Algebra Esempi

$2 x^{5} - 2 x^{4} - 6 x^{3} + 6 x^{2} - 8 x + 8 = 0$

Passaggio 1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 1.1

Scomponi $2$ da $2 x^{5} - 2 x^{4} - 6 x^{3} + 6 x^{2} - 8 x + 8$ .

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Passaggio 1.1.1

Scomponi $2$ da $2 x^{5}$ .

$2 (x^{5}) - 2 x^{4} - 6 x^{3} + 6 x^{2} - 8 x + 8 = 0$

Passaggio 1.1.2

Scomponi $2$ da $- 2 x^{4}$ .

$2 (x^{5}) + 2 (- x^{4}) - 6 x^{3} + 6 x^{2} - 8 x + 8 = 0$

Passaggio 1.1.3

Scomponi $2$ da $- 6 x^{3}$ .

$2 (x^{5}) + 2 (- x^{4}) + 2 (- 3 x^{3}) + 6 x^{2} - 8 x + 8 = 0$

Passaggio 1.1.4

Scomponi $2$ da $6 x^{2}$ .

$2 (x^{5}) + 2 (- x^{4}) + 2 (- 3 x^{3}) + 2 (3 x^{2}) - 8 x + 8 = 0$

Passaggio 1.1.5

Scomponi $2$ da $- 8 x$ .

$2 (x^{5}) + 2 (- x^{4}) + 2 (- 3 x^{3}) + 2 (3 x^{2}) + 2 (- 4 x) + 8 = 0$

Passaggio 1.1.6

Scomponi $2$ da $8$ .

$2 (x^{5}) + 2 (- x^{4}) + 2 (- 3 x^{3}) + 2 (3 x^{2}) + 2 (- 4 x) + 2 (4) = 0$

Passaggio 1.1.7

Scomponi $2$ da $2 (x^{5}) + 2 (- x^{4})$ .

$2 (x^{5} - x^{4}) + 2 (- 3 x^{3}) + 2 (3 x^{2}) + 2 (- 4 x) + 2 (4) = 0$

Passaggio 1.1.8

Scomponi $2$ da $2 (x^{5} - x^{4}) + 2 (- 3 x^{3})$ .

$2 (x^{5} - x^{4} - 3 x^{3}) + 2 (3 x^{2}) + 2 (- 4 x) + 2 (4) = 0$

Passaggio 1.1.9

Scomponi $2$ da $2 (x^{5} - x^{4} - 3 x^{3}) + 2 (3 x^{2})$ .

$2 (x^{5} - x^{4} - 3 x^{3} + 3 x^{2}) + 2 (- 4 x) + 2 (4) = 0$

Passaggio 1.1.10

Scomponi $2$ da $2 (x^{5} - x^{4} - 3 x^{3} + 3 x^{2}) + 2 (- 4 x)$ .

$2 (x^{5} - x^{4} - 3 x^{3} + 3 x^{2} - 4 x) + 2 (4) = 0$

Passaggio 1.1.11

Scomponi $2$ da $2 (x^{5} - x^{4} - 3 x^{3} + 3 x^{2} - 4 x) + 2 (4)$ .

$2 (x^{5} - x^{4} - 3 x^{3} + 3 x^{2} - 4 x + 4) = 0$

Passaggio 1.2

Raggruppa i termini.

$2 (x^{5} - 3 x^{3} - 4 x - x^{4} + 3 x^{2} + 4) = 0$

Passaggio 1.3

Scomponi $x$ da $x^{5} - 3 x^{3} - 4 x$ .

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Passaggio 1.3.1

Scomponi $x$ da $x^{5}$ .

$2 (x \cdot x^{4} - 3 x^{3} - 4 x - x^{4} + 3 x^{2} + 4) = 0$

Passaggio 1.3.2

Scomponi $x$ da $- 3 x^{3}$ .

$2 (x \cdot x^{4} + x (- 3 x^{2}) - 4 x - x^{4} + 3 x^{2} + 4) = 0$

Passaggio 1.3.3

Scomponi $x$ da $- 4 x$ .

$2 (x \cdot x^{4} + x (- 3 x^{2}) + x \cdot - 4 - x^{4} + 3 x^{2} + 4) = 0$

Passaggio 1.3.4

Scomponi $x$ da $x \cdot x^{4} + x (- 3 x^{2})$ .

$2 (x (x^{4} - 3 x^{2}) + x \cdot - 4 - x^{4} + 3 x^{2} + 4) = 0$

Passaggio 1.3.5

Scomponi $x$ da $x (x^{4} - 3 x^{2}) + x \cdot - 4$ .

$2 (x (x^{4} - 3 x^{2} - 4) - x^{4} + 3 x^{2} + 4) = 0$

Passaggio 1.4

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$2 (x ({(x^{2})}^{2} - 3 x^{2} - 4) - x^{4} + 3 x^{2} + 4) = 0$

Passaggio 1.5

Sia $u = x^{2}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{2}$ con $u$ .

$2 (x (u^{2} - 3 u - 4) - x^{4} + 3 x^{2} + 4) = 0$

Passaggio 1.6

Scomponi $u^{2} - 3 u - 4$ usando il metodo AC.

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Passaggio 1.6.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 4$ e la cui somma è $- 3$ .

$- 4, 1$

Passaggio 1.6.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$2 (x ((u - 4) (u + 1)) - x^{4} + 3 x^{2} + 4) = 0$

Passaggio 1.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$2 (x ((x^{2} - 4) (x^{2} + 1)) - x^{4} + 3 x^{2} + 4) = 0$

Passaggio 1.8

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$2 (x ((x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 1)) - x^{4} + 3 x^{2} + 4) = 0$

Passaggio 1.9

Scomponi.

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Passaggio 1.9.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 2$ .

$2 (x ((x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1)) - x^{4} + 3 x^{2} + 4) = 0$

Passaggio 1.9.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$2 (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) - x^{4} + 3 x^{2} + 4) = 0$

Passaggio 1.10

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$2 (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) - {(x^{2})}^{2} + 3 x^{2} + 4) = 0$

Passaggio 1.11

Sia $u = x^{2}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{2}$ con $u$ .

$2 (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) - u^{2} + 3 u + 4) = 0$

Passaggio 1.12

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 1.12.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 1 \cdot 4 = - 4$ e la cui somma è $b = 3$ .

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Passaggio 1.12.1.1

Scomponi $3$ da $3 u$ .

$2 (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) - u^{2} + 3 (u) + 4) = 0$

Passaggio 1.12.1.2

Riscrivi $3$ come $- 1$ più $4$ .

$2 (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) - u^{2} + (- 1 + 4) u + 4) = 0$

Passaggio 1.12.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) - u^{2} - 1 u + 4 u + 4) = 0$

Passaggio 1.12.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 1.12.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$2 (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) - u^{2} - 1 u + 4 u + 4) = 0$

Passaggio 1.12.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$2 (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + u (- u - 1) - 4 (- u - 1)) = 0$

Passaggio 1.12.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- u - 1$ .

$2 (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + (- u - 1) (u - 4)) = 0$

Passaggio 1.13

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$2 (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + (- x^{2} - 1) (x^{2} - 4)) = 0$

Passaggio 1.14

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$2 (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + (- x^{2} - 1) (x^{2} - 2^{2})) = 0$

Passaggio 1.15

Scomponi.

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Passaggio 1.15.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 2$ .

$2 (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + (- x^{2} - 1) ((x + 2) (x - 2))) = 0$

Passaggio 1.15.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$2 (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + (- x^{2} - 1) (x + 2) (x - 2)) = 0$

Passaggio 1.16

Scomponi $(x + 2) (x - 2)$ da $x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + (- x^{2} - 1) (x + 2) (x - 2)$ .

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Passaggio 1.16.1

Scomponi $(x + 2) (x - 2)$ da $x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1)$ .

$2 ((x + 2) (x - 2) ((x) (x^{2} + 1)) + (- x^{2} - 1) (x + 2) (x - 2)) = 0$

Passaggio 1.16.2

Scomponi $(x + 2) (x - 2)$ da $(- x^{2} - 1) (x + 2) (x - 2)$ .

$2 ((x + 2) (x - 2) ((x) (x^{2} + 1)) + (x + 2) (x - 2) (- x^{2} - 1)) = 0$

Passaggio 1.16.3

Scomponi $(x + 2) (x - 2)$ da $(x + 2) (x - 2) ((x) (x^{2} + 1)) + (x + 2) (x - 2) (- x^{2} - 1)$ .

$2 ((x + 2) (x - 2) ((x) (x^{2} + 1) - x^{2} - 1)) = 0$

Passaggio 1.17

Applica la proprietà distributiva.

$2 ((x + 2) (x - 2) (x \cdot x^{2} + x \cdot 1 - x^{2} - 1)) = 0$

Passaggio 1.18

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.18.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

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Passaggio 1.18.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$2 ((x + 2) (x - 2) (x \cdot x^{2} + x \cdot 1 - x^{2} - 1)) = 0$

Passaggio 1.18.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 ((x + 2) (x - 2) (x^{1 + 2} + x \cdot 1 - x^{2} - 1)) = 0$

Passaggio 1.18.2

Somma $1$ e $2$ .

$2 ((x + 2) (x - 2) (x^{3} + x \cdot 1 - x^{2} - 1)) = 0$

Passaggio 1.19

Moltiplica $x$ per $1$ .

$2 ((x + 2) (x - 2) (x^{3} + x - x^{2} - 1)) = 0$

Passaggio 1.20

Riordina i termini.

$2 ((x + 2) (x - 2) (x^{3} - x^{2} + x - 1)) = 0$

Passaggio 1.21

Scomponi.

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Passaggio 1.21.1

Scomponi.

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Passaggio 1.21.1.1

Riscrivi $x^{3} - x^{2} + x - 1$ in una forma fattorizzata.

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Passaggio 1.21.1.1.1

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 1.21.1.1.1.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$2 ((x + 2) (x - 2) ((x^{3} - x^{2}) + x - 1)) = 0$

Passaggio 1.21.1.1.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$2 ((x + 2) (x - 2) (x^{2} (x - 1) + 1 (x - 1))) = 0$

Passaggio 1.21.1.1.2

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $x - 1$ .

$2 ((x + 2) (x - 2) ((x - 1) (x^{2} + 1))) = 0$

Passaggio 1.21.1.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$2 ((x + 2) (x - 2) (x - 1) (x^{2} + 1)) = 0$

Passaggio 1.21.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$2 (x + 2) (x - 2) (x - 1) (x^{2} + 1) = 0$

Passaggio 2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

$x^{2} + 1 = 0$

Passaggio 3

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.1

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 3.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 4

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 4.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 5

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 5.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 5.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 6

Imposta $x^{2} + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 6.1

Imposta $x^{2} + 1$ uguale a $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Passaggio 6.2

Risolvi $x^{2} + 1 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 6.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = - 1$

Passaggio 6.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Passaggio 6.2.3

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \pm i$

Passaggio 6.2.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 6.2.4.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = i$

Passaggio 6.2.4.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - i$

Passaggio 6.2.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = i, - i$

Passaggio 7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $2 (x + 2) (x - 2) (x - 1) (x^{2} + 1) = 0$ vera.

$x = - 2, 2, 1, i, - i$

Passaggio 8