Algebra Esempi

$y = - 1 + 6 \cos (\frac{2 π}{7} (x - 5))$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 1 + 6 \cos (\frac{2 π}{7} \cdot (x - 5))$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [6 \cos (\frac{2 π}{7} \cdot (x - 5))]$ .

$\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [6 \cos (\frac{2 π}{7} \cdot (x - 5))]$

Passaggio 1.1.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [6 \cos (\frac{2 π}{7} \cdot (x - 5))]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [6 \cos (\frac{2 π}{7} \cdot (x - 5))]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 \cos (\frac{2 π}{7} (x - 5))$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{2 π}{7} (x - 5))]$ .

$0 + 6 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{2 π}{7} (x - 5))]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = \frac{2 π}{7} (x - 5)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{2 π}{7} (x - 5)$ .

$0 + 6 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{2 π}{7} (x - 5)])$

Passaggio 1.2.2.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$0 + 6 (- \sin (\frac{2 π}{7} (x - 5)) \frac{d}{d x} [\frac{2 π}{7} (x - 5)])$

Passaggio 1.2.3

Poiché $\frac{2 π}{7}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2 π}{7} (x - 5)$ rispetto a $x$ è $\frac{2 π}{7} \frac{d}{d x} [x - 5]$ .

$0 + 6 (- \sin (\frac{2 π}{7} (x - 5)) (\frac{2 π}{7} \frac{d}{d x} [x - 5]))$

Passaggio 1.2.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$0 + 6 (- \sin (\frac{2 π}{7} (x - 5)) (\frac{2 π}{7} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])))$

Passaggio 1.2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 + 6 (- \sin (\frac{2 π}{7} (x - 5)) (\frac{2 π}{7} (1 + \frac{d}{d x} [- 5])))$

Passaggio 1.2.6

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + 6 (- \sin (\frac{2 π}{7} (x - 5)) (\frac{2 π}{7} (1 + 0)))$

Passaggio 1.2.7

Somma $1$ e $0$ .

$0 + 6 (- \sin (\frac{2 π}{7} (x - 5)) (\frac{2 π}{7} \cdot 1))$

Passaggio 1.2.8

Moltiplica $\frac{2 π}{7}$ per $1$ .

$0 + 6 (- \sin (\frac{2 π}{7} (x - 5)) \frac{2 π}{7})$

Passaggio 1.2.9

$\frac{2 π}{7}$ e $\sin (\frac{2 π}{7} (x - 5))$ .

$0 + 6 (- \frac{2 π \sin (\frac{2 π}{7} (x - 5))}{7})$

Passaggio 1.2.10

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$0 - 6 \frac{2 π \sin (\frac{2 π}{7} (x - 5))}{7}$

Passaggio 1.2.11

$- 6$ e $\frac{2 π \sin (\frac{2 π}{7} (x - 5))}{7}$ .

$0 + \frac{- 6 (2 π \sin (\frac{2 π}{7} (x - 5)))}{7}$

Passaggio 1.2.12

Moltiplica $2$ per $- 6$ .

$0 + \frac{- 12 (π \sin (\frac{2 π}{7} (x - 5)))}{7}$

Passaggio 1.2.13

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$0 - \frac{12 π \sin (\frac{2 π}{7} (x - 5))}{7}$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$0 - \frac{12 π \sin (\frac{2 π}{7} x + \frac{2 π}{7} \cdot - 5)}{7}$

Passaggio 1.3.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

$\frac{2 π}{7}$ e $- 5$ .

$0 - \frac{12 π \sin (\frac{2 π}{7} x + \frac{2 π \cdot - 5}{7})}{7}$

Passaggio 1.3.2.2

Moltiplica $- 5$ per $2$ .

$0 - \frac{12 π \sin (\frac{2 π}{7} x + \frac{- 10 π}{7})}{7}$

Passaggio 1.3.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$0 - \frac{12 π \sin (\frac{2 π}{7} x - \frac{10 π}{7})}{7}$

Passaggio 1.3.2.4

$\frac{2 π}{7}$ e $x$ .

$0 - \frac{12 π \sin (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7})}{7}$

Passaggio 1.3.2.5

Sottrai $\frac{12 π \sin (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7})}{7}$ da $0$ .

$- \frac{12 π \sin (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7})}{7}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $- \frac{12 π}{7}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{12 π \sin (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7})}{7}$ rispetto a $x$ è $- \frac{12 π}{7} \frac{d}{d x} [\sin (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7})]$ .

$f'' (x) = - \frac{12 π}{7} \cdot \frac{d}{d x} \sin (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7})$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7}$ .

$f'' (x) = - \frac{12 π}{7} \cdot (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7}))$

Passaggio 2.2.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$f'' (x) = - \frac{12 π}{7} \cdot (\cos (u) \frac{d}{d x} (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7}))$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7}$ .

$f'' (x) = - \frac{12 π}{7} \cdot (\cos (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7}) \frac{d}{d x} (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7}))$

Passaggio 2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

$\cos (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7})$ e $\frac{12 π}{7}$ .

$f'' (x) = - \frac{\cos (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7}) (12 π)}{7} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7})$

Passaggio 2.3.2

Sposta $12$ alla sinistra di $\cos (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7})$ .

$f'' (x) = - \frac{12 \cdot (\cos (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7}) π)}{7} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7})$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{2 π x}{7}] + \frac{d}{d x} [- \frac{10 π}{7}]$ .

$f'' (x) = - \frac{12 \cos (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7}) π}{7} \cdot (\frac{d}{d x} (\frac{2 π x}{7}) + \frac{d}{d x} (- \frac{10 π}{7}))$

Passaggio 2.3.4

Poiché $\frac{2 π}{7}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2 π x}{7}$ rispetto a $x$ è $\frac{2 π}{7} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{12 \cos (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7}) π}{7} \cdot (\frac{2 π}{7} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{10 π}{7}))$

Passaggio 2.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{12 \cos (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7}) π}{7} \cdot (\frac{2 π}{7} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{10 π}{7}))$

Passaggio 2.3.6

Moltiplica $\frac{2 π}{7}$ per $1$ .

$f'' (x) = - \frac{12 \cos (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7}) π}{7} \cdot (\frac{2 π}{7} + \frac{d}{d x} (- \frac{10 π}{7}))$

Passaggio 2.3.7

Poiché $- \frac{10 π}{7}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{10 π}{7}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - \frac{12 \cos (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7}) π}{7} \cdot (\frac{2 π}{7} + 0)$

Passaggio 2.3.8

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.8.1

Somma $\frac{2 π}{7}$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{12 \cos (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7}) π}{7} \cdot \frac{2 π}{7}$

Passaggio 2.3.8.2

Moltiplica $\frac{2 π}{7}$ per $\frac{12 \cos (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7}) π}{7}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 π (12 \cos (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7}) π)}{7 \cdot 7}$

Passaggio 2.3.8.3

Moltiplica $12$ per $2$ .

$f'' (x) = - \frac{24 π (\cos (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7}) π)}{7 \cdot 7}$

Passaggio 2.4

Eleva $π$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - \frac{24 (π π) \cos (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7})}{7 \cdot 7}$

Passaggio 2.5

Eleva $π$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - \frac{24 (π π) \cos (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7})}{7 \cdot 7}$

Passaggio 2.6

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - \frac{24 π^{1 + 1} \cos (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7})}{7 \cdot 7}$

Passaggio 2.7

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = - \frac{24 π^{2} \cos (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7})}{7 \cdot 7}$

Passaggio 2.8

Moltiplica $7$ per $7$ .

$f'' (x) = - \frac{24 π^{2} \cos (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7})}{49}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- \frac{12 π \sin (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7})}{7} = 0$

Passaggio 4

Poni il numeratore uguale a zero.

$12 π \sin (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7}) = 0$

Passaggio 5

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Dividi per $12 π$ ciascun termine in $12 π \sin (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7}) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Dividi per $12 π$ ciascun termine in $12 π \sin (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7}) = 0$ .

$\frac{12 π \sin (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7})}{12 π} = \frac{0}{12 π}$

Passaggio 5.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Elimina il fattore comune di $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{12 π \sin (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7})}{12 π} = \frac{0}{12 π}$

Passaggio 5.1.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{π \sin (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7})}{π} = \frac{0}{12 π}$

Passaggio 5.1.2.2

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{π \sin (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7})}{π} = \frac{0}{12 π}$

Passaggio 5.1.2.2.2

Dividi $\sin (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7})$ per $1$ .

$\sin (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7}) = \frac{0}{12 π}$

Passaggio 5.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Elimina il fattore comune di $0$ e $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1.1

Scomponi $12$ da $0$ .

$\sin (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7}) = \frac{12 (0)}{12 π}$

Passaggio 5.1.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1.2.1

Scomponi $12$ da $12 π$ .

$\sin (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7}) = \frac{12 (0)}{12 (π)}$

Passaggio 5.1.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\sin (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7}) = \frac{12 \cdot 0}{12 π}$

Passaggio 5.1.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\sin (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7}) = \frac{0}{π}$

Passaggio 5.1.3.2

Dividi $0$ per $π$ .

$\sin (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7}) = 0$

Passaggio 5.2

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7} = \arcsin (0)$

Passaggio 5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Il valore esatto di $\arcsin (0)$ è $0$ .

$\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7} = 0$

Passaggio 5.4

Somma $\frac{10 π}{7}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{2 π x}{7} = \frac{10 π}{7}$

Passaggio 5.5

Poiché l'espressione su ogni lato dell'equazione ha lo stesso denominatore, i numeratori devono essere uguali.

$2 π x = 10 π$

Passaggio 5.6

Dividi per $2 π$ ciascun termine in $2 π x = 10 π$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Dividi per $2 π$ ciascun termine in $2 π x = 10 π$ .

$\frac{2 π x}{2 π} = \frac{10 π}{2 π}$

Passaggio 5.6.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 π x}{2 π} = \frac{10 π}{2 π}$

Passaggio 5.6.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{π x}{π} = \frac{10 π}{2 π}$

Passaggio 5.6.2.2

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{π x}{π} = \frac{10 π}{2 π}$

Passaggio 5.6.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{10 π}{2 π}$

Passaggio 5.6.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.3.1

Elimina il fattore comune di $10$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.3.1.1

Scomponi $2$ da $10 π$ .

$x = \frac{2 (5 π)}{2 π}$

Passaggio 5.6.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.3.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 π$ .

$x = \frac{2 (5 π)}{2 (π)}$

Passaggio 5.6.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{2 (5 π)}{2 π}$

Passaggio 5.6.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{5 π}{π}$

Passaggio 5.6.3.2

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{5 π}{π}$

Passaggio 5.6.3.2.2

Dividi $5$ per $1$ .

$x = 5$

Passaggio 5.7

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7} = π - 0$

Passaggio 5.8

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.1

Sottrai $0$ da $π$ .

$\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7} = π$

Passaggio 5.8.2

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.2.1

Somma $\frac{10 π}{7}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{2 π x}{7} = π + \frac{10 π}{7}$

Passaggio 5.8.2.2

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{7}{7}$ .

$\frac{2 π x}{7} = π \cdot \frac{7}{7} + \frac{10 π}{7}$

Passaggio 5.8.2.3

$π$ e $\frac{7}{7}$ .

$\frac{2 π x}{7} = \frac{π \cdot 7}{7} + \frac{10 π}{7}$

Passaggio 5.8.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 π x}{7} = \frac{π \cdot 7 + 10 π}{7}$

Passaggio 5.8.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.2.5.1

Sposta $7$ alla sinistra di $π$ .

$\frac{2 π x}{7} = \frac{7 \cdot π + 10 π}{7}$

Passaggio 5.8.2.5.2

Somma $7 π$ e $10 π$ .

$\frac{2 π x}{7} = \frac{17 π}{7}$

Passaggio 5.8.3

Poiché l'espressione su ogni lato dell'equazione ha lo stesso denominatore, i numeratori devono essere uguali.

$2 π x = 17 π$

Passaggio 5.8.4

Dividi per $2 π$ ciascun termine in $2 π x = 17 π$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.4.1

Dividi per $2 π$ ciascun termine in $2 π x = 17 π$ .

$\frac{2 π x}{2 π} = \frac{17 π}{2 π}$

Passaggio 5.8.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.4.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 π x}{2 π} = \frac{17 π}{2 π}$

Passaggio 5.8.4.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{π x}{π} = \frac{17 π}{2 π}$

Passaggio 5.8.4.2.2

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.4.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{π x}{π} = \frac{17 π}{2 π}$

Passaggio 5.8.4.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{17 π}{2 π}$

Passaggio 5.8.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.4.3.1

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.4.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{17 π}{2 π}$

Passaggio 5.8.4.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{17}{2}$

Passaggio 5.9

La soluzione dell'equazione $\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7} = 0$ .

$x = 5, \frac{17}{2}$

Passaggio 6

Calcola la derivata seconda per $x = 5$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \frac{24 π^{2} \cos (\frac{2 π (5)}{7} - \frac{10 π}{7})}{49}$

Passaggio 7

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Moltiplica $5$ per $2$ .

$- \frac{24 π^{2} \cos (\frac{10 π}{7} - \frac{10 π}{7})}{49}$

Passaggio 7.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{24 π^{2} \cos (\frac{10 π - 10 π}{7})}{49}$

Passaggio 7.2.2

Sottrai $10 π$ da $10 π$ .

$- \frac{24 π^{2} \cos (\frac{0}{7})}{49}$

Passaggio 7.2.3

Dividi $0$ per $7$ .

$- \frac{24 π^{2} \cos (0)}{49}$

Passaggio 7.2.4

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$- \frac{24 π^{2} \cdot 1}{49}$

Passaggio 7.2.5

Moltiplica $24$ per $1$ .

$- \frac{24 π^{2}}{49}$

Passaggio 8

$x = 5$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 5$ è un massimo locale

Passaggio 9

Trova il valore di y quando $x = 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sostituisci la variabile $x$ con $5$ nell'espressione.

$f (5) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 π}{7} \cdot ((5) - 5))$

Passaggio 9.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.1

Sottrai $5$ da $5$ .

$f (5) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 π}{7} \cdot 0)$

Passaggio 9.2.1.2

Moltiplica $\frac{2 π}{7}$ per $0$ .

$f (5) = - 1 + 6 \cos (0)$

Passaggio 9.2.1.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (5) = - 1 + 6 \cdot 1$

Passaggio 9.2.1.4

Moltiplica $6$ per $1$ .

$f (5) = - 1 + 6$

Passaggio 9.2.2

Somma $- 1$ e $6$ .

$f (5) = 5$

Passaggio 9.2.3

La risposta finale è $5$ .

$y = 5$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{17}{2}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \frac{24 π^{2} \cos (\frac{2 π (\frac{17}{2})}{7} - \frac{10 π}{7})}{49}$

Passaggio 11

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.1

$\frac{17}{2}$ e $2$ .

$- \frac{24 π^{2} \cos (\frac{\frac{17 \cdot 2}{2} π}{7} - \frac{10 π}{7})}{49}$

Passaggio 11.1.2

$\frac{17 \cdot 2}{2}$ e $π$ .

$- \frac{24 π^{2} \cos (\frac{\frac{17 \cdot 2 π}{2}}{7} - \frac{10 π}{7})}{49}$

Passaggio 11.2

Moltiplica $17$ per $2$ .

$- \frac{24 π^{2} \cos (\frac{\frac{34 π}{2}}{7} - \frac{10 π}{7})}{49}$

Passaggio 11.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Riduci l'espressione $\frac{34 π}{2}$ eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1.1

Scomponi $2$ da $34 π$ .

$- \frac{24 π^{2} \cos (\frac{\frac{2 (17 π)}{2}}{7} - \frac{10 π}{7})}{49}$

Passaggio 11.3.1.2

Scomponi $2$ da $2$ .

$- \frac{24 π^{2} \cos (\frac{\frac{2 (17 π)}{2 (1)}}{7} - \frac{10 π}{7})}{49}$

Passaggio 11.3.1.3

Elimina il fattore comune.

$- \frac{24 π^{2} \cos (\frac{\frac{2 (17 π)}{2 \cdot 1}}{7} - \frac{10 π}{7})}{49}$

Passaggio 11.3.1.4

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{24 π^{2} \cos (\frac{\frac{17 π}{1}}{7} - \frac{10 π}{7})}{49}$

Passaggio 11.3.2

Dividi $17 π$ per $1$ .

$- \frac{24 π^{2} \cos (\frac{17 π}{7} - \frac{10 π}{7})}{49}$

Passaggio 11.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{24 π^{2} \cos (\frac{17 π - 10 π}{7})}{49}$

Passaggio 11.4.2

Sottrai $10 π$ da $17 π$ .

$- \frac{24 π^{2} \cos (\frac{7 π}{7})}{49}$

Passaggio 11.4.3

Elimina il fattore comune di $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.3.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{24 π^{2} \cos (\frac{7 π}{7})}{49}$

Passaggio 11.4.3.2

Dividi $π$ per $1$ .

$- \frac{24 π^{2} \cos (π)}{49}$

Passaggio 11.4.4

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$- \frac{24 π^{2} (- \cos (0))}{49}$

Passaggio 11.4.5

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$- \frac{24 π^{2} (- 1 \cdot 1)}{49}$

Passaggio 11.4.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \frac{24 π^{2} \cdot - 1}{49}$

Passaggio 11.4.7

Moltiplica $- 1$ per $24$ .

$- \frac{- 24 π^{2}}{49}$

Passaggio 11.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- - \frac{24 π^{2}}{49}$

Passaggio 11.6

Moltiplica $- - \frac{24 π^{2}}{49}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.6.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \frac{24 π^{2}}{49}$

Passaggio 11.6.2

Moltiplica $\frac{24 π^{2}}{49}$ per $1$ .

$\frac{24 π^{2}}{49}$

Passaggio 12

$x = \frac{17}{2}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{17}{2}$ è un minimo locale

Passaggio 13

Trova il valore di y quando $x = \frac{17}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{17}{2}$ nell'espressione.

$f (\frac{17}{2}) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 π}{7} \cdot ((\frac{17}{2}) - 5))$

Passaggio 13.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1.1

Per scrivere $- 5$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{17}{2}) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 π}{7} \cdot (\frac{17}{2} - 5 \cdot \frac{2}{2}))$

Passaggio 13.2.1.2

$- 5$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{17}{2}) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 π}{7} \cdot (\frac{17}{2} + \frac{- 5 \cdot 2}{2}))$

Passaggio 13.2.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{17}{2}) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 π}{7} \cdot \frac{17 - 5 \cdot 2}{2})$

Passaggio 13.2.1.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1.4.1

Moltiplica $- 5$ per $2$ .

$f (\frac{17}{2}) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 π}{7} \cdot \frac{17 - 10}{2})$

Passaggio 13.2.1.4.2

Sottrai $10$ da $17$ .

$f (\frac{17}{2}) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 π}{7} \cdot \frac{7}{2})$

Passaggio 13.2.1.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1.5.1

Scomponi $2$ da $2 π$ .

$f (\frac{17}{2}) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 (π)}{7} \cdot \frac{7}{2})$

Passaggio 13.2.1.5.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{17}{2}) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 π}{7} \cdot \frac{7}{2})$

Passaggio 13.2.1.5.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{17}{2}) = - 1 + 6 \cos (\frac{π}{7} \cdot 7)$

Passaggio 13.2.1.6

Elimina il fattore comune di $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1.6.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{17}{2}) = - 1 + 6 \cos (\frac{π}{7} \cdot 7)$

Passaggio 13.2.1.6.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{17}{2}) = - 1 + 6 \cos (π)$

Passaggio 13.2.1.7

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$f (\frac{17}{2}) = - 1 + 6 (- \cos (0))$

Passaggio 13.2.1.8

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (\frac{17}{2}) = - 1 + 6 (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 13.2.1.9

Moltiplica $6 (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1.9.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (\frac{17}{2}) = - 1 + 6 \cdot - 1$

Passaggio 13.2.1.9.2

Moltiplica $6$ per $- 1$ .

$f (\frac{17}{2}) = - 1 - 6$

Passaggio 13.2.2

Sottrai $6$ da $- 1$ .

$f (\frac{17}{2}) = - 7$

Passaggio 13.2.3

La risposta finale è $- 7$ .

$y = - 7$

Passaggio 14

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 π}{7} \cdot (x - 5))$ .

$(5, 5)$ è un massimo locale

$(\frac{17}{2}, - 7)$ è un minimo locale

Passaggio 15