Algebra Esempi

$y = 3 e^{- 4 x + 1}$

Passaggio 1

Scambia le variabili.

$x = 3 e^{- 4 y + 1}$

Passaggio 2

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi l'equazione come $3 e^{- 4 y + 1} = x$ .

$3 e^{- 4 y + 1} = x$

Passaggio 2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 e^{- 4 y + 1} = x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 e^{- 4 y + 1} = x$ .

$\frac{3 e^{- 4 y + 1}}{3} = \frac{x}{3}$

Passaggio 2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 e^{- 4 y + 1}}{3} = \frac{x}{3}$

Passaggio 2.2.2.1.2

Dividi $e^{- 4 y + 1}$ per $1$ .

$e^{- 4 y + 1} = \frac{x}{3}$

Passaggio 2.3

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{- 4 y + 1}) = \ln (\frac{x}{3})$

Passaggio 2.4

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Espandi $\ln (e^{- 4 y + 1})$ spostando $- 4 y + 1$ fuori dal logaritmo.

$(- 4 y + 1) \ln (e) = \ln (\frac{x}{3})$

Passaggio 2.4.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$(- 4 y + 1) \cdot 1 = \ln (\frac{x}{3})$

Passaggio 2.4.3

Moltiplica $- 4 y + 1$ per $1$ .

$- 4 y + 1 = \ln (\frac{x}{3})$

Passaggio 2.5

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 4 y = \ln (\frac{x}{3}) - 1$

Passaggio 2.6

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 y = \ln (\frac{x}{3}) - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 y = \ln (\frac{x}{3}) - 1$ .

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{\ln (\frac{x}{3})}{- 4} + \frac{- 1}{- 4}$

Passaggio 2.6.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.1

Elimina il fattore comune di $- 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{\ln (\frac{x}{3})}{- 4} + \frac{- 1}{- 4}$

Passaggio 2.6.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\ln (\frac{x}{3})}{- 4} + \frac{- 1}{- 4}$

Passaggio 2.6.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.3.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{- 1}{- 4}$

Passaggio 2.6.3.1.2

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$y = - \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}$

Passaggio 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}$

Passaggio 4

Verifica se $f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}$ è l'inverso di $f (x) = 3 e^{- 4 x + 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 4.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 4.2.2

Calcola $f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = - \frac{\ln (\frac{3 e^{- 4 x + 1}}{3})}{4} + \frac{1}{4}$

Passaggio 4.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{- \ln (\frac{3 e^{- 4 x + 1}}{3}) + 1}{4}$

Passaggio 4.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{- \ln (\frac{3 e^{- 4 x + 1}}{3}) + 1}{4}$

Passaggio 4.2.4.1.2

Dividi $e^{- 4 x + 1}$ per $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{- \ln (e^{- 4 x + 1}) + 1}{4}$

Passaggio 4.2.4.2

Utilizza le regole del logaritmo per togliere $- 4 x + 1$ dall'esponente.

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{- ((- 4 x + 1) \ln (e)) + 1}{4}$

Passaggio 4.2.4.3

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{- ((- 4 x + 1) \cdot 1) + 1}{4}$

Passaggio 4.2.4.4

Moltiplica $- 4 x + 1$ per $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{- (- 4 x + 1) + 1}{4}$

Passaggio 4.2.4.5

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{- (- 4 x) - 1 \cdot 1 + 1}{4}$

Passaggio 4.2.4.6

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{4 x - 1 \cdot 1 + 1}{4}$

Passaggio 4.2.4.7

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{4 x - 1 + 1}{4}$

Passaggio 4.2.5

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.1

Combina i termini opposti in $4 x - 1 + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.1.1

Somma $- 1$ e $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{4 x + 0}{4}$

Passaggio 4.2.5.1.2

Somma $4 x$ e $0$ .

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{4 x}{4}$

Passaggio 4.2.5.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.2.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{4 x}{4}$

Passaggio 4.2.5.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = x$

Passaggio 4.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 4.3.2

Calcola $f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{- 4 (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) + 1}$

Passaggio 4.3.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1.1

Riscrivi $\frac{\ln (\frac{x}{3})}{4}$ come $\frac{1}{4} \ln (\frac{1}{3} x)$ .

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{- 4 (- (\frac{1}{4} \cdot \ln (\frac{1}{3} x)) + \frac{1}{4}) + 1}$

Passaggio 4.3.3.1.2

Semplifica $\frac{1}{4} \ln (\frac{1}{3} x)$ spostando $\frac{1}{4}$ all'interno del logaritmo.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{- 4 (- \ln ({(\frac{1}{3} x)}^{\frac{1}{4}}) + \frac{1}{4}) + 1}$

Passaggio 4.3.3.1.3

$\frac{1}{3}$ e $x$ .

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{- 4 (- \ln ({(\frac{x}{3})}^{\frac{1}{4}}) + \frac{1}{4}) + 1}$

Passaggio 4.3.3.1.4

Applica la regola del prodotto a $\frac{x}{3}$ .

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{- 4 (- \ln (\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}}) + \frac{1}{4}) + 1}$

Passaggio 4.3.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{- 4 (- \ln (\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}})) - 4 (\frac{1}{4}) + 1}$

Passaggio 4.3.3.3

Moltiplica $- 4 (- \ln (\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}}))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{4 \ln (\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}}) - 4 (\frac{1}{4}) + 1}$

Passaggio 4.3.3.3.2

Semplifica $4 \ln (\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}})$ spostando $4$ all'interno del logaritmo.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln ({(\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}})}^{4}) - 4 (\frac{1}{4}) + 1}$

Passaggio 4.3.3.4

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.4.1

Scomponi $4$ da $- 4$ .

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln ({(\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}})}^{4}) + 4 (- 1) (\frac{1}{4}) + 1}$

Passaggio 4.3.3.4.2

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln ({(\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}})}^{4}) + 4 \cdot (- 1 (\frac{1}{4})) + 1}$

Passaggio 4.3.3.4.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln ({(\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}})}^{4}) - 1 + 1}$

Passaggio 4.3.3.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.5.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}}$ .

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{{(x^{\frac{1}{4}})}^{4}}{{(3^{\frac{1}{4}})}^{4}}) - 1 + 1}$

Passaggio 4.3.3.5.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.5.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.5.2.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x^{\frac{1}{4} \cdot 4}}{{(3^{\frac{1}{4}})}^{4}}) - 1 + 1}$

Passaggio 4.3.3.5.2.1.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.5.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x^{\frac{1}{4} \cdot 4}}{{(3^{\frac{1}{4}})}^{4}}) - 1 + 1}$

Passaggio 4.3.3.5.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x^{1}}{{(3^{\frac{1}{4}})}^{4}}) - 1 + 1}$

Passaggio 4.3.3.5.2.2

Semplifica.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x}{{(3^{\frac{1}{4}})}^{4}}) - 1 + 1}$

Passaggio 4.3.3.5.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.5.3.1

Moltiplica gli esponenti in ${(3^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.5.3.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3^{\frac{1}{4} \cdot 4}}) - 1 + 1}$

Passaggio 4.3.3.5.3.1.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.5.3.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3^{\frac{1}{4} \cdot 4}}) - 1 + 1}$

Passaggio 4.3.3.5.3.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3^{1}}) - 1 + 1}$

Passaggio 4.3.3.5.3.2

Calcola l'esponente.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3}) - 1 + 1}$

Passaggio 4.3.4

Combina i termini opposti in $\ln (\frac{x}{3}) - 1 + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1

Somma $- 1$ e $1$ .

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3}) + 0}$

Passaggio 4.3.4.2

Somma $\ln (\frac{x}{3})$ e $0$ .

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3})}$

Passaggio 4.3.5

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 (\frac{x}{3})$

Passaggio 4.3.6

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.6.1

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 (\frac{x}{3})$

Passaggio 4.3.6.2

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = x$

Passaggio 4.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}$ è l'inverso di $f (x) = 3 e^{- 4 x + 1}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}$