Algebra Esempi

$f (x) = 2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 12$

Passaggio 1

Imposta $2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 12$ uguale a $0$ .

$2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 12 = 0$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Scomponi $2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 12$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 2.1.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 2$

Passaggio 2.1.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 12, \pm 6, \pm 2, \pm 3, \pm 1.5, \pm 4$

Passaggio 2.1.1.3

Sostituisci $2$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $2$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 2.1.1.3.1

Sostituisci $2$ nel polinomio.

$2 \cdot 2^{3} - 5 \cdot 2^{2} - 4 \cdot 2 + 12$

Passaggio 2.1.1.3.2

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$2 \cdot 8 - 5 \cdot 2^{2} - 4 \cdot 2 + 12$

Passaggio 2.1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $8$ .

$16 - 5 \cdot 2^{2} - 4 \cdot 2 + 12$

Passaggio 2.1.1.3.4

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$16 - 5 \cdot 4 - 4 \cdot 2 + 12$

Passaggio 2.1.1.3.5

Moltiplica $- 5$ per $4$ .

$16 - 20 - 4 \cdot 2 + 12$

Passaggio 2.1.1.3.6

Sottrai $20$ da $16$ .

$- 4 - 4 \cdot 2 + 12$

Passaggio 2.1.1.3.7

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$- 4 - 8 + 12$

Passaggio 2.1.1.3.8

Sottrai $8$ da $- 4$ .

$- 12 + 12$

Passaggio 2.1.1.3.9

Somma $- 12$ e $12$ .

$0$

Passaggio 2.1.1.4

Poiché $2$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 2$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 12}{x - 2}$

Passaggio 2.1.1.5

Dividi $2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 12$ per $x - 2$ .

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Passaggio 2.1.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$2$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$4 x$

$12$

Passaggio 2.1.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $2 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$2 x^{2}$
	$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$4 x$	+	$12$

Passaggio 2.1.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$4 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Passaggio 2.1.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $2 x^{3} - 4 x^{2}$

				$2 x^{2}$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$4 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Passaggio 2.1.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$4 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$x^{2}$

Passaggio 2.1.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$4 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$4 x$

Passaggio 2.1.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$4 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$4 x$

Passaggio 2.1.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$2 x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$4 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$4 x$
					-	$x^{2}$	+	$2 x$

Passaggio 2.1.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- x^{2} + 2 x$

				$2 x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$4 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$4 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$

Passaggio 2.1.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$2 x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$4 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$4 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							-	$6 x$

Passaggio 2.1.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$2 x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$4 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$4 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							-	$6 x$	+	$12$

Passaggio 2.1.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 6 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$4 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$4 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							-	$6 x$	+	$12$

Passaggio 2.1.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$2 x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$4 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$4 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							-	$6 x$	+	$12$
							-	$6 x$	+	$12$

Passaggio 2.1.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 6 x + 12$

				$2 x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$4 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$4 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							-	$6 x$	+	$12$
							+	$6 x$	-	$12$

Passaggio 2.1.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$2 x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$4 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$4 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							-	$6 x$	+	$12$
							+	$6 x$	-	$12$
										$0$

Passaggio 2.1.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$2 x^{2} - x - 6$

Passaggio 2.1.1.6

Scrivi $2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 12$ come insieme di fattori.

$(x - 2) (2 x^{2} - x - 6) = 0$

Passaggio 2.1.2

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 2.1.2.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot - 6 = - 12$ e la cui somma è $b = - 1$ .

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Passaggio 2.1.2.1.1.1

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$(x - 2) (2 x^{2} - (x) - 6) = 0$

Passaggio 2.1.2.1.1.2

Riscrivi $- 1$ come $3$ più $- 4$ .

$(x - 2) (2 x^{2} + (3 - 4) x - 6) = 0$

Passaggio 2.1.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$(x - 2) (2 x^{2} + 3 x - 4 x - 6) = 0$

Passaggio 2.1.2.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 2.1.2.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(x - 2) ((2 x^{2} + 3 x) - 4 x - 6) = 0$

Passaggio 2.1.2.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$(x - 2) (x (2 x + 3) - 2 (2 x + 3)) = 0$

Passaggio 2.1.2.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 x + 3$ .

$(x - 2) ((2 x + 3) (x - 2)) = 0$

Passaggio 2.1.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x - 2) (2 x + 3) (x - 2) = 0$

Passaggio 2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

$2 x + 3 = 0$

$x - 2 = 0$

Passaggio 2.3

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 2.3.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 2.4

Imposta $2 x + 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.4.1

Imposta $2 x + 3$ uguale a $0$ .

$2 x + 3 = 0$

Passaggio 2.4.2

Risolvi $2 x + 3 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = - 3$

Passaggio 2.4.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - 3$ e semplifica.

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Passaggio 2.4.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - 3$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Passaggio 2.4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Passaggio 2.4.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Passaggio 2.4.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{3}{2}$

Passaggio 2.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 2) (2 x + 3) (x - 2) = 0$ vera.

$x = 2, - \frac{3}{2}$

Passaggio 3