Algebra Esempi

$x^{5} - 3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} = 0$

Passaggio 1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 1.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{5} - 3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2}$ .

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Passaggio 1.1.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{5}$ .

$x^{2} x^{3} - 3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} = 0$

Passaggio 1.1.2

Scomponi $x^{2}$ da $- 3 x^{4}$ .

$x^{2} x^{3} + x^{2} (- 3 x^{2}) + 3 x^{3} - x^{2} = 0$

Passaggio 1.1.3

Scomponi $x^{2}$ da $3 x^{3}$ .

$x^{2} x^{3} + x^{2} (- 3 x^{2}) + x^{2} (3 x) - x^{2} = 0$

Passaggio 1.1.4

Scomponi $x^{2}$ da $- x^{2}$ .

$x^{2} x^{3} + x^{2} (- 3 x^{2}) + x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot - 1 = 0$

Passaggio 1.1.5

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} x^{3} + x^{2} (- 3 x^{2})$ .

$x^{2} (x^{3} - 3 x^{2}) + x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot - 1 = 0$

Passaggio 1.1.6

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} (x^{3} - 3 x^{2}) + x^{2} (3 x)$ .

$x^{2} (x^{3} - 3 x^{2} + 3 x) + x^{2} \cdot - 1 = 0$

Passaggio 1.1.7

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} (x^{3} - 3 x^{2} + 3 x) + x^{2} \cdot - 1$ .

$x^{2} (x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1) = 0$

Passaggio 1.2

Scomponi $x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 1.2.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1$

Passaggio 1.2.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1$

Passaggio 1.2.3

Sostituisci $1$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $1$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 1.2.3.1

Sostituisci $1$ nel polinomio.

$1^{3} - 3 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 - 1$

Passaggio 1.2.3.2

Eleva $1$ alla potenza di $3$ .

$1 - 3 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 - 1$

Passaggio 1.2.3.3

Eleva $1$ alla potenza di $2$ .

$1 - 3 \cdot 1 + 3 \cdot 1 - 1$

Passaggio 1.2.3.4

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$1 - 3 + 3 \cdot 1 - 1$

Passaggio 1.2.3.5

Sottrai $3$ da $1$ .

$- 2 + 3 \cdot 1 - 1$

Passaggio 1.2.3.6

Moltiplica $3$ per $1$ .

$- 2 + 3 - 1$

Passaggio 1.2.3.7

Somma $- 2$ e $3$ .

$1 - 1$

Passaggio 1.2.3.8

Sottrai $1$ da $1$ .

$0$

Passaggio 1.2.4

Poiché $1$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1}{x - 1}$

Passaggio 1.2.5

Dividi $x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$ per $x - 1$ .

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Passaggio 1.2.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

Passaggio 1.2.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$

Passaggio 1.2.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Passaggio 1.2.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Passaggio 1.2.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Passaggio 1.2.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$

Passaggio 1.2.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 2 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$

Passaggio 1.2.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$

Passaggio 1.2.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 2 x^{2} + 2 x$

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$

Passaggio 1.2.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$

Passaggio 1.2.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$	-	$1$

Passaggio 1.2.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$	-	$1$

Passaggio 1.2.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$	-	$1$
							+	$x$	-	$1$

Passaggio 1.2.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x - 1$

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$	-	$1$
							-	$x$	+	$1$

Passaggio 1.2.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$	-	$1$
							-	$x$	+	$1$
										$0$

Passaggio 1.2.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{2} - 2 x + 1$

Passaggio 1.2.6

Scrivi $x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$ come insieme di fattori.

$x^{2} ((x - 1) (x^{2} - 2 x + 1)) = 0$

Passaggio 1.3

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 1.3.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$x^{2} ((x - 1) (x^{2} - 2 x + 1^{2})) = 0$

Passaggio 1.3.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Passaggio 1.3.3

Riscrivi il polinomio.

$x^{2} ((x - 1) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})) = 0$

Passaggio 1.3.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 1$ .

$x^{2} ((x - 1) {(x - 1)}^{2}) = 0$

Passaggio 1.4

Combina i fattori comuni.

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Passaggio 1.4.1

Eleva $x - 1$ alla potenza di $1$ .

$x^{2} ((x - 1) {(x - 1)}^{2}) = 0$

Passaggio 1.4.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{2} {(x - 1)}^{1 + 2} = 0$

Passaggio 1.4.3

Somma $1$ e $2$ .

$x^{2} {(x - 1)}^{3} = 0$

Passaggio 2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

${(x - 1)}^{3} = 0$

Passaggio 3

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.1

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

Passaggio 3.2

Risolvi $x^{2} = 0$ per $x$ .

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Passaggio 3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 3.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Passaggio 3.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 3.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 3.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 4

Imposta ${(x - 1)}^{3}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.1

Imposta ${(x - 1)}^{3}$ uguale a $0$ .

${(x - 1)}^{3} = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi ${(x - 1)}^{3} = 0$ per $x$ .

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Passaggio 4.2.1

Poni $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 4.2.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x^{2} {(x - 1)}^{3} = 0$ vera.

$x = 0, 1$

Passaggio 6