Algebra Esempi

$y = \frac{1}{5} \cdot e^{x + 2}$

Passaggio 1

Scambia le variabili.

$x = \frac{1}{5} \cdot e^{y + 2}$

Passaggio 2

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{1}{5} \cdot e^{y + 2} = x$ .

$\frac{1}{5} \cdot e^{y + 2} = x$

Passaggio 2.2

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $5$ .

$5 (\frac{1}{5} \cdot e^{y + 2}) = 5 x$

Passaggio 2.3

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica $5 (\frac{1}{5} \cdot e^{y + 2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

$\frac{1}{5}$ e $e^{y + 2}$ .

$5 \frac{e^{y + 2}}{5} = 5 x$

Passaggio 2.3.1.2

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$5 \frac{e^{y + 2}}{5} = 5 x$

Passaggio 2.3.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$e^{y + 2} = 5 x$

Passaggio 2.4

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{y + 2}) = \ln (5 x)$

Passaggio 2.5

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Espandi $\ln (e^{y + 2})$ spostando $y + 2$ fuori dal logaritmo.

$(y + 2) \ln (e) = \ln (5 x)$

Passaggio 2.5.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$(y + 2) \cdot 1 = \ln (5 x)$

Passaggio 2.5.3

Moltiplica $y + 2$ per $1$ .

$y + 2 = \ln (5 x)$

Passaggio 2.6

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = \ln (5 x) - 2$

Passaggio 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \ln (5 x) - 2$

Passaggio 4

Verifica se $f^{- 1} (x) = \ln (5 x) - 2$ è l'inverso di $f (x) = \frac{1}{5} \cdot e^{x + 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 4.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 4.2.2

Calcola $f^{- 1} (\frac{1}{5} \cdot e^{x + 2})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{5} \cdot e^{x + 2}) = \ln (5 (\frac{1}{5} \cdot e^{x + 2})) - 2$

Passaggio 4.2.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

$\frac{1}{5}$ e $e^{x + 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{5} \cdot e^{x + 2}) = \ln (5 (\frac{e^{x + 2}}{5})) - 2$

Passaggio 4.2.3.2

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{1}{5} \cdot e^{x + 2}) = \ln (5 (\frac{e^{x + 2}}{5})) - 2$

Passaggio 4.2.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\frac{1}{5} \cdot e^{x + 2}) = \ln (e^{x + 2}) - 2$

Passaggio 4.2.3.3

Utilizza le regole del logaritmo per togliere $x + 2$ dall'esponente.

$f^{- 1} (\frac{1}{5} \cdot e^{x + 2}) = (x + 2) \ln (e) - 2$

Passaggio 4.2.3.4

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{5} \cdot e^{x + 2}) = (x + 2) \cdot 1 - 2$

Passaggio 4.2.3.5

Moltiplica $x + 2$ per $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{5} \cdot e^{x + 2}) = x + 2 - 2$

Passaggio 4.2.4

Combina i termini opposti in $x + 2 - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1

Sottrai $2$ da $2$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{5} \cdot e^{x + 2}) = x + 0$

Passaggio 4.2.4.2

Somma $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{5} \cdot e^{x + 2}) = x$

Passaggio 4.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 4.3.2

Calcola $f (\ln (5 x) - 2)$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\ln (5 x) - 2) = \frac{1}{5} \cdot e^{(\ln (5 x) - 2) + 2}$

Passaggio 4.3.3

Combina i termini opposti in $(\ln (5 x) - 2) + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Somma $- 2$ e $2$ .

$f (\ln (5 x) - 2) = \frac{1}{5} \cdot e^{\ln (5 x) + 0}$

Passaggio 4.3.3.2

Somma $\ln (5 x)$ e $0$ .

$f (\ln (5 x) - 2) = \frac{1}{5} \cdot e^{\ln (5 x)}$

Passaggio 4.3.4

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f (\ln (5 x) - 2) = \frac{1}{5} \cdot (5 x)$

Passaggio 4.3.5

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.1

Scomponi $5$ da $5 x$ .

$f (\ln (5 x) - 2) = \frac{1}{5} \cdot (5 (x))$

Passaggio 4.3.5.2

Elimina il fattore comune.

$f (\ln (5 x) - 2) = \frac{1}{5} \cdot (5 x)$

Passaggio 4.3.5.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\ln (5 x) - 2) = x$

Passaggio 4.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \ln (5 x) - 2$ è l'inverso di $f (x) = \frac{1}{5} \cdot e^{x + 2}$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (5 x) - 2$