Algebra Esempi

$\frac{x - 1}{x + 2} > \frac{x - 5}{x - 3}$

Passaggio 1

Sottrai $\frac{x - 5}{x - 3}$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$\frac{x - 1}{x + 2} - \frac{x - 5}{x - 3} > 0$

Passaggio 2

Semplifica $\frac{x - 1}{x + 2} - \frac{x - 5}{x - 3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Per scrivere $\frac{x - 1}{x + 2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{x - 1}{x + 2} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{x - 5}{x - 3} > 0$

Passaggio 2.2

Per scrivere $- \frac{x - 5}{x - 3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{x - 1}{x + 2} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{x - 5}{x - 3} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} > 0$

Passaggio 2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(x + 2) (x - 3)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Moltiplica $\frac{x - 1}{x + 2}$ per $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{(x - 1) (x - 3)}{(x + 2) (x - 3)} - \frac{x - 5}{x - 3} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} > 0$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica $\frac{x - 5}{x - 3}$ per $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{(x - 1) (x - 3)}{(x + 2) (x - 3)} - \frac{(x - 5) (x + 2)}{(x - 3) (x + 2)} > 0$

Passaggio 2.3.3

Riordina i fattori di $(x - 3) (x + 2)$ .

$\frac{(x - 1) (x - 3)}{(x + 2) (x - 3)} - \frac{(x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Passaggio 2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{(x - 1) (x - 3) - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Passaggio 2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Espandi $(x - 1) (x - 3)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.5.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (x - 3) - 1 (x - 3) - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Passaggio 2.5.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 3 - 1 (x - 3) - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Passaggio 2.5.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 3 - 1 x - 1 \cdot - 3 - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Passaggio 2.5.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 3 - 1 x - 1 \cdot - 3 - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Passaggio 2.5.2.1.2

Sposta $- 3$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{x^{2} - 3 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 3 - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Passaggio 2.5.2.1.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - x - 1 \cdot - 3 - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Passaggio 2.5.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - x + 3 - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Passaggio 2.5.2.2

Sottrai $x$ da $- 3 x$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Passaggio 2.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 + (- x - - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Passaggio 2.5.4

Moltiplica $- 1$ per $- 5$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 + (- x + 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Passaggio 2.5.5

Espandi $(- x + 5) (x + 2)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 - x (x + 2) + 5 (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Passaggio 2.5.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 - x \cdot x - x \cdot 2 + 5 (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Passaggio 2.5.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 - x \cdot x - x \cdot 2 + 5 x + 5 \cdot 2}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Passaggio 2.5.6

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.6.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.6.1.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 - (x \cdot x) - x \cdot 2 + 5 x + 5 \cdot 2}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Passaggio 2.5.6.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 - x^{2} - x \cdot 2 + 5 x + 5 \cdot 2}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Passaggio 2.5.6.1.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 - x^{2} - 2 x + 5 x + 5 \cdot 2}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Passaggio 2.5.6.1.3

Moltiplica $5$ per $2$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 - x^{2} - 2 x + 5 x + 10}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Passaggio 2.5.6.2

Somma $- 2 x$ e $5 x$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 - x^{2} + 3 x + 10}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Passaggio 2.5.7

Sottrai $x^{2}$ da $x^{2}$ .

$\frac{- 4 x + 3 + 0 + 3 x + 10}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Passaggio 2.5.8

Somma $- 4 x$ e $0$ .

$\frac{- 4 x + 3 + 3 x + 10}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Passaggio 2.5.9

Somma $- 4 x$ e $3 x$ .

$\frac{- x + 3 + 10}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Passaggio 2.5.10

Somma $3$ e $10$ .

$\frac{- x + 13}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Passaggio 2.6

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$\frac{- (x) + 13}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Passaggio 2.7

Riscrivi $13$ come $- 1 (- 13)$ .

$\frac{- (x) - 1 (- 13)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Passaggio 2.8

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (- 13)$ .

$\frac{- (x - 13)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Passaggio 2.9

Riscrivi $- (x - 13)$ come $- 1 (x - 13)$ .

$\frac{- 1 (x - 13)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Passaggio 2.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{x - 13}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Passaggio 3

Trova tutti i valori in cui l'espressione passa da negativa a positiva ponendo ciascun fattore uguale a $0$ e risolvendo.

$x - 13 = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 3 = 0$

Passaggio 4

Somma $13$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 13$

Passaggio 5

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 6

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 7

Risolvi per ogni fattore per trovare i valori in cui l'espressione con valore assoluto passa da negativa a positiva.

$x = 13$

$x = - 2$

$x = 3$

Passaggio 8

Consolida le soluzioni.

$x = 13, - 2, 3$

Passaggio 9

Trova il dominio di $- \frac{x - 13}{(x + 2) (x - 3)}$ .

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Passaggio 9.1

Imposta il denominatore in $\frac{x - 13}{(x + 2) (x - 3)}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$(x + 2) (x - 3) = 0$

Passaggio 9.2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 9.2.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 3 = 0$

Passaggio 9.2.2

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 9.2.2.1

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 9.2.2.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 9.2.3

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 9.2.3.1

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 9.2.3.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 9.2.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x + 2) (x - 3) = 0$ vera.

$x = - 2, 3$

Passaggio 9.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 3) \cup (3, \infty)$

Passaggio 10

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 2$

$- 2 < x < 3$

$3 < x < 13$

$x > 13$

Passaggio 11

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 11.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 2$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 11.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 2$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 4$

Passaggio 11.1.2

Sostituisci $x$ con $- 4$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{(- 4) - 1}{(- 4) + 2} > \frac{(- 4) - 5}{(- 4) - 3}$

Passaggio 11.1.3

Il lato sinistro di $2.5$ è maggiore del lato destro di $1.\overline{285714}$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 11.2

Testa un valore sull'intervallo $- 2 < x < 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 11.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 2 < x < 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 11.2.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{(0) - 1}{(0) + 2} > \frac{(0) - 5}{(0) - 3}$

Passaggio 11.2.3

Il lato sinistro di $- 0.5$ non è maggiore del lato destro di $1.\overline{6}$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 11.3

Testa un valore sull'intervallo $3 < x < 13$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $3 < x < 13$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 8$

Passaggio 11.3.2

Sostituisci $x$ con $8$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{(8) - 1}{(8) + 2} > \frac{(8) - 5}{(8) - 3}$

Passaggio 11.3.3

Il lato sinistro di $0.7$ è maggiore del lato destro di $0.6$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 11.4

Testa un valore sull'intervallo $x > 13$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 13$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 16$

Passaggio 11.4.2

Sostituisci $x$ con $16$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{(16) - 1}{(16) + 2} > \frac{(16) - 5}{(16) - 3}$

Passaggio 11.4.3

Il lato sinistro di $0.8\overline{3}$ non è maggiore del lato destro di $0.\overline{846153}$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 11.5

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 2$ Vero

$- 2 < x < 3$ Falso

$3 < x < 13$ Vero

$x > 13$ Falso

$x < - 2$ Vero

$- 2 < x < 3$ Falso

$3 < x < 13$ Vero

$x > 13$ Falso

Passaggio 12

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x < - 2$ o $3 < x < 13$

Passaggio 13

Converti la diseguaglianza in notazione a intervalli.

$(- \infty, - 2) \cup (3, 13)$

Passaggio 14