 1) - 1}$

Passaggio 4.2.3

Combina i termini opposti in $(\log_{4} (x) + 1) - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$f^{- 1} (\log_{4} (x) + 1) = 4^{\log_{4} (x) + 0}$

Passaggio 4.2.3.2

Somma $\log_{4} (x)$ e $0$ .

$f^{- 1} (\log_{4} (x) + 1) = 4^{\log_{4} (x)}$

Passaggio 4.2.4

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f^{- 1} (\log_{4} (x) + 1) = x$

Passaggio 4.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 4.3.2

Calcola $f (4^{x - 1})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (4^{x - 1}) = \log_{4} (4^{x - 1}) + 1$

Passaggio 4.3.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Utilizza le regole del logaritmo per togliere $x - 1$ dall'esponente.

$f (4^{x - 1}) = (x - 1) \log_{4} (4) + 1$

Passaggio 4.3.3.2

Il logaritmo in base $4$ di $4$ è $1$ .

$f (4^{x - 1}) = (x - 1) \cdot 1 + 1$

Passaggio 4.3.3.3

Moltiplica $x - 1$ per $1$ .

$f (4^{x - 1}) = x - 1 + 1$

Passaggio 4.3.4

Combina i termini opposti in $x - 1 + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1

Somma $- 1$ e $1$ .

$f (4^{x - 1}) = x + 0$

Passaggio 4.3.4.2

Somma $x$ e $0$ .

$f (4^{x - 1}) = x$

Passaggio 4.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = 4^{x - 1}$ è l'inverso di $f (x) = \log_{4} (x) + 1$ .

$f^{- 1} (x) = 4^{x - 1}$