Algebra Esempi

${(x - \frac{1}{x})}^{3}$

Passaggio 1

Utilizza il teorema di sviluppo binomiale per trovare ogni termine. Il teorema binomiale stabilisce che ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{3} \frac{3!}{(3 - k)! k!} \cdot {(x)}^{3 - k} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{k}$

Passaggio 2

Espandi la sommatoria.

$\frac{3!}{(3 - 0)! 0!} {(x)}^{3 - 0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{0} + \frac{3!}{(3 - 1)! 1!} {(x)}^{3 - 1} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{1} + \frac{3!}{(3 - 2)! 2!} {(x)}^{3 - 2} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{2} + \frac{3!}{(3 - 3)! 3!} {(x)}^{3 - 3} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Passaggio 3

Semplifica gli esponenti di ciascun termine dell'espansione.

$1 \cdot {(x)}^{3} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{0} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Passaggio 4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Moltiplica ${(x)}^{3}$ per $1$ .

${(x)}^{3} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{0} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Passaggio 4.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{1}{x}$ .

$x^{3} \cdot ({(- 1)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{0}) + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Passaggio 4.2.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{x}$ .

$x^{3} \cdot ({(- 1)}^{0} \frac{1^{0}}{x^{0}}) + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Passaggio 4.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

${(- 1)}^{0} x^{3} \frac{1^{0}}{x^{0}} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Passaggio 4.4

Elimina il fattore comune di $x^{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Scomponi $x^{0}$ da ${(- 1)}^{0} x^{3}$ .

$x^{0} ({(- 1)}^{0} x^{3}) \frac{1^{0}}{x^{0}} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Passaggio 4.4.2

Elimina il fattore comune.

$x^{0} ({(- 1)}^{0} x^{3}) \frac{1^{0}}{x^{0}} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Passaggio 4.4.3

Riscrivi l'espressione.

${(- 1)}^{0} x^{3} \cdot 1^{0} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Passaggio 4.5

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$1 x^{3} \cdot 1^{0} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Passaggio 4.6

Moltiplica $1$ per $1^{0}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.6.1

Sposta $1^{0}$ .

$1^{0} \cdot 1 x^{3} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Passaggio 4.6.2

Moltiplica $1^{0}$ per $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.2.1

Eleva $1$ alla potenza di $1$ .

$1^{0} \cdot 1^{1} x^{3} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Passaggio 4.6.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$1^{0 + 1} x^{3} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Passaggio 4.6.3

Somma $0$ e $1$ .

$1^{1} x^{3} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Passaggio 4.7

Semplifica $1^{1} x^{3}$ .

$x^{3} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Passaggio 4.8

Semplifica.

$x^{3} + 3 x^{2} \cdot (- \frac{1}{x}) + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Passaggio 4.9

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 4.9.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{x}$ nel numeratore.

$x^{3} + 3 x^{2} \cdot \frac{- 1}{x} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Passaggio 4.9.2

Scomponi $x$ da $3 x^{2}$ .

$x^{3} + x (3 x) \cdot \frac{- 1}{x} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Passaggio 4.9.3

Elimina il fattore comune.

$x^{3} + x (3 x) \cdot \frac{- 1}{x} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Passaggio 4.9.4

Riscrivi l'espressione.

$x^{3} + 3 x \cdot - 1 + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Passaggio 4.10

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$x^{3} - 3 x + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Passaggio 4.11

Semplifica.

$x^{3} - 3 x + 3 \cdot x \cdot {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Passaggio 4.12

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

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Passaggio 4.12.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{1}{x}$ .

$x^{3} - 3 x + 3 x \cdot ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{x})}^{2}) + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Passaggio 4.12.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{x}$ .

$x^{3} - 3 x + 3 x \cdot ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{x^{2}}) + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Passaggio 4.13

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$x^{3} - 3 x + 3 x \cdot (1 \frac{1^{2}}{x^{2}}) + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Passaggio 4.14

Moltiplica $\frac{1^{2}}{x^{2}}$ per $1$ .

$x^{3} - 3 x + 3 x \cdot \frac{1^{2}}{x^{2}} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Passaggio 4.15

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$x^{3} - 3 x + 3 x \cdot \frac{1}{x^{2}} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Passaggio 4.16

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 4.16.1

Scomponi $x$ da $3 x$ .

$x^{3} - 3 x + x \cdot 3 \cdot \frac{1}{x^{2}} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Passaggio 4.16.2

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$x^{3} - 3 x + x \cdot 3 \cdot \frac{1}{x \cdot x} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Passaggio 4.16.3

Elimina il fattore comune.

$x^{3} - 3 x + x \cdot 3 \cdot \frac{1}{x \cdot x} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Passaggio 4.16.4

Riscrivi l'espressione.

$x^{3} - 3 x + 3 \cdot \frac{1}{x} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Passaggio 4.17

$3$ e $\frac{1}{x}$ .

$x^{3} - 3 x + \frac{3}{x} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Passaggio 4.18

Moltiplica ${(x)}^{0}$ per $1$ .

$x^{3} - 3 x + \frac{3}{x} + {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Passaggio 4.19

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$x^{3} - 3 x + \frac{3}{x} + 1 \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Passaggio 4.20

Moltiplica ${(- \frac{1}{x})}^{3}$ per $1$ .

$x^{3} - 3 x + \frac{3}{x} + {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Passaggio 4.21

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.21.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{1}{x}$ .

$x^{3} - 3 x + \frac{3}{x} + {(- 1)}^{3} {(\frac{1}{x})}^{3}$

Passaggio 4.21.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{x}$ .

$x^{3} - 3 x + \frac{3}{x} + {(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{x^{3}}$

Passaggio 4.22

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$x^{3} - 3 x + \frac{3}{x} - \frac{1^{3}}{x^{3}}$

Passaggio 4.23

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$x^{3} - 3 x + \frac{3}{x} - \frac{1}{x^{3}}$