Algebra Esempi

$y = \frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}$

Passaggio 1

Scambia le variabili.

$x = \frac{1}{3} \cdot 7^{y - 1}$

Passaggio 2

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{1}{3} \cdot 7^{y - 1} = x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 7^{y - 1} = x$

Passaggio 2.2

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $3$ .

$3 (\frac{1}{3} \cdot 7^{y - 1}) = 3 x$

Passaggio 2.3

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica $3 (\frac{1}{3} \cdot 7^{y - 1})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

$\frac{1}{3}$ e $7^{y - 1}$ .

$3 \frac{7^{y - 1}}{3} = 3 x$

Passaggio 2.3.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$3 \frac{7^{y - 1}}{3} = 3 x$

Passaggio 2.3.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$7^{y - 1} = 3 x$

Passaggio 2.4

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (7^{y - 1}) = \ln (3 x)$

Passaggio 2.5

Espandi $\ln (7^{y - 1})$ spostando $y - 1$ fuori dal logaritmo.

$(y - 1) \ln (7) = \ln (3 x)$

Passaggio 2.6

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Semplifica $(y - 1) \ln (7)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y \ln (7) - 1 \ln (7) = \ln (3 x)$

Passaggio 2.6.1.2

Riscrivi $- 1 \ln (7)$ come $- \ln (7)$ .

$y \ln (7) - \ln (7) = \ln (3 x)$

Passaggio 2.7

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$y \ln (7) - \ln (7) - \ln (3 x) = 0$

Passaggio 2.8

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Somma $\ln (7)$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y \ln (7) - \ln (3 x) = \ln (7)$

Passaggio 2.8.2

Somma $\ln (3 x)$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y \ln (7) = \ln (7) + \ln (3 x)$

Passaggio 2.9

Dividi per $\ln (7)$ ciascun termine in $y \ln (7) = \ln (7) + \ln (3 x)$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.1

Dividi per $\ln (7)$ ciascun termine in $y \ln (7) = \ln (7) + \ln (3 x)$ .

$\frac{y \ln (7)}{\ln (7)} = \frac{\ln (7)}{\ln (7)} + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}$

Passaggio 2.9.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.2.1

Elimina il fattore comune di $\ln (7)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y \ln (7)}{\ln (7)} = \frac{\ln (7)}{\ln (7)} + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}$

Passaggio 2.9.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\ln (7)}{\ln (7)} + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}$

Passaggio 2.9.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.3.1

Elimina il fattore comune di $\ln (7)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{\ln (7)}{\ln (7)} + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}$

Passaggio 2.9.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y = 1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}$

Passaggio 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}$

Passaggio 4

Verifica se $f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}$ è l'inverso di $f (x) = \frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 4.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 4.2.2

Calcola $f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}) = 1 + \frac{\ln (3 (\frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}))}{\ln (7)}$

Passaggio 4.2.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}) = 1 + \frac{\ln (3 (\frac{1}{3}) \cdot 7^{x - 1})}{\ln (7)}$

Passaggio 4.2.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}) = 1 + \frac{\ln (1 \cdot 7^{x - 1})}{\ln (7)}$

Passaggio 4.2.3.1.2

Moltiplica $7^{x - 1}$ per $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}) = 1 + \frac{\ln (7^{x - 1})}{\ln (7)}$

Passaggio 4.2.3.2

Espandi $\ln (7^{x - 1})$ spostando $x - 1$ fuori dal logaritmo.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}) = 1 + \frac{(x - 1) \ln (7)}{\ln (7)}$

Passaggio 4.2.3.3

Elimina il fattore comune di $\ln (7)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}) = 1 + \frac{(x - 1) \ln (7)}{\ln (7)}$

Passaggio 4.2.3.3.2

Dividi $x - 1$ per $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}) = 1 + x - 1$

Passaggio 4.2.4

Combina i termini opposti in $1 + x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}) = x + 0$

Passaggio 4.2.4.2

Somma $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}) = x$

Passaggio 4.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 4.3.2

Calcola $f (1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}) = \frac{1}{3} \cdot 7^{(1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}) - 1}$

Passaggio 4.3.3

Combina i termini opposti in $(1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}) - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$f (1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}) = \frac{1}{3} \cdot 7^{0 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}}$

Passaggio 4.3.3.2

Somma $0$ e $\frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}$ .

$f (1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}) = \frac{1}{3} \cdot 7^{\frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}}$

Passaggio 4.3.4

Usa la variazione della regola base $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}) = \frac{1}{3} \cdot 7^{\log_{7} (3 x)}$

Passaggio 4.3.5

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f (1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}) = \frac{1}{3} \cdot (3 x)$

Passaggio 4.3.6

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 4.3.6.1

Scomponi $3$ da $3 x$ .

$f (1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}) = \frac{1}{3} \cdot (3 (x))$

Passaggio 4.3.6.2

Elimina il fattore comune.

$f (1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}) = \frac{1}{3} \cdot (3 x)$

Passaggio 4.3.6.3

Riscrivi l'espressione.

$f (1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}) = x$

Passaggio 4.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}$ è l'inverso di $f (x) = \frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}$