Algebra Esempi

$\frac{1}{- x} \leq \frac{5}{7 - x}$

Passaggio 1

Sottrai $\frac{5}{7 - x}$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$\frac{1}{- x} - \frac{5}{7 - x} \leq 0$

Passaggio 2

Semplifica $\frac{1}{- x} - \frac{5}{7 - x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Elimina il fattore comune di $1$ e $- 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{- x} - \frac{5}{7 - x} \leq 0$

Passaggio 2.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{x} - \frac{5}{7 - x} \leq 0$

Passaggio 2.2

Per scrivere $- \frac{1}{x}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{7 - x}{7 - x}$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{7 - x}{7 - x} - \frac{5}{7 - x} \leq 0$

Passaggio 2.3

Per scrivere $- \frac{5}{7 - x}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{7 - x}{7 - x} - \frac{5}{7 - x} \cdot \frac{x}{x} \leq 0$

Passaggio 2.4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $x (7 - x)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $\frac{7 - x}{7 - x}$ .

$- \frac{7 - x}{x (7 - x)} - \frac{5}{7 - x} \cdot \frac{x}{x} \leq 0$

Passaggio 2.4.2

Moltiplica $\frac{5}{7 - x}$ per $\frac{x}{x}$ .

$- \frac{7 - x}{x (7 - x)} - \frac{5 x}{(7 - x) x} \leq 0$

Passaggio 2.4.3

Riordina i fattori di $(7 - x) x$ .

$- \frac{7 - x}{x (7 - x)} - \frac{5 x}{x (7 - x)} \leq 0$

Passaggio 2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- (7 - x) - 5 x}{x (7 - x)} \leq 0$

Passaggio 2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 1 \cdot 7 - - x - 5 x}{x (7 - x)} \leq 0$

Passaggio 2.6.2

Moltiplica $- 1$ per $7$ .

$\frac{- 7 - - x - 5 x}{x (7 - x)} \leq 0$

Passaggio 2.6.3

Moltiplica $- - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{- 7 + 1 x - 5 x}{x (7 - x)} \leq 0$

Passaggio 2.6.3.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{- 7 + x - 5 x}{x (7 - x)} \leq 0$

Passaggio 2.6.4

Sottrai $5 x$ da $x$ .

$\frac{- 7 - 4 x}{x (7 - x)} \leq 0$

Passaggio 2.7

Riscrivi $- 7$ come $- 1 (7)$ .

$\frac{- 1 (7) - 4 x}{x (7 - x)} \leq 0$

Passaggio 2.8

Scomponi $- 1$ da $- 4 x$ .

$\frac{- 1 (7) - (4 x)}{x (7 - x)} \leq 0$

Passaggio 2.9

Scomponi $- 1$ da $- 1 (7) - (4 x)$ .

$\frac{- 1 (7 + 4 x)}{x (7 - x)} \leq 0$

Passaggio 2.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{7 + 4 x}{x (7 - x)} \leq 0$

Passaggio 3

Trova tutti i valori in cui l'espressione passa da negativa a positiva ponendo ciascun fattore uguale a $0$ e risolvendo.

$x = 0$

$7 + 4 x = 0$

$7 - x = 0$

Passaggio 4

Sottrai $7$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 x = - 7$

Passaggio 5

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = - 7$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = - 7$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 7}{4}$

Passaggio 5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 7}{4}$

Passaggio 5.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 7}{4}$

Passaggio 5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{7}{4}$

Passaggio 6

Sottrai $7$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x = - 7$

Passaggio 7

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 7$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 7$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 7}{- 1}$

Passaggio 7.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 7}{- 1}$

Passaggio 7.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 7}{- 1}$

Passaggio 7.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Dividi $- 7$ per $- 1$ .

$x = 7$

Passaggio 8

Risolvi per ogni fattore per trovare i valori in cui l'espressione con valore assoluto passa da negativa a positiva.

$x = 0$

$x = - \frac{7}{4}$

$x = 7$

Passaggio 9

Consolida le soluzioni.

$x = 0, - \frac{7}{4}, 7$

Passaggio 10

Trova il dominio di $- \frac{7 + 4 x}{x (7 - x)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Imposta il denominatore in $\frac{7 + 4 x}{x (7 - x)}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x (7 - x) = 0$

Passaggio 10.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$7 - x = 0$

Passaggio 10.2.2

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 10.2.3

Imposta $7 - x$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.3.1

Imposta $7 - x$ uguale a $0$ .

$7 - x = 0$

Passaggio 10.2.3.2

Risolvi $7 - x = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.3.2.1

Sottrai $7$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x = - 7$

Passaggio 10.2.3.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 7$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.3.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 7$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 7}{- 1}$

Passaggio 10.2.3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.3.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 7}{- 1}$

Passaggio 10.2.3.2.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 7}{- 1}$

Passaggio 10.2.3.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.3.2.2.3.1

Dividi $- 7$ per $- 1$ .

$x = 7$

Passaggio 10.2.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x (7 - x) = 0$ vera.

$x = 0, 7$

Passaggio 10.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, 0) \cup (0, 7) \cup (7, \infty)$

Passaggio 11

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - \frac{7}{4}$

$- \frac{7}{4} < x < 0$

$0 < x < 7$

$x > 7$

Passaggio 12

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - \frac{7}{4}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - \frac{7}{4}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 4$

Passaggio 12.1.2

Sostituisci $x$ con $- 4$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{1}{- (- 4)} \leq \frac{5}{7 - (- 4)}$

Passaggio 12.1.3

Il lato sinistro di $0.25$ è minore del lato destro di $0.\overline{45}$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 12.2

Testa un valore sull'intervallo $- \frac{7}{4} < x < 0$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- \frac{7}{4} < x < 0$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 1$

Passaggio 12.2.2

Sostituisci $x$ con $- 1$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{1}{- (- 1)} \leq \frac{5}{7 - (- 1)}$

Passaggio 12.2.3

Il lato sinistro di $1$ è maggiore del lato destro di $0.625$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 12.3

Testa un valore sull'intervallo $0 < x < 7$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $0 < x < 7$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 4$

Passaggio 12.3.2

Sostituisci $x$ con $4$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{1}{- (4)} \leq \frac{5}{7 - (4)}$

Passaggio 12.3.3

Il lato sinistro di $- 0.25$ è minore del lato destro di $1.\overline{6}$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 12.4

Testa un valore sull'intervallo $x > 7$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 7$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 10$

Passaggio 12.4.2

Sostituisci $x$ con $10$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{1}{- (10)} \leq \frac{5}{7 - (10)}$

Passaggio 12.4.3

Il lato sinistro di $- 0.1$ è maggiore del lato destro di $- 1.\overline{6}$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 12.5

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - \frac{7}{4}$ Vero

$- \frac{7}{4} < x < 0$ Falso

$0 < x < 7$ Vero

$x > 7$ Falso

$x < - \frac{7}{4}$ Vero

$- \frac{7}{4} < x < 0$ Falso

$0 < x < 7$ Vero

$x > 7$ Falso

Passaggio 13

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x \leq - \frac{7}{4}$ o $0 < x < 7$

Passaggio 14

Converti la diseguaglianza in notazione a intervalli.

$(- \infty, - \frac{7}{4}] \cup (0, 7)$

Passaggio 15