Algebra Esempi

$f (x) = 50000 {(0.8)}^{x}$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = 50000 {(0.8)}^{x}$ come un'equazione.

$y = 50000 {(0.8)}^{x}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = 50000 {(0.8)}^{y}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $50000 \cdot {0.8}^{y} = x$ .

$50000 \cdot {0.8}^{y} = x$

Passaggio 3.2

Dividi per $50000$ ciascun termine in $50000 \cdot {0.8}^{y} = x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Dividi per $50000$ ciascun termine in $50000 \cdot {0.8}^{y} = x$ .

$\frac{50000 \cdot {0.8}^{y}}{50000} = \frac{x}{50000}$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $50000$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{50000 \cdot {0.8}^{y}}{50000} = \frac{x}{50000}$

Passaggio 3.2.2.1.2

Dividi ${0.8}^{y}$ per $1$ .

${0.8}^{y} = \frac{x}{50000}$

Passaggio 3.3

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln ({0.8}^{y}) = \ln (\frac{x}{50000})$

Passaggio 3.4

Espandi $\ln ({0.8}^{y})$ spostando $y$ fuori dal logaritmo.

$y \ln (0.8) = \ln (\frac{x}{50000})$

Passaggio 3.5

Dividi per $\ln (0.8)$ ciascun termine in $y \ln (0.8) = \ln (\frac{x}{50000})$ e semplifica.

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Passaggio 3.5.1

Dividi per $\ln (0.8)$ ciascun termine in $y \ln (0.8) = \ln (\frac{x}{50000})$ .

$\frac{y \ln (0.8)}{\ln (0.8)} = \frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)}$

Passaggio 3.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Elimina il fattore comune di $\ln (0.8)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y \ln (0.8)}{\ln (0.8)} = \frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)}$

Passaggio 3.5.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)}$

Passaggio 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)}$ è l'inverso di $f (x) = 50000 {(0.8)}^{x}$ .

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Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

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Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (50000 {(0.8)}^{x})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (50000 {(0.8)}^{x}) = \frac{\ln (\frac{50000 {(0.8)}^{x}}{50000})}{\ln (0.8)}$

Passaggio 5.2.3

Elimina il fattore comune di $50000$ .

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Passaggio 5.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (50000 {(0.8)}^{x}) = \frac{\ln (\frac{50000 {(0.8)}^{x}}{50000})}{\ln (0.8)}$

Passaggio 5.2.3.2

Dividi ${(0.8)}^{x}$ per $1$ .

$f^{- 1} (50000 {(0.8)}^{x}) = \frac{\ln ({(0.8)}^{x})}{\ln (0.8)}$

Passaggio 5.2.4

Espandi $\ln ({(0.8)}^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$f^{- 1} (50000 {(0.8)}^{x}) = \frac{x \ln (0.8)}{\ln (0.8)}$

Passaggio 5.2.5

Elimina il fattore comune di $\ln (0.8)$ .

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Passaggio 5.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (50000 {(0.8)}^{x}) = \frac{x \ln (0.8)}{\ln (0.8)}$

Passaggio 5.2.5.2

Dividi $x$ per $1$ .

$f^{- 1} (50000 {(0.8)}^{x}) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

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Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (\frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)}) = 50000 {(0.8)}^{\frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)}}$

Passaggio 5.3.3

Usa la variazione della regola base $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)}) = 50000 \cdot {0.8}^{\log_{0.8} (\frac{x}{50000})}$

Passaggio 5.3.4

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)}) = 50000 \cdot \frac{x}{50000}$

Passaggio 5.3.5

Elimina il fattore comune di $50000$ .

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Passaggio 5.3.5.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)}) = 50000 \cdot \frac{x}{50000}$

Passaggio 5.3.5.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)}) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)}$ è l'inverso di $f (x) = 50000 {(0.8)}^{x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)}$