Algebra Esempi

$y = \log_{2} (x + 7)$

Passaggio 1

Scambia le variabili.

$x = \log_{2} (y + 7)$

Passaggio 2

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi l'equazione come $\log_{2} (y + 7) = x$ .

$\log_{2} (y + 7) = x$

Passaggio 2.2

Riscrivi $\log_{2} (y + 7) = x$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$2^{x} = y + 7$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Riscrivi l'equazione come $y + 7 = 2^{x}$ .

$y + 7 = 2^{x}$

Passaggio 2.3.2

Sottrai $7$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = 2^{x} - 7$

Passaggio 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 2^{x} - 7$

Passaggio 4

Verifica se $f^{- 1} (x) = 2^{x} - 7$ è l'inverso di $f (x) = \log_{2} (x + 7)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 4.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 4.2.2

Calcola $f^{- 1} (\log_{2} (x + 7))$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\log_{2} (x + 7)) = 2^{\log_{2} (x + 7)} - 7$

Passaggio 4.2.3

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f^{- 1} (\log_{2} (x + 7)) = x + 7 - 7$

Passaggio 4.2.4

Combina i termini opposti in $x + 7 - 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1

Sottrai $7$ da $7$ .

$f^{- 1} (\log_{2} (x + 7)) = x + 0$

Passaggio 4.2.4.2

Somma $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\log_{2} (x + 7)) = x$

Passaggio 4.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 4.3.2

Calcola $f (2^{x} - 7)$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (2^{x} - 7) = \log_{2} ((2^{x} - 7) + 7)$

Passaggio 4.3.3

Combina i termini opposti in $(2^{x} - 7) + 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Somma $- 7$ e $7$ .

$f (2^{x} - 7) = \log_{2} (2^{x} + 0)$

Passaggio 4.3.3.2

Somma $2^{x}$ e $0$ .

$f (2^{x} - 7) = \log_{2} (2^{x})$

Passaggio 4.3.4

Utilizza le regole del logaritmo per togliere $x$ dall'esponente.

$f (2^{x} - 7) = x \log_{2} (2)$

Passaggio 4.3.5

Il logaritmo in base $2$ di $2$ è $1$ .

$f (2^{x} - 7) = x \cdot 1$

Passaggio 4.3.6

Moltiplica $x$ per $1$ .

$f (2^{x} - 7) = x$

Passaggio 4.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = 2^{x} - 7$ è l'inverso di $f (x) = \log_{2} (x + 7)$ .

$f^{- 1} (x) = 2^{x} - 7$