Algebra Esempi

$\frac{3 x + 4}{x - 4} \leq x - 1$

Passaggio 1

Sposta tutte le espressioni sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 1.1

Sottrai $x$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$\frac{3 x + 4}{x - 4} - x \leq - 1$

Passaggio 1.2

Aggiungi $1$ a entrambi i lati della diseguaglianza.

$\frac{3 x + 4}{x - 4} - x + 1 \leq 0$

Passaggio 2

Semplifica $\frac{3 x + 4}{x - 4} - x + 1$ .

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Passaggio 2.1

Per scrivere $- x$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{3 x + 4}{x - 4} - x \cdot \frac{x - 4}{x - 4} + 1 \leq 0$

Passaggio 2.2

$- x$ e $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{3 x + 4}{x - 4} + \frac{- x (x - 4)}{x - 4} + 1 \leq 0$

Passaggio 2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{3 x + 4 - x (x - 4)}{x - 4} + 1 \leq 0$

Passaggio 2.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 x + 4 - x \cdot x - x \cdot - 4}{x - 4} + 1 \leq 0$

Passaggio 2.4.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.4.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{3 x + 4 - (x \cdot x) - x \cdot - 4}{x - 4} + 1 \leq 0$

Passaggio 2.4.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{3 x + 4 - x^{2} - x \cdot - 4}{x - 4} + 1 \leq 0$

Passaggio 2.4.3

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$\frac{3 x + 4 - x^{2} + 4 x}{x - 4} + 1 \leq 0$

Passaggio 2.4.4

Somma $3 x$ e $4 x$ .

$\frac{7 x + 4 - x^{2}}{x - 4} + 1 \leq 0$

Passaggio 2.4.5

Riordina i termini.

$\frac{- x^{2} + 7 x + 4}{x - 4} + 1 \leq 0$

Passaggio 2.5

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{- x^{2} + 7 x + 4}{x - 4} + \frac{x - 4}{x - 4} \leq 0$

Passaggio 2.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- x^{2} + 7 x + 4 + x - 4}{x - 4} \leq 0$

Passaggio 2.7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.7.1

Somma $7 x$ e $x$ .

$\frac{- x^{2} + 8 x + 4 - 4}{x - 4} \leq 0$

Passaggio 2.7.2

Sottrai $4$ da $4$ .

$\frac{- x^{2} + 8 x + 0}{x - 4} \leq 0$

Passaggio 2.7.3

Somma $- x^{2} + 8 x$ e $0$ .

$\frac{- x^{2} + 8 x}{x - 4} \leq 0$

Passaggio 2.7.4

Scomponi $x$ da $- x^{2} + 8 x$ .

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Passaggio 2.7.4.1

Scomponi $x$ da $- x^{2}$ .

$\frac{x (- x) + 8 x}{x - 4} \leq 0$

Passaggio 2.7.4.2

Scomponi $x$ da $8 x$ .

$\frac{x (- x) + x \cdot 8}{x - 4} \leq 0$

Passaggio 2.7.4.3

Scomponi $x$ da $x (- x) + x \cdot 8$ .

$\frac{x (- x + 8)}{x - 4} \leq 0$

Passaggio 2.8

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$\frac{x (- (x) + 8)}{x - 4} \leq 0$

Passaggio 2.9

Riscrivi $8$ come $- 1 (- 8)$ .

$\frac{x (- (x) - 1 (- 8))}{x - 4} \leq 0$

Passaggio 2.10

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (- 8)$ .

$\frac{x (- (x - 8))}{x - 4} \leq 0$

Passaggio 2.11

Riscrivi $- (x - 8)$ come $- 1 (x - 8)$ .

$\frac{x (- 1 (x - 8))}{x - 4} \leq 0$

Passaggio 2.12

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{x (x - 8)}{x - 4} \leq 0$

Passaggio 3

Trova tutti i valori in cui l'espressione passa da negativa a positiva ponendo ciascun fattore uguale a $0$ e risolvendo.

$- x = 0$

$x - 8 = 0$

$x - 4 = 0$

Passaggio 4

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = 0$ e semplifica.

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Passaggio 4.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = 0$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Passaggio 4.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 4.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{0}{- 1}$

Passaggio 4.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{0}{- 1}$

Passaggio 4.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 4.3.1

Dividi $0$ per $- 1$ .

$x = 0$

Passaggio 5

Somma $8$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 8$

Passaggio 6

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 7

Risolvi per ogni fattore per trovare i valori in cui l'espressione con valore assoluto passa da negativa a positiva.

$x = 0$

$x = 8$

$x = 4$

Passaggio 8

Consolida le soluzioni.

$x = 0, 8, 4$

Passaggio 9

Trova il dominio di $- \frac{x (x - 8)}{x - 4}$ .

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Passaggio 9.1

Imposta il denominatore in $\frac{x (x - 8)}{x - 4}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x - 4 = 0$

Passaggio 9.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 9.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

Passaggio 10

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < 0$

$0 < x < 4$

$4 < x < 8$

$x > 8$

Passaggio 11

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 11.1

Testa un valore sull'intervallo $x < 0$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 11.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < 0$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 2$

Passaggio 11.1.2

Sostituisci $x$ con $- 2$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{3 (- 2) + 4}{(- 2) - 4} \leq (- 2) - 1$

Passaggio 11.1.3

Il lato sinistro di $0.\overline{3}$ è maggiore del lato destro di $- 3$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 11.2

Testa un valore sull'intervallo $0 < x < 4$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 11.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $0 < x < 4$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 2$

Passaggio 11.2.2

Sostituisci $x$ con $2$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{3 (2) + 4}{(2) - 4} \leq (2) - 1$

Passaggio 11.2.3

Il lato sinistro di $- 5$ è minore del lato destro di $1$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 11.3

Testa un valore sull'intervallo $4 < x < 8$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 11.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $4 < x < 8$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 6$

Passaggio 11.3.2

Sostituisci $x$ con $6$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{3 (6) + 4}{(6) - 4} \leq (6) - 1$

Passaggio 11.3.3

Il lato sinistro di $11$ è maggiore del lato destro di $5$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 11.4

Testa un valore sull'intervallo $x > 8$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 11.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 8$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 10$

Passaggio 11.4.2

Sostituisci $x$ con $10$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{3 (10) + 4}{(10) - 4} \leq (10) - 1$

Passaggio 11.4.3

Il lato sinistro di $5.\overline{6}$ è minore del lato destro di $9$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 11.5

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < 0$ Falso

$0 < x < 4$ Vero

$4 < x < 8$ Falso

$x > 8$ Vero

$x < 0$ Falso

$0 < x < 4$ Vero

$4 < x < 8$ Falso

$x > 8$ Vero

Passaggio 12

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$0 \leq x < 4$ o $x \geq 8$

Passaggio 13

Converti la diseguaglianza in notazione a intervalli.

$[0, 4) \cup [8, \infty)$

Passaggio 14