Algebra Esempi

$x^{4} - 2 x^{3} + 14 x^{2} - 18 x + 45 = 0$

Passaggio 1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 1.1

Raggruppa i termini.

$- 2 x^{3} - 18 x + x^{4} + 14 x^{2} + 45 = 0$

Passaggio 1.2

Scomponi $- 2 x$ da $- 2 x^{3} - 18 x$ .

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Passaggio 1.2.1

Scomponi $- 2 x$ da $- 2 x^{3}$ .

$- 2 x \cdot x^{2} - 18 x + x^{4} + 14 x^{2} + 45 = 0$

Passaggio 1.2.2

Scomponi $- 2 x$ da $- 18 x$ .

$- 2 x \cdot x^{2} - 2 x \cdot 9 + x^{4} + 14 x^{2} + 45 = 0$

Passaggio 1.2.3

Scomponi $- 2 x$ da $- 2 x (x^{2}) - 2 x (9)$ .

$- 2 x (x^{2} + 9) + x^{4} + 14 x^{2} + 45 = 0$

Passaggio 1.3

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 2 x (x^{2} + 9) + {(x^{2})}^{2} + 14 x^{2} + 45 = 0$

Passaggio 1.4

Sia $u = x^{2}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{2}$ con $u$ .

$- 2 x (x^{2} + 9) + u^{2} + 14 u + 45 = 0$

Passaggio 1.5

Scomponi $u^{2} + 14 u + 45$ usando il metodo AC.

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Passaggio 1.5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $45$ e la cui somma è $14$ .

$5, 9$

Passaggio 1.5.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$- 2 x (x^{2} + 9) + (u + 5) (u + 9) = 0$

Passaggio 1.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$- 2 x (x^{2} + 9) + (x^{2} + 5) (x^{2} + 9) = 0$

Passaggio 1.7

Scomponi $x^{2} + 9$ da $- 2 x (x^{2} + 9) + (x^{2} + 5) (x^{2} + 9)$ .

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Passaggio 1.7.1

Scomponi $x^{2} + 9$ da $- 2 x (x^{2} + 9)$ .

$(x^{2} + 9) (- 2 x) + (x^{2} + 5) (x^{2} + 9) = 0$

Passaggio 1.7.2

Scomponi $x^{2} + 9$ da $(x^{2} + 5) (x^{2} + 9)$ .

$(x^{2} + 9) (- 2 x) + (x^{2} + 9) (x^{2} + 5) = 0$

Passaggio 1.7.3

Scomponi $x^{2} + 9$ da $(x^{2} + 9) (- 2 x) + (x^{2} + 9) (x^{2} + 5)$ .

$(x^{2} + 9) (- 2 x + x^{2} + 5) = 0$

Passaggio 1.8

Riordina i termini.

$(x^{2} + 9) (x^{2} - 2 x + 5) = 0$

Passaggio 2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{2} + 9 = 0$

$x^{2} - 2 x + 5 = 0$

Passaggio 3

Imposta $x^{2} + 9$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.1

Imposta $x^{2} + 9$ uguale a $0$ .

$x^{2} + 9 = 0$

Passaggio 3.2

Risolvi $x^{2} + 9 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 3.2.1

Sottrai $9$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = - 9$

Passaggio 3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

Passaggio 3.2.3

Semplifica $\pm \sqrt{- 9}$ .

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Passaggio 3.2.3.1

Riscrivi $- 9$ come $- 1 (9)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

Passaggio 3.2.3.2

Riscrivi $\sqrt{- 1 (9)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

Passaggio 3.2.3.3

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

Passaggio 3.2.3.4

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

Passaggio 3.2.3.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm i \cdot 3$

Passaggio 3.2.3.6

Sposta $3$ alla sinistra di $i$ .

$x = \pm 3 i$

Passaggio 3.2.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 3.2.4.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 3 i$

Passaggio 3.2.4.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 3 i$

Passaggio 3.2.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 3 i, - 3 i$

Passaggio 4

Imposta $x^{2} - 2 x + 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.1

Imposta $x^{2} - 2 x + 5$ uguale a $0$ .

$x^{2} - 2 x + 5 = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi $x^{2} - 2 x + 5 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 4.2.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 4.2.2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = - 2$ e $c = 5$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 5)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.3

Semplifica.

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Passaggio 4.2.3.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.2.3.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 5$ .

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Passaggio 4.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $5$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.3.1.3

Sottrai $20$ da $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.3.1.4

Riscrivi $- 16$ come $- 1 (16)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.3.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (16)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.3.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.3.1.7

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.3.1.8

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.3.1.9

Sposta $4$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{2 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{2 \pm 4 i}{2}$

Passaggio 4.2.3.3

Semplifica $\frac{2 \pm 4 i}{2}$ .

$x = 1 \pm 2 i$

Passaggio 4.2.4

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = 1 + 2 i, 1 - 2 i$

Passaggio 5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x^{2} + 9) (x^{2} - 2 x + 5) = 0$ vera.

$x = 3 i, - 3 i, 1 + 2 i, 1 - 2 i$

Passaggio 6