Algebra Esempi

$\frac{7 x + 10}{x - 2} \leq x - 5$

Passaggio 1

Sposta tutte le espressioni sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sottrai $x$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$\frac{7 x + 10}{x - 2} - x \leq - 5$

Passaggio 1.2

Aggiungi $5$ a entrambi i lati della diseguaglianza.

$\frac{7 x + 10}{x - 2} - x + 5 \leq 0$

Passaggio 2

Semplifica $\frac{7 x + 10}{x - 2} - x + 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Per scrivere $- x$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{7 x + 10}{x - 2} - x \cdot \frac{x - 2}{x - 2} + 5 \leq 0$

Passaggio 2.2

$- x$ e $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{7 x + 10}{x - 2} + \frac{- x (x - 2)}{x - 2} + 5 \leq 0$

Passaggio 2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{7 x + 10 - x (x - 2)}{x - 2} + 5 \leq 0$

Passaggio 2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{7 x + 10 - x \cdot x - x \cdot - 2}{x - 2} + 5 \leq 0$

Passaggio 2.4.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{7 x + 10 - (x \cdot x) - x \cdot - 2}{x - 2} + 5 \leq 0$

Passaggio 2.4.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{7 x + 10 - x^{2} - x \cdot - 2}{x - 2} + 5 \leq 0$

Passaggio 2.4.3

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$\frac{7 x + 10 - x^{2} + 2 x}{x - 2} + 5 \leq 0$

Passaggio 2.4.4

Somma $7 x$ e $2 x$ .

$\frac{9 x + 10 - x^{2}}{x - 2} + 5 \leq 0$

Passaggio 2.4.5

Riordina i termini.

$\frac{- x^{2} + 9 x + 10}{x - 2} + 5 \leq 0$

Passaggio 2.4.6

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 2.4.6.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 1 \cdot 10 = - 10$ e la cui somma è $b = 9$ .

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Passaggio 2.4.6.1.1

Scomponi $9$ da $9 x$ .

$\frac{- x^{2} + 9 (x) + 10}{x - 2} + 5 \leq 0$

Passaggio 2.4.6.1.2

Riscrivi $9$ come $- 1$ più $10$ .

$\frac{- x^{2} + (- 1 + 10) x + 10}{x - 2} + 5 \leq 0$

Passaggio 2.4.6.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- x^{2} - 1 x + 10 x + 10}{x - 2} + 5 \leq 0$

Passaggio 2.4.6.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 2.4.6.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{(- x^{2} - 1 x) + 10 x + 10}{x - 2} + 5 \leq 0$

Passaggio 2.4.6.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{x (- x - 1) - 10 (- x - 1)}{x - 2} + 5 \leq 0$

Passaggio 2.4.6.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- x - 1$ .

$\frac{(- x - 1) (x - 10)}{x - 2} + 5 \leq 0$

Passaggio 2.5

Per scrivere $5$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{(- x - 1) (x - 10)}{x - 2} + \frac{5 (x - 2)}{x - 2} \leq 0$

Passaggio 2.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{(- x - 1) (x - 10) + 5 (x - 2)}{x - 2} \leq 0$

Passaggio 2.7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.7.1

Espandi $(- x - 1) (x - 10)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.7.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- x (x - 10) - 1 (x - 10) + 5 (x - 2)}{x - 2} \leq 0$

Passaggio 2.7.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- x \cdot x - x \cdot - 10 - 1 (x - 10) + 5 (x - 2)}{x - 2} \leq 0$

Passaggio 2.7.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- x \cdot x - x \cdot - 10 - 1 x - 1 \cdot - 10 + 5 (x - 2)}{x - 2} \leq 0$

Passaggio 2.7.2

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 2.7.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.7.2.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.1.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{- (x \cdot x) - x \cdot - 10 - 1 x - 1 \cdot - 10 + 5 (x - 2)}{x - 2} \leq 0$

Passaggio 2.7.2.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{- x^{2} - x \cdot - 10 - 1 x - 1 \cdot - 10 + 5 (x - 2)}{x - 2} \leq 0$

Passaggio 2.7.2.1.2

Moltiplica $- 10$ per $- 1$ .

$\frac{- x^{2} + 10 x - 1 x - 1 \cdot - 10 + 5 (x - 2)}{x - 2} \leq 0$

Passaggio 2.7.2.1.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$\frac{- x^{2} + 10 x - x - 1 \cdot - 10 + 5 (x - 2)}{x - 2} \leq 0$

Passaggio 2.7.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $- 10$ .

$\frac{- x^{2} + 10 x - x + 10 + 5 (x - 2)}{x - 2} \leq 0$

Passaggio 2.7.2.2

Sottrai $x$ da $10 x$ .

$\frac{- x^{2} + 9 x + 10 + 5 (x - 2)}{x - 2} \leq 0$

Passaggio 2.7.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- x^{2} + 9 x + 10 + 5 x + 5 \cdot - 2}{x - 2} \leq 0$

Passaggio 2.7.4

Moltiplica $5$ per $- 2$ .

$\frac{- x^{2} + 9 x + 10 + 5 x - 10}{x - 2} \leq 0$

Passaggio 2.7.5

Somma $9 x$ e $5 x$ .

$\frac{- x^{2} + 14 x + 10 - 10}{x - 2} \leq 0$

Passaggio 2.7.6

Sottrai $10$ da $10$ .

$\frac{- x^{2} + 14 x + 0}{x - 2} \leq 0$

Passaggio 2.7.7

Somma $- x^{2} + 14 x$ e $0$ .

$\frac{- x^{2} + 14 x}{x - 2} \leq 0$

Passaggio 2.7.8

Scomponi $x$ da $- x^{2} + 14 x$ .

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Passaggio 2.7.8.1

Scomponi $x$ da $- x^{2}$ .

$\frac{x (- x) + 14 x}{x - 2} \leq 0$

Passaggio 2.7.8.2

Scomponi $x$ da $14 x$ .

$\frac{x (- x) + x \cdot 14}{x - 2} \leq 0$

Passaggio 2.7.8.3

Scomponi $x$ da $x (- x) + x \cdot 14$ .

$\frac{x (- x + 14)}{x - 2} \leq 0$

Passaggio 2.8

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$\frac{x (- (x) + 14)}{x - 2} \leq 0$

Passaggio 2.9

Riscrivi $14$ come $- 1 (- 14)$ .

$\frac{x (- (x) - 1 (- 14))}{x - 2} \leq 0$

Passaggio 2.10

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (- 14)$ .

$\frac{x (- (x - 14))}{x - 2} \leq 0$

Passaggio 2.11

Riscrivi $- (x - 14)$ come $- 1 (x - 14)$ .

$\frac{x (- 1 (x - 14))}{x - 2} \leq 0$

Passaggio 2.12

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{x (x - 14)}{x - 2} \leq 0$

Passaggio 3

Trova tutti i valori in cui l'espressione passa da negativa a positiva ponendo ciascun fattore uguale a $0$ e risolvendo.

$- x = 0$

$x - 14 = 0$

$x - 2 = 0$

Passaggio 4

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = 0$ e semplifica.

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Passaggio 4.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = 0$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Passaggio 4.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 4.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{0}{- 1}$

Passaggio 4.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{0}{- 1}$

Passaggio 4.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 4.3.1

Dividi $0$ per $- 1$ .

$x = 0$

Passaggio 5

Somma $14$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 14$

Passaggio 6

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 7

Risolvi per ogni fattore per trovare i valori in cui l'espressione con valore assoluto passa da negativa a positiva.

$x = 0$

$x = 14$

$x = 2$

Passaggio 8

Consolida le soluzioni.

$x = 0, 14, 2$

Passaggio 9

Trova il dominio di $- \frac{x (x - 14)}{x - 2}$ .

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Passaggio 9.1

Imposta il denominatore in $\frac{x (x - 14)}{x - 2}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x - 2 = 0$

Passaggio 9.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 9.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Passaggio 10

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < 0$

$0 < x < 2$

$2 < x < 14$

$x > 14$

Passaggio 11

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 11.1

Testa un valore sull'intervallo $x < 0$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 11.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < 0$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 2$

Passaggio 11.1.2

Sostituisci $x$ con $- 2$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{7 (- 2) + 10}{(- 2) - 2} \leq (- 2) - 5$

Passaggio 11.1.3

Il lato sinistro di $1$ è maggiore del lato destro di $- 7$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 11.2

Testa un valore sull'intervallo $0 < x < 2$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 11.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $0 < x < 2$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 1$

Passaggio 11.2.2

Sostituisci $x$ con $1$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{7 (1) + 10}{(1) - 2} \leq (1) - 5$

Passaggio 11.2.3

Il lato sinistro di $- 17$ è minore del lato destro di $- 4$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 11.3

Testa un valore sull'intervallo $2 < x < 14$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $2 < x < 14$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 4$

Passaggio 11.3.2

Sostituisci $x$ con $4$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{7 (4) + 10}{(4) - 2} \leq (4) - 5$

Passaggio 11.3.3

Il lato sinistro di $19$ è maggiore del lato destro di $- 1$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 11.4

Testa un valore sull'intervallo $x > 14$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 11.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 14$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 16$

Passaggio 11.4.2

Sostituisci $x$ con $16$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{7 (16) + 10}{(16) - 2} \leq (16) - 5$

Passaggio 11.4.3

Il lato sinistro di $8.\overline{714285}$ è minore del lato destro di $11$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 11.5

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < 0$ Falso

$0 < x < 2$ Vero

$2 < x < 14$ Falso

$x > 14$ Vero

$x < 0$ Falso

$0 < x < 2$ Vero

$2 < x < 14$ Falso

$x > 14$ Vero

Passaggio 12

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$0 \leq x < 2$ o $x \geq 14$

Passaggio 13

Converti la diseguaglianza in notazione a intervalli.

$[0, 2) \cup [14, \infty)$

Passaggio 14