Algebra Esempi

$y = 4^{2 x + 9}$

Passaggio 1

Scambia le variabili.

$x = 4^{2 y + 9}$

Passaggio 2

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi l'equazione come $4^{2 y + 9} = x$ .

$4^{2 y + 9} = x$

Passaggio 2.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (4^{2 y + 9}) = \ln (x)$

Passaggio 2.3

Espandi $\ln (4^{2 y + 9})$ spostando $2 y + 9$ fuori dal logaritmo.

$(2 y + 9) \ln (4) = \ln (x)$

Passaggio 2.4

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 y \ln (4) + 9 \ln (4) = \ln (x)$

Passaggio 2.5

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$2 y \ln (4) + 9 \ln (4) - \ln (x) = 0$

Passaggio 2.6

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Sottrai $9 \ln (4)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 y \ln (4) - \ln (x) = - 9 \ln (4)$

Passaggio 2.6.2

Somma $\ln (x)$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 y \ln (4) = - 9 \ln (4) + \ln (x)$

Passaggio 2.7

Dividi per $2 \ln (4)$ ciascun termine in $2 y \ln (4) = - 9 \ln (4) + \ln (x)$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Dividi per $2 \ln (4)$ ciascun termine in $2 y \ln (4) = - 9 \ln (4) + \ln (x)$ .

$\frac{2 y \ln (4)}{2 \ln (4)} = \frac{- 9 \ln (4)}{2 \ln (4)} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}$

Passaggio 2.7.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y \ln (4)}{2 \ln (4)} = \frac{- 9 \ln (4)}{2 \ln (4)} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}$

Passaggio 2.7.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{- 9 \ln (4)}{2 \ln (4)} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}$

Passaggio 2.7.2.2

Elimina il fattore comune di $\ln (4)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{- 9 \ln (4)}{2 \ln (4)} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}$

Passaggio 2.7.2.2.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{- 9 \ln (4)}{2 \ln (4)} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}$

Passaggio 2.7.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.3.1.1

Elimina il fattore comune di $\ln (4)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{- 9 \ln (4)}{2 \ln (4)} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}$

Passaggio 2.7.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{- 9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}$

Passaggio 2.7.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}$

Passaggio 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}$

Passaggio 4

Verifica se $f^{- 1} (x) = - \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}$ è l'inverso di $f (x) = 4^{2 x + 9}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 4.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 4.2.2

Calcola $f^{- 1} \cdot 4^{2 x + 9}$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} \cdot 4^{2 x + 9} = - \frac{9}{2} + \frac{\ln (4^{2 x + 9})}{2 \ln (4)}$

Passaggio 4.2.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Espandi $\ln (4^{2 x + 9})$ spostando $2 x + 9$ fuori dal logaritmo.

$f^{- 1} \cdot 4^{2 x + 9} = - \frac{9}{2} + \frac{(2 x + 9) \ln (4)}{2 \ln (4)}$

Passaggio 4.2.3.2

Elimina il fattore comune di $\ln (4)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} \cdot 4^{2 x + 9} = - \frac{9}{2} + \frac{(2 x + 9) \ln (4)}{2 \ln (4)}$

Passaggio 4.2.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} \cdot 4^{2 x + 9} = - \frac{9}{2} + \frac{2 x + 9}{2}$

Passaggio 4.2.4

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f^{- 1} \cdot 4^{2 x + 9} = \frac{- 9 + 2 x + 9}{2}$

Passaggio 4.2.4.2

Combina i termini opposti in $- 9 + 2 x + 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.2.1

Somma $- 9$ e $9$ .

$f^{- 1} \cdot 4^{2 x + 9} = \frac{2 x + 0}{2}$

Passaggio 4.2.4.2.2

Somma $2 x$ e $0$ .

$f^{- 1} \cdot 4^{2 x + 9} = \frac{2 x}{2}$

Passaggio 4.2.4.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.3.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} \cdot 4^{2 x + 9} = \frac{2 x}{2}$

Passaggio 4.2.4.3.2

Dividi $x$ per $1$ .

$f^{- 1} \cdot 4^{2 x + 9} = x$

Passaggio 4.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 4.3.2

Calcola $f (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}) = 4^{2 (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}) + 9}$

Passaggio 4.3.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1.1

Semplifica $2 \ln (4)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$f (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}) = 4^{2 (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{\ln (4^{2})}) + 9}$

Passaggio 4.3.3.1.2

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}) = 4^{2 (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{\ln (16)}) + 9}$

Passaggio 4.3.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}) = 4^{2 (- \frac{9}{2}) + 2 (\frac{\ln (x)}{\ln (16)}) + 9}$

Passaggio 4.3.3.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{9}{2}$ nel numeratore.

$f (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}) = 4^{2 (\frac{- 9}{2}) + 2 (\frac{\ln (x)}{\ln (16)}) + 9}$

Passaggio 4.3.3.3.2

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}) = 4^{2 (\frac{- 9}{2}) + 2 (\frac{\ln (x)}{\ln (16)}) + 9}$

Passaggio 4.3.3.3.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}) = 4^{- 9 + 2 (\frac{\ln (x)}{\ln (16)}) + 9}$

Passaggio 4.3.3.4

Moltiplica $2 \frac{\ln (x)}{\ln (16)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.4.1

$2$ e $\frac{\ln (x)}{\ln (16)}$ .

$f (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}) = 4^{- 9 + \frac{2 \ln (x)}{\ln (16)} + 9}$

Passaggio 4.3.3.4.2

Semplifica $2 \ln (x)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$f (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}) = 4^{- 9 + \frac{\ln (x^{2})}{\ln (16)} + 9}$

Passaggio 4.3.4

Combina i termini opposti in $- 9 + \frac{\ln (x^{2})}{\ln (16)} + 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1

Somma $- 9$ e $9$ .

$f (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}) = 4^{0 + \frac{\ln (x^{2})}{\ln (16)}}$

Passaggio 4.3.4.2

Somma $0$ e $\frac{\ln (x^{2})}{\ln (16)}$ .

$f (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}) = 4^{\frac{\ln (x^{2})}{\ln (16)}}$

Passaggio 4.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = - \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}$ è l'inverso di $f (x) = 4^{2 x + 9}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}$