Algebra Esempi

$f (x) = 2 x^{3} - x^{2} - 9 x + 6$

Passaggio 1

Imposta $2 x^{3} - x^{2} - 9 x + 6$ uguale a $0$ .

$2 x^{3} - x^{2} - 9 x + 6 = 0$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.1

Scomponi $2 x^{3} - x^{2} - 9 x + 6$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 2.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 2$

Passaggio 2.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 6, \pm 3, \pm 2, \pm 1.5$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci $2$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $2$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 2.1.3.1

Sostituisci $2$ nel polinomio.

$2 \cdot 2^{3} - 2^{2} - 9 \cdot 2 + 6$

Passaggio 2.1.3.2

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$2 \cdot 8 - 2^{2} - 9 \cdot 2 + 6$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica $2$ per $8$ .

$16 - 2^{2} - 9 \cdot 2 + 6$

Passaggio 2.1.3.4

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$16 - 1 \cdot 4 - 9 \cdot 2 + 6$

Passaggio 2.1.3.5

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$16 - 4 - 9 \cdot 2 + 6$

Passaggio 2.1.3.6

Sottrai $4$ da $16$ .

$12 - 9 \cdot 2 + 6$

Passaggio 2.1.3.7

Moltiplica $- 9$ per $2$ .

$12 - 18 + 6$

Passaggio 2.1.3.8

Sottrai $18$ da $12$ .

$- 6 + 6$

Passaggio 2.1.3.9

Somma $- 6$ e $6$ .

$0$

Passaggio 2.1.4

Poiché $2$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 2$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{2 x^{3} - x^{2} - 9 x + 6}{x - 2}$

Passaggio 2.1.5

Dividi $2 x^{3} - x^{2} - 9 x + 6$ per $x - 2$ .

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Passaggio 2.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$2$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$9 x$

$6$

Passaggio 2.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $2 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$2 x^{2}$
	$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	+	$6$

Passaggio 2.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	+	$6$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Passaggio 2.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $2 x^{3} - 4 x^{2}$

				$2 x^{2}$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Passaggio 2.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$

Passaggio 2.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$9 x$

Passaggio 2.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $3 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$2 x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$9 x$

Passaggio 2.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$2 x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$9 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$6 x$

Passaggio 2.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $3 x^{2} - 6 x$

				$2 x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$9 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$

Passaggio 2.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$2 x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$9 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$3 x$

Passaggio 2.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$2 x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$9 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$3 x$	+	$6$

Passaggio 2.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 3 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$3$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$9 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$3 x$	+	$6$

Passaggio 2.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$3$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$9 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$3 x$	+	$6$
							-	$3 x$	+	$6$

Passaggio 2.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 3 x + 6$

				$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$3$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$9 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$3 x$	+	$6$
							+	$3 x$	-	$6$

Passaggio 2.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$3$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$9 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$3 x$	+	$6$
							+	$3 x$	-	$6$
										$0$

Passaggio 2.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$2 x^{2} + 3 x - 3$

Passaggio 2.1.6

Scrivi $2 x^{3} - x^{2} - 9 x + 6$ come insieme di fattori.

$(x - 2) (2 x^{2} + 3 x - 3) = 0$

Passaggio 2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

$2 x^{2} + 3 x - 3 = 0$

Passaggio 2.3

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.3.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 2.3.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 2.4

Imposta $2 x^{2} + 3 x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $2 x^{2} + 3 x - 3$ uguale a $0$ .

$2 x^{2} + 3 x - 3 = 0$

Passaggio 2.4.2

Risolvi $2 x^{2} + 3 x - 3 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 2.4.2.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 2.4.2.2

Sostituisci i valori $a = 2$ , $b = 3$ e $c = - 3$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 3)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.4.2.3

Semplifica.

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Passaggio 2.4.2.3.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.4.2.3.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 3}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.4.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 2 \cdot - 3$ .

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Passaggio 2.4.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 3}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.4.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 8$ per $- 3$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 24}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.4.2.3.1.3

Somma $9$ e $24$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.4.2.3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{33}}{4}$

Passaggio 2.4.2.4

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - \frac{3 - \sqrt{33}}{4}, - \frac{3 + \sqrt{33}}{4}$

Passaggio 2.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 2) (2 x^{2} + 3 x - 3) = 0$ vera.

$x = 2, - \frac{3 - \sqrt{33}}{4}, - \frac{3 + \sqrt{33}}{4}$

Passaggio 3

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = 2, - \frac{3 - \sqrt{33}}{4}, - \frac{3 + \sqrt{33}}{4}$

Forma decimale:

$x = 2, 0.68614066 \dots, - 2.18614066 \dots$

Passaggio 4