Algebra Esempi

$x^{3} - 8 x^{2} - x + 8 \geq 0$

Passaggio 1

Converti la diseguaglianza in un'equazione.

$x^{3} - 8 x^{2} - x + 8 = 0$

Passaggio 2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 2.1.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(x^{3} - 8 x^{2}) - x + 8 = 0$

Passaggio 2.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$x^{2} (x - 8) - (x - 8) = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $x - 8$ .

$(x - 8) (x^{2} - 1) = 0$

Passaggio 2.3

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$(x - 8) (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Passaggio 2.4

Scomponi.

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Passaggio 2.4.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$(x - 8) ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Passaggio 2.4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x - 8) (x + 1) (x - 1) = 0$

Passaggio 3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 8 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Passaggio 4

Imposta $x - 8$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.1

Imposta $x - 8$ uguale a $0$ .

$x - 8 = 0$

Passaggio 4.2

Somma $8$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 8$

Passaggio 5

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 5.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 5.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 6

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 6.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 6.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 8) (x + 1) (x - 1) = 0$ vera.

$x = 8, - 1, 1$

Passaggio 8

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$1 < x < 8$

$x > 8$

Passaggio 9

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 9.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 9.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 4$

Passaggio 9.1.2

Sostituisci $x$ con $- 4$ nella diseguaglianza originale.

${(- 4)}^{3} - 8 {(- 4)}^{2} - (- 4) + 8 \geq 0$

Passaggio 9.1.3

Il lato sinistro di $- 180$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 9.2

Testa un valore sull'intervallo $- 1 < x < 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 9.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 1 < x < 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 9.2.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

${(0)}^{3} - 8 {(0)}^{2} - (0) + 8 \geq 0$

Passaggio 9.2.3

Il lato sinistro di $8$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 9.3

Testa un valore sull'intervallo $1 < x < 8$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 9.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $1 < x < 8$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 4$

Passaggio 9.3.2

Sostituisci $x$ con $4$ nella diseguaglianza originale.

${(4)}^{3} - 8 {(4)}^{2} - (4) + 8 \geq 0$

Passaggio 9.3.3

Il lato sinistro di $- 60$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 9.4

Testa un valore sull'intervallo $x > 8$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 9.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 8$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 10$

Passaggio 9.4.2

Sostituisci $x$ con $10$ nella diseguaglianza originale.

${(10)}^{3} - 8 {(10)}^{2} - (10) + 8 \geq 0$

Passaggio 9.4.3

Il lato sinistro di $198$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 9.5

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 1$ Falso

$- 1 < x < 1$ Vero

$1 < x < 8$ Falso

$x > 8$ Vero

$x < - 1$ Falso

$- 1 < x < 1$ Vero

$1 < x < 8$ Falso

$x > 8$ Vero

Passaggio 10

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$- 1 \leq x \leq 1$ o $x \geq 8$

Passaggio 11

Converti la diseguaglianza in notazione a intervalli.

$[- 1, 1] \cup [8, \infty)$

Passaggio 12