Algebra Esempi

$y = 3 {(x + \frac{1}{3})}^{2} + \frac{2}{3}$

Passaggio 1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1

Riscrivi ${(x + \frac{1}{3})}^{2}$ come $(x + \frac{1}{3}) (x + \frac{1}{3})$ .

$f (x) = 3 ((x + \frac{1}{3}) (x + \frac{1}{3})) + \frac{2}{3}$

Passaggio 1.2

Espandi $(x + \frac{1}{3}) (x + \frac{1}{3})$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (x) = 3 (x (x + \frac{1}{3}) + \frac{1}{3} \cdot (x + \frac{1}{3})) + \frac{2}{3}$

Passaggio 1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (x) = 3 (x \cdot x + x (\frac{1}{3}) + \frac{1}{3} \cdot (x + \frac{1}{3})) + \frac{2}{3}$

Passaggio 1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$f (x) = 3 (x \cdot x + x (\frac{1}{3}) + \frac{1}{3} x + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}) + \frac{2}{3}$

Passaggio 1.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 1.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f (x) = 3 (x^{2} + x (\frac{1}{3}) + \frac{1}{3} x + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}) + \frac{2}{3}$

Passaggio 1.3.1.2

$x$ e $\frac{1}{3}$ .

$f (x) = 3 (x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{1}{3} x + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}) + \frac{2}{3}$

Passaggio 1.3.1.3

$\frac{1}{3}$ e $x$ .

$f (x) = 3 (x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{x}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}) + \frac{2}{3}$

Passaggio 1.3.1.4

Moltiplica $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Passaggio 1.3.1.4.1

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{1}{3}$ .

$f (x) = 3 (x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{x}{3} + \frac{1}{3 \cdot 3}) + \frac{2}{3}$

Passaggio 1.3.1.4.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$f (x) = 3 (x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{x}{3} + \frac{1}{9}) + \frac{2}{3}$

Passaggio 1.3.2

Somma $\frac{x}{3}$ e $\frac{x}{3}$ .

$f (x) = 3 (x^{2} + 2 (\frac{x}{3}) + \frac{1}{9}) + \frac{2}{3}$

Passaggio 1.4

$2$ e $\frac{x}{3}$ .

$f (x) = 3 (x^{2} + \frac{2 x}{3} + \frac{1}{9}) + \frac{2}{3}$

Passaggio 1.5

Applica la proprietà distributiva.

$f (x) = 3 x^{2} + 3 (\frac{2 x}{3}) + 3 (\frac{1}{9}) + \frac{2}{3}$

Passaggio 1.6

Semplifica.

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Passaggio 1.6.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 1.6.1.1

Elimina il fattore comune.

$f (x) = 3 x^{2} + 3 (\frac{2 x}{3}) + 3 (\frac{1}{9}) + \frac{2}{3}$

Passaggio 1.6.1.2

Riscrivi l'espressione.

$f (x) = 3 x^{2} + 2 x + 3 (\frac{1}{9}) + \frac{2}{3}$

Passaggio 1.6.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 1.6.2.1

Scomponi $3$ da $9$ .

$f (x) = 3 x^{2} + 2 x + 3 (\frac{1}{3 (3)}) + \frac{2}{3}$

Passaggio 1.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (x) = 3 x^{2} + 2 x + 3 (\frac{1}{3 \cdot 3}) + \frac{2}{3}$

Passaggio 1.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (x) = 3 x^{2} + 2 x + \frac{1}{3} + \frac{2}{3}$

Passaggio 2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (x) = 3 x^{2} + 2 x + \frac{1 + 2}{3}$

Passaggio 2.2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.2.1

Somma $1$ e $2$ .

$f (x) = 3 x^{2} + 2 x + \frac{3}{3}$

Passaggio 2.2.2

Dividi $3$ per $3$ .

$f (x) = 3 x^{2} + 2 x + 1$

Passaggio 3

Il minimo di una funzione quadratica si verifica in prossimità di $x = - \frac{b}{2 a}$ . Se $a$ è positivo, il valore minimo della funzione è $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{min}$ $x = a x^{2} + b x + c$ compare in corrispondenza di $x = - \frac{b}{2 a}$

Passaggio 4

Trova il valore di $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Passaggio 4.1

Sostituisci con i valori di $a$ e $b$ .

$x = - \frac{2}{2 (3)}$

Passaggio 4.2

Rimuovi le parentesi.

$x = - \frac{2}{2 (3)}$

Passaggio 4.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.3.1

Elimina il fattore comune.

$x = - \frac{2}{2 \cdot 3}$

Passaggio 4.3.2

Riscrivi l'espressione.

$x = - \frac{1}{3}$

Passaggio 5

Calcola $f (- \frac{1}{3})$ .

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Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{1}{3}$ nell'espressione.

$f (- \frac{1}{3}) = 3 {(- \frac{1}{3})}^{2} + 2 (- \frac{1}{3}) + 1$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.2.1.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

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Passaggio 5.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{1}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = 3 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{3})}^{2}) + 2 (- \frac{1}{3}) + 1$

Passaggio 5.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = 3 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{3^{2}})) + 2 (- \frac{1}{3}) + 1$

Passaggio 5.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{1}{3}) = 3 (1 (\frac{1^{2}}{3^{2}})) + 2 (- \frac{1}{3}) + 1$

Passaggio 5.2.1.3

Moltiplica $\frac{1^{2}}{3^{2}}$ per $1$ .

$f (- \frac{1}{3}) = 3 (\frac{1^{2}}{3^{2}}) + 2 (- \frac{1}{3}) + 1$

Passaggio 5.2.1.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (- \frac{1}{3}) = 3 (\frac{1}{3^{2}}) + 2 (- \frac{1}{3}) + 1$

Passaggio 5.2.1.5

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{1}{3}) = 3 (\frac{1}{9}) + 2 (- \frac{1}{3}) + 1$

Passaggio 5.2.1.6

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 5.2.1.6.1

Scomponi $3$ da $9$ .

$f (- \frac{1}{3}) = 3 (\frac{1}{3 (3)}) + 2 (- \frac{1}{3}) + 1$

Passaggio 5.2.1.6.2

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{1}{3}) = 3 (\frac{1}{3 \cdot 3}) + 2 (- \frac{1}{3}) + 1$

Passaggio 5.2.1.6.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{3} + 2 (- \frac{1}{3}) + 1$

Passaggio 5.2.1.7

Moltiplica $2 (- \frac{1}{3})$ .

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Passaggio 5.2.1.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{3} - 2 (\frac{1}{3}) + 1$

Passaggio 5.2.1.7.2

$- 2$ e $\frac{1}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{3} + \frac{- 2}{3} + 1$

Passaggio 5.2.1.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{3} - \frac{2}{3} + 1$

Passaggio 5.2.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{1}{3}) = 1 + \frac{1 - 2}{3}$

Passaggio 5.2.2.2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.2.2.2.1

Sottrai $2$ da $1$ .

$f (- \frac{1}{3}) = 1 + \frac{- 1}{3}$

Passaggio 5.2.2.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \frac{1}{3}) = 1 - \frac{1}{3}$

Passaggio 5.2.2.2.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{3}{3} - \frac{1}{3}$

Passaggio 5.2.2.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{3 - 1}{3}$

Passaggio 5.2.2.2.5

Sottrai $1$ da $3$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{2}{3}$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3}$

Passaggio 6

Usa i valori $x$ e $y$ per individuare dove si ha il valore minimo.

$(- \frac{1}{3}, \frac{2}{3})$

Passaggio 7