Algebra Esempi

$y = - 3 + 4 \cos (\frac{5 π}{6} (x + 4))$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 3 + 4 \cos (\frac{5 π}{6} \cdot (x + 4))$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [4 \cos (\frac{5 π}{6} \cdot (x + 4))]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [4 \cos (\frac{5 π}{6} \cdot (x + 4))]$

Passaggio 1.1.2

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [4 \cos (\frac{5 π}{6} \cdot (x + 4))]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 \cos (\frac{5 π}{6} \cdot (x + 4))]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 \cos (\frac{5 π}{6} (x + 4))$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{5 π}{6} (x + 4))]$ .

$0 + 4 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{5 π}{6} (x + 4))]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = \frac{5 π}{6} (x + 4)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{5 π}{6} (x + 4)$ .

$0 + 4 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{5 π}{6} (x + 4)])$

Passaggio 1.2.2.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$0 + 4 (- \sin (\frac{5 π}{6} (x + 4)) \frac{d}{d x} [\frac{5 π}{6} (x + 4)])$

Passaggio 1.2.3

Poiché $\frac{5 π}{6}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{5 π}{6} (x + 4)$ rispetto a $x$ è $\frac{5 π}{6} \frac{d}{d x} [x + 4]$ .

$0 + 4 (- \sin (\frac{5 π}{6} (x + 4)) (\frac{5 π}{6} \frac{d}{d x} [x + 4]))$

Passaggio 1.2.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$0 + 4 (- \sin (\frac{5 π}{6} (x + 4)) (\frac{5 π}{6} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])))$

Passaggio 1.2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 + 4 (- \sin (\frac{5 π}{6} (x + 4)) (\frac{5 π}{6} (1 + \frac{d}{d x} [4])))$

Passaggio 1.2.6

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + 4 (- \sin (\frac{5 π}{6} (x + 4)) (\frac{5 π}{6} (1 + 0)))$

Passaggio 1.2.7

Somma $1$ e $0$ .

$0 + 4 (- \sin (\frac{5 π}{6} (x + 4)) (\frac{5 π}{6} \cdot 1))$

Passaggio 1.2.8

Moltiplica $\frac{5 π}{6}$ per $1$ .

$0 + 4 (- \sin (\frac{5 π}{6} (x + 4)) \frac{5 π}{6})$

Passaggio 1.2.9

$\frac{5 π}{6}$ e $\sin (\frac{5 π}{6} (x + 4))$ .

$0 + 4 (- \frac{5 π \sin (\frac{5 π}{6} (x + 4))}{6})$

Passaggio 1.2.10

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$0 - 4 \frac{5 π \sin (\frac{5 π}{6} (x + 4))}{6}$

Passaggio 1.2.11

$- 4$ e $\frac{5 π \sin (\frac{5 π}{6} (x + 4))}{6}$ .

$0 + \frac{- 4 (5 π \sin (\frac{5 π}{6} (x + 4)))}{6}$

Passaggio 1.2.12

Moltiplica $5$ per $- 4$ .

$0 + \frac{- 20 (π \sin (\frac{5 π}{6} (x + 4)))}{6}$

Passaggio 1.2.13

Elimina il fattore comune di $- 20$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.13.1

Scomponi $2$ da $- 20 π \sin (\frac{5 π}{6} (x + 4))$ .

$0 + \frac{2 (- 10 π \sin (\frac{5 π}{6} (x + 4)))}{6}$

Passaggio 1.2.13.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.13.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$0 + \frac{2 (- 10 π \sin (\frac{5 π}{6} (x + 4)))}{2 (3)}$

Passaggio 1.2.13.2.2

Elimina il fattore comune.

$0 + \frac{2 (- 10 π \sin (\frac{5 π}{6} (x + 4)))}{2 \cdot 3}$

Passaggio 1.2.13.2.3

Riscrivi l'espressione.

$0 + \frac{- 10 π \sin (\frac{5 π}{6} (x + 4))}{3}$

Passaggio 1.2.14

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$0 - \frac{10 π \sin (\frac{5 π}{6} (x + 4))}{3}$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$0 - \frac{10 π \sin (\frac{5 π}{6} x + \frac{5 π}{6} \cdot 4)}{3}$

Passaggio 1.3.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

$\frac{5 π}{6}$ e $4$ .

$0 - \frac{10 π \sin (\frac{5 π}{6} x + \frac{5 π \cdot 4}{6})}{3}$

Passaggio 1.3.2.2

Moltiplica $4$ per $5$ .

$0 - \frac{10 π \sin (\frac{5 π}{6} x + \frac{20 π}{6})}{3}$

Passaggio 1.3.2.3

Elimina il fattore comune di $20$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.3.1

Scomponi $2$ da $20 π$ .

$0 - \frac{10 π \sin (\frac{5 π}{6} x + \frac{2 (10 π)}{6})}{3}$

Passaggio 1.3.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.3.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$0 - \frac{10 π \sin (\frac{5 π}{6} x + \frac{2 (10 π)}{2 (3)})}{3}$

Passaggio 1.3.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$0 - \frac{10 π \sin (\frac{5 π}{6} x + \frac{2 (10 π)}{2 \cdot 3})}{3}$

Passaggio 1.3.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$0 - \frac{10 π \sin (\frac{5 π}{6} x + \frac{10 π}{3})}{3}$

Passaggio 1.3.2.4

$\frac{5 π}{6}$ e $x$ .

$0 - \frac{10 π \sin (\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3})}{3}$

Passaggio 1.3.2.5

Sottrai $\frac{10 π \sin (\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3})}{3}$ da $0$ .

$- \frac{10 π \sin (\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3})}{3}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $- \frac{10 π}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{10 π \sin (\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3})}{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{10 π}{3} \frac{d}{d x} [\sin (\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3})]$ .

$f'' (x) = - \frac{10 π}{3} \cdot \frac{d}{d x} \sin (\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3})$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{10 π}{3} \cdot (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3}))$

Passaggio 2.2.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$f'' (x) = - \frac{10 π}{3} \cdot (\cos (u) \frac{d}{d x} (\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3}))$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{10 π}{3} \cdot (\cos (\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3}) \frac{d}{d x} (\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3}))$

Passaggio 2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

$\cos (\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3})$ e $\frac{10 π}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{\cos (\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3}) (10 π)}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3})$

Passaggio 2.3.2

Sposta $10$ alla sinistra di $\cos (\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3})$ .

$f'' (x) = - \frac{10 \cdot (\cos (\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3}) π)}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3})$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{5 π x}{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{10 π}{3}]$ .

$f'' (x) = - \frac{10 \cos (\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3}) π}{3} \cdot (\frac{d}{d x} (\frac{5 π x}{6}) + \frac{d}{d x} (\frac{10 π}{3}))$

Passaggio 2.3.4

Poiché $\frac{5 π}{6}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{5 π x}{6}$ rispetto a $x$ è $\frac{5 π}{6} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{10 \cos (\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3}) π}{3} \cdot (\frac{5 π}{6} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\frac{10 π}{3}))$

Passaggio 2.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{10 \cos (\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3}) π}{3} \cdot (\frac{5 π}{6} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (\frac{10 π}{3}))$

Passaggio 2.3.6

Moltiplica $\frac{5 π}{6}$ per $1$ .

$f'' (x) = - \frac{10 \cos (\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3}) π}{3} \cdot (\frac{5 π}{6} + \frac{d}{d x} (\frac{10 π}{3}))$

Passaggio 2.3.7

Poiché $\frac{10 π}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{10 π}{3}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - \frac{10 \cos (\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3}) π}{3} \cdot (\frac{5 π}{6} + 0)$

Passaggio 2.3.8

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.8.1

Somma $\frac{5 π}{6}$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{10 \cos (\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3}) π}{3} \cdot \frac{5 π}{6}$

Passaggio 2.3.8.2

Moltiplica $\frac{5 π}{6}$ per $\frac{10 \cos (\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3}) π}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{5 π (10 \cos (\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3}) π)}{6 \cdot 3}$

Passaggio 2.3.8.3

Moltiplica $10$ per $5$ .

$f'' (x) = - \frac{50 π (\cos (\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3}) π)}{6 \cdot 3}$

Passaggio 2.4

Eleva $π$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - \frac{50 (π π) \cos (\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3})}{6 \cdot 3}$

Passaggio 2.5

Eleva $π$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - \frac{50 (π π) \cos (\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3})}{6 \cdot 3}$

Passaggio 2.6

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - \frac{50 π^{1 + 1} \cos (\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3})}{6 \cdot 3}$

Passaggio 2.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = - \frac{50 π^{2} \cos (\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3})}{6 \cdot 3}$

Passaggio 2.7.2

Moltiplica $6$ per $3$ .

$f'' (x) = - \frac{50 π^{2} \cos (\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3})}{18}$

Passaggio 2.8

Elimina il fattore comune di $50$ e $18$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Scomponi $2$ da $50 π^{2} \cos (\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3})$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (25 π^{2} \cos (\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3}))}{18}$

Passaggio 2.8.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.1

Scomponi $2$ da $18$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (25 π^{2} \cos (\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3}))}{2 (9)}$

Passaggio 2.8.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = - \frac{2 (25 π^{2} \cos (\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3}))}{2 \cdot 9}$

Passaggio 2.8.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = - \frac{25 π^{2} \cos (\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3})}{9}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- \frac{10 π \sin (\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3})}{3} = 0$

Passaggio 4

Poni il numeratore uguale a zero.

$10 π \sin (\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3}) = 0$

Passaggio 5

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Dividi per $10 π$ ciascun termine in $10 π \sin (\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3}) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Dividi per $10 π$ ciascun termine in $10 π \sin (\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3}) = 0$ .

$\frac{10 π \sin (\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3})}{10 π} = \frac{0}{10 π}$

Passaggio 5.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Elimina il fattore comune di $10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{10 π \sin (\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3})}{10 π} = \frac{0}{10 π}$

Passaggio 5.1.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{π \sin (\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3})}{π} = \frac{0}{10 π}$

Passaggio 5.1.2.2

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{π \sin (\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3})}{π} = \frac{0}{10 π}$

Passaggio 5.1.2.2.2

Dividi $\sin (\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3})$ per $1$ .

$\sin (\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3}) = \frac{0}{10 π}$

Passaggio 5.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Elimina il fattore comune di $0$ e $10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1.1

Scomponi $10$ da $0$ .

$\sin (\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3}) = \frac{10 (0)}{10 π}$

Passaggio 5.1.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1.2.1

Scomponi $10$ da $10 π$ .

$\sin (\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3}) = \frac{10 (0)}{10 (π)}$

Passaggio 5.1.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\sin (\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3}) = \frac{10 \cdot 0}{10 π}$

Passaggio 5.1.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\sin (\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3}) = \frac{0}{π}$

Passaggio 5.1.3.2

Dividi $0$ per $π$ .

$\sin (\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3}) = 0$

Passaggio 5.2

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3} = \arcsin (0)$

Passaggio 5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Il valore esatto di $\arcsin (0)$ è $0$ .

$\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3} = 0$

Passaggio 5.4

Sottrai $\frac{10 π}{3}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{5 π x}{6} = - \frac{10 π}{3}$

Passaggio 5.5

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $\frac{6}{5 π}$ .

$\frac{6}{5 π} \cdot \frac{5 π x}{6} = \frac{6}{5 π} (- \frac{10 π}{3})$

Passaggio 5.6

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1.1

Semplifica $\frac{6}{5 π} \cdot \frac{5 π x}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1.1.1

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{6}{5 π} \cdot \frac{5 π x}{6} = \frac{6}{5 π} (- \frac{10 π}{3})$

Passaggio 5.6.1.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{5 π} (5 π x) = \frac{6}{5 π} (- \frac{10 π}{3})$

Passaggio 5.6.1.1.2

Elimina il fattore comune di $5 π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1.1.2.1

Scomponi $5 π$ da $5 π x$ .

$\frac{1}{5 π} (5 π (x)) = \frac{6}{5 π} (- \frac{10 π}{3})$

Passaggio 5.6.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{5 π} (5 π x) = \frac{6}{5 π} (- \frac{10 π}{3})$

Passaggio 5.6.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{6}{5 π} (- \frac{10 π}{3})$

Passaggio 5.6.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.1

Semplifica $\frac{6}{5 π} (- \frac{10 π}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.1.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{10 π}{3}$ nel numeratore.

$x = \frac{6}{5 π} \cdot \frac{- 10 π}{3}$

Passaggio 5.6.2.1.1.2

Scomponi $3$ da $6$ .

$x = \frac{3 (2)}{5 π} \cdot \frac{- 10 π}{3}$

Passaggio 5.6.2.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{3 \cdot 2}{5 π} \cdot \frac{- 10 π}{3}$

Passaggio 5.6.2.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{2}{5 π} (- 10 π)$

Passaggio 5.6.2.1.2

Elimina il fattore comune di $5 π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.1.2.1

Scomponi $5 π$ da $- 10 π$ .

$x = \frac{2}{5 π} (5 π (- 2))$

Passaggio 5.6.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{2}{5 π} (5 π \cdot - 2)$

Passaggio 5.6.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = 2 \cdot - 2$

Passaggio 5.6.2.1.3

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$x = - 4$

Passaggio 5.7

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3} = π - 0$

Passaggio 5.8

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.1

Sottrai $0$ da $π$ .

$\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3} = π$

Passaggio 5.8.2

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.2.1

Sottrai $\frac{10 π}{3}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{5 π x}{6} = π - \frac{10 π}{3}$

Passaggio 5.8.2.2

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{5 π x}{6} = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{10 π}{3}$

Passaggio 5.8.2.3

$π$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{5 π x}{6} = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{10 π}{3}$

Passaggio 5.8.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{5 π x}{6} = \frac{π \cdot 3 - 10 π}{3}$

Passaggio 5.8.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.2.5.1

Sposta $3$ alla sinistra di $π$ .

$\frac{5 π x}{6} = \frac{3 \cdot π - 10 π}{3}$

Passaggio 5.8.2.5.2

Sottrai $10 π$ da $3 π$ .

$\frac{5 π x}{6} = \frac{- 7 π}{3}$

Passaggio 5.8.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{5 π x}{6} = - \frac{7 π}{3}$

Passaggio 5.8.3

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $\frac{6}{5 π}$ .

$\frac{6}{5 π} \cdot \frac{5 π x}{6} = \frac{6}{5 π} (- \frac{7 π}{3})$

Passaggio 5.8.4

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.4.1.1

Semplifica $\frac{6}{5 π} \cdot \frac{5 π x}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.4.1.1.1

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.4.1.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{6}{5 π} \cdot \frac{5 π x}{6} = \frac{6}{5 π} (- \frac{7 π}{3})$

Passaggio 5.8.4.1.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{5 π} (5 π x) = \frac{6}{5 π} (- \frac{7 π}{3})$

Passaggio 5.8.4.1.1.2

Elimina il fattore comune di $5 π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.4.1.1.2.1

Scomponi $5 π$ da $5 π x$ .

$\frac{1}{5 π} (5 π (x)) = \frac{6}{5 π} (- \frac{7 π}{3})$

Passaggio 5.8.4.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{5 π} (5 π x) = \frac{6}{5 π} (- \frac{7 π}{3})$

Passaggio 5.8.4.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{6}{5 π} (- \frac{7 π}{3})$

Passaggio 5.8.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.4.2.1

Semplifica $\frac{6}{5 π} (- \frac{7 π}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.4.2.1.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.4.2.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{7 π}{3}$ nel numeratore.

$x = \frac{6}{5 π} \cdot \frac{- 7 π}{3}$

Passaggio 5.8.4.2.1.1.2

Scomponi $3$ da $6$ .

$x = \frac{3 (2)}{5 π} \cdot \frac{- 7 π}{3}$

Passaggio 5.8.4.2.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{3 \cdot 2}{5 π} \cdot \frac{- 7 π}{3}$

Passaggio 5.8.4.2.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{2}{5 π} (- 7 π)$

Passaggio 5.8.4.2.1.2

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.4.2.1.2.1

Scomponi $π$ da $5 π$ .

$x = \frac{2}{π \cdot 5} (- 7 π)$

Passaggio 5.8.4.2.1.2.2

Scomponi $π$ da $- 7 π$ .

$x = \frac{2}{π \cdot 5} (π \cdot - 7)$

Passaggio 5.8.4.2.1.2.3

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{2}{π \cdot 5} (π \cdot - 7)$

Passaggio 5.8.4.2.1.2.4

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{2}{5} \cdot - 7$

Passaggio 5.8.4.2.1.3

$\frac{2}{5}$ e $- 7$ .

$x = \frac{2 \cdot - 7}{5}$

Passaggio 5.8.4.2.1.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.4.2.1.4.1

Moltiplica $2$ per $- 7$ .

$x = \frac{- 14}{5}$

Passaggio 5.8.4.2.1.4.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{14}{5}$

Passaggio 5.9

La soluzione dell'equazione $\frac{5 π x}{6} + \frac{10 π}{3} = 0$ .

$x = - 4, - \frac{14}{5}$

Passaggio 6

Calcola la derivata seconda per $x = - 4$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \frac{25 π^{2} \cos (\frac{5 π (- 4)}{6} + \frac{10 π}{3})}{9}$

Passaggio 7

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Elimina il fattore comune di $- 4$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.1

Scomponi $2$ da $5 π (- 4)$ .

$- \frac{25 π^{2} \cos (\frac{2 (5 π \cdot (- 2))}{6} + \frac{10 π}{3})}{9}$

Passaggio 7.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$- \frac{25 π^{2} \cos (\frac{2 (5 π \cdot (- 2))}{2 (3)} + \frac{10 π}{3})}{9}$

Passaggio 7.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{25 π^{2} \cos (\frac{2 (5 π \cdot (- 2))}{2 \cdot 3} + \frac{10 π}{3})}{9}$

Passaggio 7.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{25 π^{2} \cos (\frac{5 π \cdot (- 2)}{3} + \frac{10 π}{3})}{9}$

Passaggio 7.1.2

Moltiplica $- 2$ per $5$ .

$- \frac{25 π^{2} \cos (\frac{- 10 π}{3} + \frac{10 π}{3})}{9}$

Passaggio 7.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{25 π^{2} \cos (\frac{- 10 π + 10 π}{3})}{9}$

Passaggio 7.2.2

Somma $- 10 π$ e $10 π$ .

$- \frac{25 π^{2} \cos (\frac{0}{3})}{9}$

Passaggio 7.2.3

Dividi $0$ per $3$ .

$- \frac{25 π^{2} \cos (0)}{9}$

Passaggio 7.2.4

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$- \frac{25 π^{2} \cdot 1}{9}$

Passaggio 7.2.5

Moltiplica $25$ per $1$ .

$- \frac{25 π^{2}}{9}$

Passaggio 8

$x = - 4$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - 4$ è un massimo locale

Passaggio 9

Trova il valore di y quando $x = - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 4$ nell'espressione.

$f (- 4) = - 3 + 4 \cos (\frac{5 π}{6} \cdot ((- 4) + 4))$

Passaggio 9.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.1

Somma $- 4$ e $4$ .

$f (- 4) = - 3 + 4 \cos (\frac{5 π}{6} \cdot 0)$

Passaggio 9.2.1.2

Moltiplica $\frac{5 π}{6}$ per $0$ .

$f (- 4) = - 3 + 4 \cos (0)$

Passaggio 9.2.1.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (- 4) = - 3 + 4 \cdot 1$

Passaggio 9.2.1.4

Moltiplica $4$ per $1$ .

$f (- 4) = - 3 + 4$

Passaggio 9.2.2

Somma $- 3$ e $4$ .

$f (- 4) = 1$

Passaggio 9.2.3

La risposta finale è $1$ .

$y = 1$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda per $x = - \frac{14}{5}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \frac{25 π^{2} \cos (\frac{5 π (- \frac{14}{5})}{6} + \frac{10 π}{3})}{9}$

Passaggio 11

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.1

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$- \frac{25 π^{2} \cos (\frac{- 5 π \frac{14}{5}}{6} + \frac{10 π}{3})}{9}$

Passaggio 11.1.2

$\frac{14}{5}$ e $- 5$ .

$- \frac{25 π^{2} \cos (\frac{\frac{14 \cdot - 5}{5} π}{6} + \frac{10 π}{3})}{9}$

Passaggio 11.1.3

$\frac{14 \cdot - 5}{5}$ e $π$ .

$- \frac{25 π^{2} \cos (\frac{\frac{14 \cdot - 5 π}{5}}{6} + \frac{10 π}{3})}{9}$

Passaggio 11.2

Moltiplica $14$ per $- 5$ .

$- \frac{25 π^{2} \cos (\frac{\frac{- 70 π}{5}}{6} + \frac{10 π}{3})}{9}$

Passaggio 11.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Riduci l'espressione $\frac{- 70 π}{5}$ eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1.1

Scomponi $5$ da $- 70 π$ .

$- \frac{25 π^{2} \cos (\frac{\frac{5 (- 14 π)}{5}}{6} + \frac{10 π}{3})}{9}$

Passaggio 11.3.1.2

Scomponi $5$ da $5$ .

$- \frac{25 π^{2} \cos (\frac{\frac{5 (- 14 π)}{5 (1)}}{6} + \frac{10 π}{3})}{9}$

Passaggio 11.3.1.3

Elimina il fattore comune.

$- \frac{25 π^{2} \cos (\frac{\frac{5 (- 14 π)}{5 \cdot 1}}{6} + \frac{10 π}{3})}{9}$

Passaggio 11.3.1.4

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{25 π^{2} \cos (\frac{\frac{- 14 π}{1}}{6} + \frac{10 π}{3})}{9}$

Passaggio 11.3.2

Dividi $- 14 π$ per $1$ .

$- \frac{25 π^{2} \cos (\frac{- 14 π}{6} + \frac{10 π}{3})}{9}$

Passaggio 11.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.1.1

Elimina il fattore comune di $- 14$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.1.1.1

Scomponi $2$ da $- 14 π$ .

$- \frac{25 π^{2} \cos (\frac{2 (- 7 π)}{6} + \frac{10 π}{3})}{9}$

Passaggio 11.4.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.1.1.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$- \frac{25 π^{2} \cos (\frac{2 (- 7 π)}{2 (3)} + \frac{10 π}{3})}{9}$

Passaggio 11.4.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{25 π^{2} \cos (\frac{2 (- 7 π)}{2 \cdot 3} + \frac{10 π}{3})}{9}$

Passaggio 11.4.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{25 π^{2} \cos (\frac{- 7 π}{3} + \frac{10 π}{3})}{9}$

Passaggio 11.4.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{25 π^{2} \cos (- \frac{7 π}{3} + \frac{10 π}{3})}{9}$

Passaggio 11.4.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{25 π^{2} \cos (\frac{- 7 π + 10 π}{3})}{9}$

Passaggio 11.4.3

Somma $- 7 π$ e $10 π$ .

$- \frac{25 π^{2} \cos (\frac{3 π}{3})}{9}$

Passaggio 11.4.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{25 π^{2} \cos (\frac{3 π}{3})}{9}$

Passaggio 11.4.4.2

Dividi $π$ per $1$ .

$- \frac{25 π^{2} \cos (π)}{9}$

Passaggio 11.4.5

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$- \frac{25 π^{2} (- \cos (0))}{9}$

Passaggio 11.4.6

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$- \frac{25 π^{2} (- 1 \cdot 1)}{9}$

Passaggio 11.4.7

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \frac{25 π^{2} \cdot - 1}{9}$

Passaggio 11.4.8

Moltiplica $- 1$ per $25$ .

$- \frac{- 25 π^{2}}{9}$

Passaggio 11.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- - \frac{25 π^{2}}{9}$

Passaggio 11.6

Moltiplica $- - \frac{25 π^{2}}{9}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.6.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \frac{25 π^{2}}{9}$

Passaggio 11.6.2

Moltiplica $\frac{25 π^{2}}{9}$ per $1$ .

$\frac{25 π^{2}}{9}$

Passaggio 12

$x = - \frac{14}{5}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - \frac{14}{5}$ è un minimo locale

Passaggio 13

Trova il valore di y quando $x = - \frac{14}{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{14}{5}$ nell'espressione.

$f (- \frac{14}{5}) = - 3 + 4 \cos (\frac{5 π}{6} \cdot ((- \frac{14}{5}) + 4))$

Passaggio 13.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1.1

Per scrivere $4$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$f (- \frac{14}{5}) = - 3 + 4 \cos (\frac{5 π}{6} \cdot (- \frac{14}{5} + 4 \cdot \frac{5}{5}))$

Passaggio 13.2.1.2

$4$ e $\frac{5}{5}$ .

$f (- \frac{14}{5}) = - 3 + 4 \cos (\frac{5 π}{6} \cdot (- \frac{14}{5} + \frac{4 \cdot 5}{5}))$

Passaggio 13.2.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{14}{5}) = - 3 + 4 \cos (\frac{5 π}{6} \cdot \frac{- 14 + 4 \cdot 5}{5})$

Passaggio 13.2.1.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1.4.1

Moltiplica $4$ per $5$ .

$f (- \frac{14}{5}) = - 3 + 4 \cos (\frac{5 π}{6} \cdot \frac{- 14 + 20}{5})$

Passaggio 13.2.1.4.2

Somma $- 14$ e $20$ .

$f (- \frac{14}{5}) = - 3 + 4 \cos (\frac{5 π}{6} \cdot \frac{6}{5})$

Passaggio 13.2.1.5

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1.5.1

Scomponi $5$ da $5 π$ .

$f (- \frac{14}{5}) = - 3 + 4 \cos (\frac{5 (π)}{6} \cdot \frac{6}{5})$

Passaggio 13.2.1.5.2

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{14}{5}) = - 3 + 4 \cos (\frac{5 π}{6} \cdot \frac{6}{5})$

Passaggio 13.2.1.5.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{14}{5}) = - 3 + 4 \cos (\frac{π}{6} \cdot 6)$

Passaggio 13.2.1.6

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1.6.1

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{14}{5}) = - 3 + 4 \cos (\frac{π}{6} \cdot 6)$

Passaggio 13.2.1.6.2

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{14}{5}) = - 3 + 4 \cos (π)$

Passaggio 13.2.1.7

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$f (- \frac{14}{5}) = - 3 + 4 (- \cos (0))$

Passaggio 13.2.1.8

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (- \frac{14}{5}) = - 3 + 4 (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 13.2.1.9

Moltiplica $4 (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1.9.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (- \frac{14}{5}) = - 3 + 4 \cdot - 1$

Passaggio 13.2.1.9.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$f (- \frac{14}{5}) = - 3 - 4$

Passaggio 13.2.2

Sottrai $4$ da $- 3$ .

$f (- \frac{14}{5}) = - 7$

Passaggio 13.2.3

La risposta finale è $- 7$ .

$y = - 7$

Passaggio 14

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = - 3 + 4 \cos (\frac{5 π}{6} \cdot (x + 4))$ .

$(- 4, 1)$ è un massimo locale

$(- \frac{14}{5}, - 7)$ è un minimo locale

Passaggio 15