Algebra Esempi

$f (x) = 25 x^{2} + 70 x + 49$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = 25 x^{2} + 70 x + 49$ come un'equazione.

$y = 25 x^{2} + 70 x + 49$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = 25 y^{2} + 70 y + 49$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $25 y^{2} + 70 y + 49 = x$ .

$25 y^{2} + 70 y + 49 = x$

Passaggio 3.2

Sottrai $x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$25 y^{2} + 70 y + 49 - x = 0$

Passaggio 3.3

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 3.4

Sostituisci i valori $a = 25$ , $b = 70$ e $c = 49 - x$ nella formula quadratica e risolvi per $y$ .

$\frac{- 70 \pm \sqrt{70^{2} - 4 \cdot (25 \cdot (49 - x))}}{2 \cdot 25}$

Passaggio 3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.1

Eleva $70$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{4900 - 4 \cdot 25 \cdot (49 - x)}}{2 \cdot 25}$

Passaggio 3.5.1.2

Moltiplica $- 4$ per $25$ .

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{4900 - 100 \cdot (49 - x)}}{2 \cdot 25}$

Passaggio 3.5.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{4900 - 100 \cdot 49 - 100 (- x)}}{2 \cdot 25}$

Passaggio 3.5.1.4

Moltiplica $- 100$ per $49$ .

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{4900 - 4900 - 100 (- x)}}{2 \cdot 25}$

Passaggio 3.5.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 100$ .

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{4900 - 4900 + 100 x}}{2 \cdot 25}$

Passaggio 3.5.1.6

Sottrai $4900$ da $4900$ .

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{0 + 100 x}}{2 \cdot 25}$

Passaggio 3.5.1.7

Somma $0$ e $100 x$ .

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{100 x}}{2 \cdot 25}$

Passaggio 3.5.1.8

Riscrivi $100$ come $10^{2}$ .

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{10^{2} x}}{2 \cdot 25}$

Passaggio 3.5.1.9

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{- 70 \pm 10 \sqrt{x}}{2 \cdot 25}$

Passaggio 3.5.2

Moltiplica $2$ per $25$ .

$y = \frac{- 70 \pm 10 \sqrt{x}}{50}$

Passaggio 3.5.3

Semplifica $\frac{- 70 \pm 10 \sqrt{x}}{50}$ .

$y = \frac{- 7 \pm \sqrt{x}}{5}$

Passaggio 3.6

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.1

Eleva $70$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{4900 - 4 \cdot 25 \cdot (49 - x)}}{2 \cdot 25}$

Passaggio 3.6.1.2

Moltiplica $- 4$ per $25$ .

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{4900 - 100 \cdot (49 - x)}}{2 \cdot 25}$

Passaggio 3.6.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{4900 - 100 \cdot 49 - 100 (- x)}}{2 \cdot 25}$

Passaggio 3.6.1.4

Moltiplica $- 100$ per $49$ .

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{4900 - 4900 - 100 (- x)}}{2 \cdot 25}$

Passaggio 3.6.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 100$ .

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{4900 - 4900 + 100 x}}{2 \cdot 25}$

Passaggio 3.6.1.6

Sottrai $4900$ da $4900$ .

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{0 + 100 x}}{2 \cdot 25}$

Passaggio 3.6.1.7

Somma $0$ e $100 x$ .

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{100 x}}{2 \cdot 25}$

Passaggio 3.6.1.8

Riscrivi $100$ come $10^{2}$ .

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{10^{2} x}}{2 \cdot 25}$

Passaggio 3.6.1.9

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{- 70 \pm 10 \sqrt{x}}{2 \cdot 25}$

Passaggio 3.6.2

Moltiplica $2$ per $25$ .

$y = \frac{- 70 \pm 10 \sqrt{x}}{50}$

Passaggio 3.6.3

Semplifica $\frac{- 70 \pm 10 \sqrt{x}}{50}$ .

$y = \frac{- 7 \pm \sqrt{x}}{5}$

Passaggio 3.6.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$y = \frac{- 7 + \sqrt{x}}{5}$

Passaggio 3.6.5

Riscrivi $- 7$ come $- 1 (7)$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 7 + \sqrt{x}}{5}$

Passaggio 3.6.6

Scomponi $- 1$ da $\sqrt{x}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 7 - 1 (- \sqrt{x})}{5}$

Passaggio 3.6.7

Scomponi $- 1$ da $- 1 (7) - 1 (- \sqrt{x})$ .

$y = \frac{- 1 (7 - \sqrt{x})}{5}$

Passaggio 3.6.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{7 - \sqrt{x}}{5}$

Passaggio 3.7

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.1

Eleva $70$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{4900 - 4 \cdot 25 \cdot (49 - x)}}{2 \cdot 25}$

Passaggio 3.7.1.2

Moltiplica $- 4$ per $25$ .

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{4900 - 100 \cdot (49 - x)}}{2 \cdot 25}$

Passaggio 3.7.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{4900 - 100 \cdot 49 - 100 (- x)}}{2 \cdot 25}$

Passaggio 3.7.1.4

Moltiplica $- 100$ per $49$ .

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{4900 - 4900 - 100 (- x)}}{2 \cdot 25}$

Passaggio 3.7.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 100$ .

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{4900 - 4900 + 100 x}}{2 \cdot 25}$

Passaggio 3.7.1.6

Sottrai $4900$ da $4900$ .

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{0 + 100 x}}{2 \cdot 25}$

Passaggio 3.7.1.7

Somma $0$ e $100 x$ .

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{100 x}}{2 \cdot 25}$

Passaggio 3.7.1.8

Riscrivi $100$ come $10^{2}$ .

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{10^{2} x}}{2 \cdot 25}$

Passaggio 3.7.1.9

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{- 70 \pm 10 \sqrt{x}}{2 \cdot 25}$

Passaggio 3.7.2

Moltiplica $2$ per $25$ .

$y = \frac{- 70 \pm 10 \sqrt{x}}{50}$

Passaggio 3.7.3

Semplifica $\frac{- 70 \pm 10 \sqrt{x}}{50}$ .

$y = \frac{- 7 \pm \sqrt{x}}{5}$

Passaggio 3.7.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$y = \frac{- 7 - \sqrt{x}}{5}$

Passaggio 3.7.5

Scomponi $- 1$ da $- 7 - \sqrt{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.5.1

Riscrivi $- 7$ come $- 1 (7)$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 7 - \sqrt{x}}{5}$

Passaggio 3.7.5.2

Scomponi $- 1$ da $- \sqrt{x}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 7 - (\sqrt{x})}{5}$

Passaggio 3.7.5.3

Scomponi $- 1$ da $- 1 (7) - (\sqrt{x})$ .

$y = \frac{- 1 (7 + \sqrt{x})}{5}$

Passaggio 3.7.5.4

Riscrivi $- 1 (7 + \sqrt{x})$ come $- (7 + \sqrt{x})$ .

$y = \frac{- (7 + \sqrt{x})}{5}$

Passaggio 3.7.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{7 + \sqrt{x}}{5}$

Passaggio 3.8

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$y = - \frac{7 - \sqrt{x}}{5}$

$y = - \frac{7 + \sqrt{x}}{5}$

$y = - \frac{7 - \sqrt{x}}{5}$

$y = - \frac{7 + \sqrt{x}}{5}$

Passaggio 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{7 - \sqrt{x}}{5}, - \frac{7 + \sqrt{x}}{5}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = - \frac{7 - \sqrt{x}}{5}, - \frac{7 + \sqrt{x}}{5}$ è l'inverso di $f (x) = 25 x^{2} + 70 x + 49$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Il dominio dell'inverso è l'intervallo della funzione originale e viceversa. Trova il dominio e l'intervallo di $f (x) = 25 x^{2} + 70 x + 49$ e $f^{- 1} (x) = - \frac{7 - \sqrt{x}}{5}, - \frac{7 + \sqrt{x}}{5}$ e confrontali.

Passaggio 5.2

Trova l'intervallo di $f (x) = 25 x^{2} + 70 x + 49$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

L'intervallo è l'insieme di tutti i valori $y$ validi. Usa il grafico per trovare l'intervallo.

Notazione degli intervalli:

$[0, \infty)$

Passaggio 5.3

Trova il dominio di $- \frac{7 - \sqrt{x}}{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta il radicando in $\sqrt{x}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x \geq 0$

Passaggio 5.3.2

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$[0, \infty)$

Passaggio 5.4

Trova il dominio di $f (x) = 25 x^{2} + 70 x + 49$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

$(- \infty, \infty)$

Passaggio 5.5

Poiché il dominio di $f^{- 1} (x) = - \frac{7 - \sqrt{x}}{5}, - \frac{7 + \sqrt{x}}{5}$ è l'intervallo di $f (x) = 25 x^{2} + 70 x + 49$ e l'intervallo di $f^{- 1} (x) = - \frac{7 - \sqrt{x}}{5}, - \frac{7 + \sqrt{x}}{5}$ è il dominio di $f (x) = 25 x^{2} + 70 x + 49$ , allora $f^{- 1} (x) = - \frac{7 - \sqrt{x}}{5}, - \frac{7 + \sqrt{x}}{5}$ è l'inverso di $f (x) = 25 x^{2} + 70 x + 49$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{7 - \sqrt{x}}{5}, - \frac{7 + \sqrt{x}}{5}$

Passaggio 6