Algebra Esempi

$f (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ come un'equazione.

$y = \frac{x + 1}{x - 1}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = \frac{y + 1}{y - 1}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica l'equazione per $y - 1$ .

$(y - 1) (x) = (\frac{y + 1}{y - 1}) (y - 1)$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica $(y - 1) (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y x - 1 x = (\frac{y + 1}{y - 1}) (y - 1)$

Passaggio 3.2.1.2

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$y x - x = (\frac{y + 1}{y - 1}) (y - 1)$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Elimina il fattore comune di $y - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$y x - x = \frac{y + 1}{y - 1} (y - 1)$

Passaggio 3.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y x - x = y + 1$

Passaggio 3.4

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sottrai $y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y x - x - y = 1$

Passaggio 3.4.2

Somma $x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y x - y = 1 + x$

Passaggio 3.4.3

Scomponi $y$ da $y x - y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

Scomponi $y$ da $y x$ .

$y (x) - y = 1 + x$

Passaggio 3.4.3.2

Scomponi $y$ da $- y$ .

$y (x) + y \cdot - 1 = 1 + x$

Passaggio 3.4.3.3

Scomponi $y$ da $y (x) + y \cdot - 1$ .

$y (x - 1) = 1 + x$

Passaggio 3.4.4

Dividi per $x - 1$ ciascun termine in $y (x - 1) = 1 + x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.1

Dividi per $x - 1$ ciascun termine in $y (x - 1) = 1 + x$ .

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{1}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

Passaggio 3.4.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.2.1

Elimina il fattore comune di $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{1}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

Passaggio 3.4.4.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{1}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

Passaggio 3.4.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{1 + x}{x - 1}$

Passaggio 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{1 + x}{x - 1}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{1 + x}{x - 1}$ è l'inverso di $f (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{1 + \frac{x + 1}{x - 1}}{(\frac{x + 1}{x - 1}) - 1}$

Passaggio 5.2.3

Rimuovi le parentesi.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{1 + \frac{x + 1}{x - 1}}{(\frac{x + 1}{x - 1}) - 1}$

Passaggio 5.2.4

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Moltiplica $\frac{1 + \frac{x + 1}{x - 1}}{\frac{x + 1}{x - 1} - 1}$ per $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{x - 1}{x - 1} \cdot \frac{1 + \frac{x + 1}{x - 1}}{\frac{x + 1}{x - 1} - 1}$

Passaggio 5.2.4.2

Combina.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (1 + \frac{x + 1}{x - 1})}{(x - 1) (\frac{x + 1}{x - 1} - 1)}$

Passaggio 5.2.5

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{(x - 1) \cdot 1 + (x - 1) (\frac{x + 1}{x - 1})}{(x - 1) (\frac{x + 1}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 1}$

Passaggio 5.2.6

Semplifica cancellando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.6.1

Elimina il fattore comune di $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.6.1.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{(x - 1) \cdot 1 + (x - 1) (\frac{x + 1}{x - 1})}{(x - 1) (\frac{x + 1}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 1}$

Passaggio 5.2.6.1.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{(x - 1) \cdot 1 + x + 1}{(x - 1) (\frac{x + 1}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 1}$

Passaggio 5.2.6.2

Elimina il fattore comune di $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.6.2.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{(x - 1) \cdot 1 + x + 1}{(x - 1) (\frac{x + 1}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 1}$

Passaggio 5.2.6.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{(x - 1) \cdot 1 + x + 1}{x + 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

Passaggio 5.2.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.7.1

Moltiplica $x - 1$ per $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{x - 1 + x + 1}{x + 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

Passaggio 5.2.7.2

Somma $x$ e $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2 x - 1 + 1}{x + 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

Passaggio 5.2.7.3

Somma $- 1$ e $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2 x + 0}{x + 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

Passaggio 5.2.7.4

Somma $2 x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2 x}{x + 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

Passaggio 5.2.8

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.8.1

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2 x}{x + 1 + x \cdot - 1 - 1 \cdot - 1}$

Passaggio 5.2.8.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2 x}{x + 1 - 1 \cdot x - 1 \cdot - 1}$

Passaggio 5.2.8.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2 x}{x + 1 - 1 \cdot x + 1}$

Passaggio 5.2.8.4

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2 x}{x + 1 - x + 1}$

Passaggio 5.2.8.5

Sottrai $x$ da $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2 x}{0 + 1 + 1}$

Passaggio 5.2.8.6

Somma $0$ e $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2 x}{1 + 1}$

Passaggio 5.2.8.7

Somma $1$ e $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2 x}{2}$

Passaggio 5.2.9

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.9.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2 x}{2}$

Passaggio 5.2.9.2

Dividi $x$ per $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (\frac{1 + x}{x - 1})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{(\frac{1 + x}{x - 1}) + 1}{(\frac{1 + x}{x - 1}) - 1}$

Passaggio 5.3.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Moltiplica $\frac{\frac{1 + x}{x - 1} + 1}{\frac{1 + x}{x - 1} - 1}$ per $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{x - 1}{x - 1} \cdot \frac{\frac{1 + x}{x - 1} + 1}{\frac{1 + x}{x - 1} - 1}$

Passaggio 5.3.3.2

Combina.

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{1 + x}{x - 1} + 1)}{(x - 1) (\frac{1 + x}{x - 1} - 1)}$

Passaggio 5.3.4

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{1 + x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{1 + x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 1}$

Passaggio 5.3.5

Semplifica cancellando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.1

Elimina il fattore comune di $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.1.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{1 + x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{1 + x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 1}$

Passaggio 5.3.5.1.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{1 + x + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{1 + x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 1}$

Passaggio 5.3.5.2

Elimina il fattore comune di $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.2.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{1 + x + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{1 + x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 1}$

Passaggio 5.3.5.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{1 + x + (x - 1) \cdot 1}{1 + x + (x - 1) \cdot - 1}$

Passaggio 5.3.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.6.1

Moltiplica $x - 1$ per $1$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{1 + x + x - 1}{1 + x + (x - 1) \cdot - 1}$

Passaggio 5.3.6.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{x + x + 0}{1 + x + (x - 1) \cdot - 1}$

Passaggio 5.3.6.3

Somma $x + x$ e $0$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{x + x}{1 + x + (x - 1) \cdot - 1}$

Passaggio 5.3.6.4

Somma $x$ e $x$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{2 x}{1 + x + (x - 1) \cdot - 1}$

Passaggio 5.3.7

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.7.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{2 x}{1 + x + x \cdot - 1 - 1 \cdot - 1}$

Passaggio 5.3.7.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{2 x}{1 + x - 1 \cdot x - 1 \cdot - 1}$

Passaggio 5.3.7.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{2 x}{1 + x - 1 \cdot x + 1}$

Passaggio 5.3.7.4

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{2 x}{1 + x - x + 1}$

Passaggio 5.3.7.5

Somma $1$ e $1$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{2 x}{x - x + 2}$

Passaggio 5.3.7.6

Sottrai $x$ da $x$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{2 x}{0 + 2}$

Passaggio 5.3.7.7

Somma $0$ e $2$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{2 x}{2}$

Passaggio 5.3.8

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.8.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{2 x}{2}$

Passaggio 5.3.8.2

Dividi $x$ per $1$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{1 + x}{x - 1}$ è l'inverso di $f (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{1 + x}{x - 1}$