Algebra Esempi

$f (x) = x^{4} + 5 x^{3} + 10 x^{2} + 20 x + 24$

Passaggio 1

Imposta $x^{4} + 5 x^{3} + 10 x^{2} + 20 x + 24$ uguale a $0$ .

$x^{4} + 5 x^{3} + 10 x^{2} + 20 x + 24 = 0$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Raggruppa i termini.

$5 x^{3} + 10 x^{2} + x^{4} + 20 x + 24 = 0$

Passaggio 2.1.2

Scomponi $5 x^{2}$ da $5 x^{3} + 10 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Scomponi $5 x^{2}$ da $5 x^{3}$ .

$5 x^{2} (x) + 10 x^{2} + x^{4} + 20 x + 24 = 0$

Passaggio 2.1.2.2

Scomponi $5 x^{2}$ da $10 x^{2}$ .

$5 x^{2} (x) + 5 x^{2} (2) + x^{4} + 20 x + 24 = 0$

Passaggio 2.1.2.3

Scomponi $5 x^{2}$ da $5 x^{2} (x) + 5 x^{2} (2)$ .

$5 x^{2} (x + 2) + x^{4} + 20 x + 24 = 0$

Passaggio 2.1.3

Scomponi $x^{4} + 20 x + 24$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 24, \pm 2, \pm 12, \pm 3, \pm 8, \pm 4, \pm 6$

$q = \pm 1$

Passaggio 2.1.3.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 24, \pm 2, \pm 12, \pm 3, \pm 8, \pm 4, \pm 6$

Passaggio 2.1.3.3

Sostituisci $- 2$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $- 2$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.3.1

Sostituisci $- 2$ nel polinomio.

${(- 2)}^{4} + 20 \cdot - 2 + 24$

Passaggio 2.1.3.3.2

Eleva $- 2$ alla potenza di $4$ .

$16 + 20 \cdot - 2 + 24$

Passaggio 2.1.3.3.3

Moltiplica $20$ per $- 2$ .

$16 - 40 + 24$

Passaggio 2.1.3.3.4

Sottrai $40$ da $16$ .

$- 24 + 24$

Passaggio 2.1.3.3.5

Somma $- 24$ e $24$ .

$0$

Passaggio 2.1.3.4

Poiché $- 2$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x + 2$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{x^{4} + 20 x + 24}{x + 2}$

Passaggio 2.1.3.5

Dividi $x^{4} + 20 x + 24$ per $x + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$24$

Passaggio 2.1.3.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{4}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$24$

Passaggio 2.1.3.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$24$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

Passaggio 2.1.3.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{4} + 2 x^{3}$

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$24$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

Passaggio 2.1.3.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$24$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

Passaggio 2.1.3.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$24$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

Passaggio 2.1.3.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 2 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$24$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

Passaggio 2.1.3.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$24$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

Passaggio 2.1.3.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 2 x^{3} - 4 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$24$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

Passaggio 2.1.3.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$24$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

Passaggio 2.1.3.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$24$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$20 x$

Passaggio 2.1.3.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $4 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$24$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$20 x$

Passaggio 2.1.3.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$24$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$20 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

Passaggio 2.1.3.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $4 x^{2} + 8 x$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$24$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$20 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

Passaggio 2.1.3.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$24$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$20 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

$12 x$

Passaggio 2.1.3.5.16

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$24$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$20 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

$12 x$

$24$

Passaggio 2.1.3.5.17

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $12 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$12$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$24$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$20 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

$12 x$

$24$

Passaggio 2.1.3.5.18

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$12$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$24$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$20 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

$12 x$

$24$

$12 x$

$24$

Passaggio 2.1.3.5.19

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $12 x + 24$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$12$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$24$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$20 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

$12 x$

$24$

$12 x$

$24$

Passaggio 2.1.3.5.20

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$12$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$24$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$20 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

$12 x$

$24$

$12 x$

$24$

$0$

Passaggio 2.1.3.5.21

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 12$

Passaggio 2.1.3.6

Scrivi $x^{4} + 20 x + 24$ come insieme di fattori.

$5 x^{2} (x + 2) + (x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 12) = 0$

Passaggio 2.1.4

Scomponi $x + 2$ da $5 x^{2} (x + 2) + (x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 12)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1

Scomponi $x + 2$ da $5 x^{2} (x + 2)$ .

$(x + 2) (5 x^{2}) + (x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 12) = 0$

Passaggio 2.1.4.2

Scomponi $x + 2$ da $(x + 2) (5 x^{2}) + (x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 12)$ .

$(x + 2) (5 x^{2} + x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 12) = 0$

Passaggio 2.1.5

Sottrai $2 x^{2}$ da $5 x^{2}$ .

$(x + 2) (x^{3} + 3 x^{2} + 4 x + 12) = 0$

Passaggio 2.1.6

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.6.1

Riscrivi $x^{3} + 3 x^{2} + 4 x + 12$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.6.1.1

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.6.1.1.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(x + 2) ((x^{3} + 3 x^{2}) + 4 x + 12) = 0$

Passaggio 2.1.6.1.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$(x + 2) (x^{2} (x + 3) + 4 (x + 3)) = 0$

Passaggio 2.1.6.1.2

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $x + 3$ .

$(x + 2) ((x + 3) (x^{2} + 4)) = 0$

Passaggio 2.1.6.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x + 2) (x + 3) (x^{2} + 4) = 0$

Passaggio 2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

$x + 3 = 0$

$x^{2} + 4 = 0$

Passaggio 2.3

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 2.3.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 2.4

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ .

$x + 3 = 0$

Passaggio 2.4.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 3$

Passaggio 2.5

Imposta $x^{2} + 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $x^{2} + 4$ uguale a $0$ .

$x^{2} + 4 = 0$

Passaggio 2.5.2

Risolvi $x^{2} + 4 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = - 4$

Passaggio 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Passaggio 2.5.2.3

Semplifica $\pm \sqrt{- 4}$ .

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Passaggio 2.5.2.3.1

Riscrivi $- 4$ come $- 1 (4)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Passaggio 2.5.2.3.2

Riscrivi $\sqrt{- 1 (4)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Passaggio 2.5.2.3.3

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Passaggio 2.5.2.3.4

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Passaggio 2.5.2.3.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm i \cdot 2$

Passaggio 2.5.2.3.6

Sposta $2$ alla sinistra di $i$ .

$x = \pm 2 i$

Passaggio 2.5.2.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 2.5.2.4.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 2 i$

Passaggio 2.5.2.4.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 2 i$

Passaggio 2.5.2.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 2 i, - 2 i$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x + 2) (x + 3) (x^{2} + 4) = 0$ vera.

$x = - 2, - 3, 2 i, - 2 i$

Passaggio 3