Algebra Esempi

${(3 p + 4 q)}^{3}$

Passaggio 1

Utilizza il teorema di sviluppo binomiale per trovare ogni termine. Il teorema binomiale stabilisce che ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{3} \frac{3!}{(3 - k)! k!} \cdot {(3 p)}^{3 - k} \cdot {(4 q)}^{k}$

Passaggio 2

Espandi la sommatoria.

$\frac{3!}{(3 - 0)! 0!} \cdot {(3 p)}^{3 - 0} \cdot {(4 q)}^{0} + \frac{3!}{(3 - 1)! 1!} \cdot {(3 p)}^{3 - 1} \cdot {(4 q)}^{1} + \frac{3!}{(3 - 2)! 2!} \cdot {(3 p)}^{3 - 2} \cdot {(4 q)}^{2} + \frac{3!}{(3 - 3)! 3!} \cdot {(3 p)}^{3 - 3} \cdot {(4 q)}^{3}$

Passaggio 3

Semplifica gli esponenti di ciascun termine dell'espansione.

$1 \cdot {(3 p)}^{3} \cdot {(4 q)}^{0} + 3 \cdot {(3 p)}^{2} \cdot {(4 q)}^{1} + 3 \cdot {(3 p)}^{1} \cdot {(4 q)}^{2} + 1 \cdot {(3 p)}^{0} \cdot {(4 q)}^{3}$

Passaggio 4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Moltiplica ${(3 p)}^{3}$ per $1$ .

${(3 p)}^{3} \cdot {(4 q)}^{0} + 3 \cdot {(3 p)}^{2} \cdot {(4 q)}^{1} + 3 \cdot {(3 p)}^{1} \cdot {(4 q)}^{2} + 1 \cdot {(3 p)}^{0} \cdot {(4 q)}^{3}$

Passaggio 4.2

Applica la regola del prodotto a $3 p$ .

$3^{3} p^{3} \cdot {(4 q)}^{0} + 3 \cdot {(3 p)}^{2} \cdot {(4 q)}^{1} + 3 \cdot {(3 p)}^{1} \cdot {(4 q)}^{2} + 1 \cdot {(3 p)}^{0} \cdot {(4 q)}^{3}$

Passaggio 4.3

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$27 p^{3} \cdot {(4 q)}^{0} + 3 \cdot {(3 p)}^{2} \cdot {(4 q)}^{1} + 3 \cdot {(3 p)}^{1} \cdot {(4 q)}^{2} + 1 \cdot {(3 p)}^{0} \cdot {(4 q)}^{3}$

Passaggio 4.4

Applica la regola del prodotto a $4 q$ .

$27 p^{3} \cdot (4^{0} q^{0}) + 3 \cdot {(3 p)}^{2} \cdot {(4 q)}^{1} + 3 \cdot {(3 p)}^{1} \cdot {(4 q)}^{2} + 1 \cdot {(3 p)}^{0} \cdot {(4 q)}^{3}$

Passaggio 4.5

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$27 \cdot 4^{0} p^{3} q^{0} + 3 \cdot {(3 p)}^{2} \cdot {(4 q)}^{1} + 3 \cdot {(3 p)}^{1} \cdot {(4 q)}^{2} + 1 \cdot {(3 p)}^{0} \cdot {(4 q)}^{3}$

Passaggio 4.6

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$27 \cdot 1 p^{3} q^{0} + 3 \cdot {(3 p)}^{2} \cdot {(4 q)}^{1} + 3 \cdot {(3 p)}^{1} \cdot {(4 q)}^{2} + 1 \cdot {(3 p)}^{0} \cdot {(4 q)}^{3}$

Passaggio 4.7

Moltiplica $27$ per $1$ .

$27 p^{3} q^{0} + 3 \cdot {(3 p)}^{2} \cdot {(4 q)}^{1} + 3 \cdot {(3 p)}^{1} \cdot {(4 q)}^{2} + 1 \cdot {(3 p)}^{0} \cdot {(4 q)}^{3}$

Passaggio 4.8

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$27 p^{3} \cdot 1 + 3 \cdot {(3 p)}^{2} \cdot {(4 q)}^{1} + 3 \cdot {(3 p)}^{1} \cdot {(4 q)}^{2} + 1 \cdot {(3 p)}^{0} \cdot {(4 q)}^{3}$

Passaggio 4.9

Moltiplica $27$ per $1$ .

$27 p^{3} + 3 \cdot {(3 p)}^{2} \cdot {(4 q)}^{1} + 3 \cdot {(3 p)}^{1} \cdot {(4 q)}^{2} + 1 \cdot {(3 p)}^{0} \cdot {(4 q)}^{3}$

Passaggio 4.10

Applica la regola del prodotto a $3 p$ .

$27 p^{3} + 3 \cdot (3^{2} p^{2}) \cdot {(4 q)}^{1} + 3 \cdot {(3 p)}^{1} \cdot {(4 q)}^{2} + 1 \cdot {(3 p)}^{0} \cdot {(4 q)}^{3}$

Passaggio 4.11

Moltiplica $3$ per $3^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.11.1

Sposta $3^{2}$ .

$27 p^{3} + 3^{2} \cdot 3 \cdot p^{2} \cdot {(4 q)}^{1} + 3 \cdot {(3 p)}^{1} \cdot {(4 q)}^{2} + 1 \cdot {(3 p)}^{0} \cdot {(4 q)}^{3}$

Passaggio 4.11.2

Moltiplica $3^{2}$ per $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.11.2.1

Eleva $3$ alla potenza di $1$ .

$27 p^{3} + 3^{2} \cdot 3^{1} \cdot p^{2} \cdot {(4 q)}^{1} + 3 \cdot {(3 p)}^{1} \cdot {(4 q)}^{2} + 1 \cdot {(3 p)}^{0} \cdot {(4 q)}^{3}$

Passaggio 4.11.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$27 p^{3} + 3^{2 + 1} \cdot p^{2} \cdot {(4 q)}^{1} + 3 \cdot {(3 p)}^{1} \cdot {(4 q)}^{2} + 1 \cdot {(3 p)}^{0} \cdot {(4 q)}^{3}$

Passaggio 4.11.3

Somma $2$ e $1$ .

$27 p^{3} + 3^{3} \cdot p^{2} \cdot {(4 q)}^{1} + 3 \cdot {(3 p)}^{1} \cdot {(4 q)}^{2} + 1 \cdot {(3 p)}^{0} \cdot {(4 q)}^{3}$

Passaggio 4.12

Semplifica $3^{3} \cdot p^{2} \cdot {(4 q)}^{1}$ .

$27 p^{3} + 3^{3} \cdot p^{2} \cdot (4 q) + 3 \cdot {(3 p)}^{1} \cdot {(4 q)}^{2} + 1 \cdot {(3 p)}^{0} \cdot {(4 q)}^{3}$

Passaggio 4.13

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$27 p^{3} + 3^{3} \cdot 4 p^{2} q + 3 \cdot {(3 p)}^{1} \cdot {(4 q)}^{2} + 1 \cdot {(3 p)}^{0} \cdot {(4 q)}^{3}$

Passaggio 4.14

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$27 p^{3} + 27 \cdot 4 p^{2} q + 3 \cdot {(3 p)}^{1} \cdot {(4 q)}^{2} + 1 \cdot {(3 p)}^{0} \cdot {(4 q)}^{3}$

Passaggio 4.15

Moltiplica $27$ per $4$ .

$27 p^{3} + 108 p^{2} q + 3 \cdot {(3 p)}^{1} \cdot {(4 q)}^{2} + 1 \cdot {(3 p)}^{0} \cdot {(4 q)}^{3}$

Passaggio 4.16

Semplifica.

$27 p^{3} + 108 p^{2} q + 3 \cdot (3 p) \cdot {(4 q)}^{2} + 1 \cdot {(3 p)}^{0} \cdot {(4 q)}^{3}$

Passaggio 4.17

Moltiplica $3$ per $3$ .

$27 p^{3} + 108 p^{2} q + 9 p \cdot {(4 q)}^{2} + 1 \cdot {(3 p)}^{0} \cdot {(4 q)}^{3}$

Passaggio 4.18

Applica la regola del prodotto a $4 q$ .

$27 p^{3} + 108 p^{2} q + 9 p \cdot (4^{2} q^{2}) + 1 \cdot {(3 p)}^{0} \cdot {(4 q)}^{3}$

Passaggio 4.19

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$27 p^{3} + 108 p^{2} q + 9 \cdot 4^{2} p q^{2} + 1 \cdot {(3 p)}^{0} \cdot {(4 q)}^{3}$

Passaggio 4.20

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$27 p^{3} + 108 p^{2} q + 9 \cdot 16 p q^{2} + 1 \cdot {(3 p)}^{0} \cdot {(4 q)}^{3}$

Passaggio 4.21

Moltiplica $9$ per $16$ .

$27 p^{3} + 108 p^{2} q + 144 p q^{2} + 1 \cdot {(3 p)}^{0} \cdot {(4 q)}^{3}$

Passaggio 4.22

Moltiplica ${(3 p)}^{0}$ per $1$ .

$27 p^{3} + 108 p^{2} q + 144 p q^{2} + {(3 p)}^{0} \cdot {(4 q)}^{3}$

Passaggio 4.23

Applica la regola del prodotto a $3 p$ .

$27 p^{3} + 108 p^{2} q + 144 p q^{2} + 3^{0} p^{0} \cdot {(4 q)}^{3}$

Passaggio 4.24

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$27 p^{3} + 108 p^{2} q + 144 p q^{2} + 1 p^{0} \cdot {(4 q)}^{3}$

Passaggio 4.25

Moltiplica $p^{0}$ per $1$ .

$27 p^{3} + 108 p^{2} q + 144 p q^{2} + p^{0} \cdot {(4 q)}^{3}$

Passaggio 4.26

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$27 p^{3} + 108 p^{2} q + 144 p q^{2} + 1 \cdot {(4 q)}^{3}$

Passaggio 4.27

Moltiplica ${(4 q)}^{3}$ per $1$ .

$27 p^{3} + 108 p^{2} q + 144 p q^{2} + {(4 q)}^{3}$

Passaggio 4.28

Applica la regola del prodotto a $4 q$ .

$27 p^{3} + 108 p^{2} q + 144 p q^{2} + 4^{3} q^{3}$

Passaggio 4.29

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$27 p^{3} + 108 p^{2} q + 144 p q^{2} + 64 q^{3}$